Mathematica实习四定积分以及相关应用问题

1、In tegratef,x,下限，上限Jbf(x)dxI计算定积分丘1dx。X实习四 定积分以及相关应用问题实习目的1. 掌握用Mathematica求定积分2. 用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。实习准备1定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(defi nite in tegral)。 Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下 限。(1)(2)479In 1:=仏JdxXOut1=4-2ArcTa n2和不定积分一样，除了我们指定的积分变量之外，其它所有符号都被作常数处理.例2计算定积分J0x2e3x扫dx。-26严27解

2、In2:= j2x2Exp3x +adxOut2=-丝271 数值积分如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而 失去意义时，我们就可以用数值积分求解。数值积分只能进行定积分的运算，即 必须指定上、下限。用 Mathematica求解数值积分有两种形式：(1)NI ntegratef,x,a,bx从a到b，做f (x)的数值积分。N J a f (x)dx求定积分表达式的数值匹求定积分 / ds in (si nx)dx。解用Integrate命令无法求sin(sin x)的定积分，用Nlntegrate命令即可求得其数值积分。In 1:=NI ntegrat

3、eSi nSi nx,x,0, Pi/3 Out1=0.466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。ln2 :=N fPi/3SinSinxdxOut2=0.466185例4求定积分J 0e2dx的近似值。解被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。In 3:=NI ntegrateEx p-xA2,x,0,1Out3=0.7468242近似值积分用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点a x0 X10，直线x = a,x = b(ab)及x轴所围成的曲边梯形的面积为A= raf(x)dx例6求由抛物线y2=2x和直线y =

4、 -x + 4所围成图形的面积。 解首先画出函数图形，如图6-1所示In 1:=PI otSqrt2x,-Sqrt2x,-x+4,x,0,9Out1=-Gra phics-图6-1然后求出两条曲线的交点：In 2:=SolveyA2-2=0,y+x-4=0,x,yOut2=x2,y2,x8,y-4再以y为积分变量求面积：In 3:=s=I ntegrate-y+4-yA2/2,y,-4,2Out3=18例7求由圆r =3cosT所围图形的面积。 解首先求出两条曲线的交点：In 4:=Solver-3Cost=0,r-1-Cost=0,r,t3兀3 兀Out4=rT 2，tT -，rT tT -

5、 然后画出两曲线所围成的图形，如图6-2所示In 5:=f1= Parametric Plot3CostCost,3CostSi nt,t,0,2 Pi;f2= Parametric Plot(1+Cost)Cost,(1+Cost)Si nt,t,0,2 Pi Showf1,f2,As pectRatio AutomaticOut5= -Grap hics-再利用定积分计算面积In 6:=s1=I ntegrate1+Cost,t,0, Pi/3J3兀Out卧一蔦In 7:=s2=In tegrate3Cost,t, Pi/3, Pi/2In 8:=s=2*(s1+s2)Out8=2(晅+3

6、(1 -晅I2 I 2 丿Out7=3(1-三3)+工3丿2 利用定积分计算平面曲线的弧长设曲线弧由参数方程：Jx=x(t)iy(t),(a t 兰 P)给出，其中x(t),y(t)在p,P上具有连续导数，则曲线弧的弧长为例8求曲线 xarctayts =Jx2(t) + y(t)2dt上相应于从t = 0到t =1的一段弧长。! y=2I2ln(1+t )解首先画出曲线的图形，如图6-3所示In 1:=Parametric PlotArcTa nt,(1/2)*Log1+tA2,t,-2,2,As pectRatio AutomaticOut1= -Grap hics-再利用定积分计算曲线的

7、弧长:ln 2:=dx=DArcTa nt,t1OutyIn 3:=dy=D(1/2)Log1+t2,tOut3二一1+t2In 4:=s=l ntegrateSqrtdyA2+dxA2,t,0,1/NOut4=0.8813743 利用定积分计算旋转体的体积由连续曲线y=f(x),直线x = a,x = b(a:b)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成立体的体积为注 f(x)2dx2a3所围成的图形绕x轴旋转一周，计算所得旋转2 2例9将星形线X3 + y3 = 体的体积。解星形线的参数方程为(0 t 2江)rx=acos3tiy=aS in3t取a=1，画出星形线的图形，如图6-4所示l

8、n 1:=ParametricPlot(CostF3),(SintF3),t,0,2Pi,AspectRatio t AutomaticOut1= -Grap hics-利用Mathematica计算旋转体的体积： In 2:xt:=a*CostF3;yt:=a*Si ntF3;dx=Dxt,t;V=2*I ntegrate Pi*(yt)A2*dx,t,0, Pi/2332a3 兀105实习作业1.用Mathematica求解下列定积分:(1)J：idx;er sin x .Jdx;x I ax2Ja2 -x2dx; jaiog(x)dx2.计算下列积分的数值积分 J ；sin3(x) +1dx；竺dxx1 ,x30，求 J 2f (x-1)dx,x0U+ex4.分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分f 5Vx2