信号与系统PPT教程第四章 傅里叶变换

1、1 第四章第四章 傅里叶变换傅里叶变换 本章提要本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和卷积定理卷积和卷积定理 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 相关、能量谱和功率谱相关、能量谱和功率谱 2 4.1 4.1 引言引言 一、一、傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国年生于法国 1807年提出年提出“任何周期信号都可用正弦函数任何周期信号都可用正弦函数 级数表示级数表示” 1829年狄利克雷第一个给出收敛条件年狄利克

2、雷第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 1822年首次发表年首次发表“热的分析理论热的分析理论”中中 3 二、傅立叶的两个最主要的贡献二、傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号 的加权和的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点 三、变换域分析三、变换域分析 频域分析傅里叶变换，自变量为频域分析傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析拉氏变换复频域分析拉氏变换, 自变量为自变量为

3、 s = +j z域分析域分析z 变换，自变量为变换，自变量为 st ez 4 4.24.2周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 周期信号可展开成正交函数线性组合的无周期信号可展开成正交函数线性组合的无 穷级数：穷级数： 三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t, sinn 1t 复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 5 一、三角函数的傅里叶级数一、三角函数的傅里叶级数 1 1 2 t )sincos()( 11 1 01 tnbtnaatf nn n 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n1 6 10 0 )( 1 1 0 tt

4、t dttf t a 10 0 1 1 cos)( 2 tt t n tdtntf t a tdtntf t b tt t n 10 0 1 1 sin)( 2 直流系直流系 数数 余弦分量余弦分量 系数系数 正弦分量正弦分量 系数系数 7 狄利克雷条件：狄利克雷条件： .在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件. 01 0 ( ) tt t f tdt 8 三角函数是正交函数三角函数是正交函数 )2

5、. 3(0sincos 11 10 0 tdtmtn tt t )3 . 3( )( )( 0 sinsin 0 0 1 2 11 nm nm tdtmtn tt t t ) 3 . 3( )( )( 0 coscos 0 0 1 2 11 nm nm tdtmtn tt t t 9 周期信号的另一种周期信号的另一种 三角函数正交集表示三角函数正交集表示 01 1 ( )cos() nn n f tccn t )sin()( 1 10n n n tnddtf 10 比较几种系数的关系比较几种系数的关系 sincos nnnnn bcd 000 dca 22 nnnn badc n n n b

6、a tg n n n b tg a cossin nnnnn acd 11 周期函数的频谱：周期函数的频谱： an,bn,cn和和 n都是都是 n 1的函数。把的函数。把cn（各频率分量（各频率分量 的相对大小）的相对大小）对对n 1的关系绘成线图，此图为信号的的关系绘成线图，此图为信号的 幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率分量幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率分量 的幅度，称为谱线。的幅度，称为谱线。 n对对n 1的关系线图为信号的相的关系线图为信号的相 位谱。因为位谱。因为cn和和 n只在只在n 1 （各频率点且（各频率点且n=0）取值，）取值， 所以周期信号的幅度谱与相位

7、谱均为单边离散谱。所以周期信号的幅度谱与相位谱均为单边离散谱。周周 期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。 直观看出：各分量的大小，各分量的相移。直观看出：各分量的大小，各分量的相移。 cn 1 )(n 1 12 二、周期函数的复指数级数二、周期函数的复指数级数 n tjn n tjntjn j n j n n tjnj n tjnj n n tnjtnj n n nn enf enfenfftf e c nfe c nfcf ee c ee c c ee cc tncctf nn nn nn 1 11 11 11 )( )()()( 2

8、)(, 2 )(, 22 2 )cos()( 1 1 110 1100 1 0 1 )()( 0 1 10 令 引入了引入了 负频率负频率 13 0000 adcf )( 2 1 nn j nn jbaeff n )( 2 1 nn j nn jbaeff n 两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系 22 2 1 2 1 2 1 nnnnnn badcff nnn cff 14 nnn aff nnn bffj )( nnnnnn ffbadc 4 2222 15 频谱图频谱图 同样可以画出复指数形式表示的信号频谱，同样可以画出复指数形式表示的信号频谱， 因因 f(n 1)一般是

9、复函数，称为复数频谱。一般是复函数，称为复数频谱。 |f(n 1)| 为复数幅度谱，为复数幅度谱， n 为相位谱。为相位谱。同同 样因为样因为|f(n 1)|和和 n只在只在n 1 取值，而取值，而n的取值可的取值可 从从- 到到+ ，因此指数形式表示的信号频谱为离，因此指数形式表示的信号频谱为离 散的双边谱。散的双边谱。 注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频率注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频率 上对应的两条谱线矢量相加才代表一个频率分量上对应的两条谱线矢量相加才代表一个频率分量 的幅度。负频率的出现完全是数学运算的结果，的幅度。负频率的出现完全是数学运算的结果， 无物理意义。如图

10、无物理意义。如图3-2。 16 周期复指数信号的频谱图周期复指数信号的频谱图 n n f n f 1 1 1 0 0 0 17 例例 将全波整流信号将全波整流信号f(t)=|sin f(t)=|sin t|t|展开成指数形展开成指数形 式的傅里叶级数，并画出频谱图。式的傅里叶级数，并画出频谱图。 1 0 1 0 1 0 2 1 11 0 1 1 )21cos()21cos( )21sin()21sin( 2 1 2sin2cossin sin)( 2, 1 sin 1 )( 1 1 dttntnj tntn dttnjtntdttenf tdtte t nf tjn t tjn 其中 18 2

11、,.1,0,n )41 ( 2 )21 ( 2 )21 ( 2 2 1 0 1 )21sin( )21 ( 1 0 1 )21sin( )21 ( 1 0 1 )21cos( )21 ( 1 0 1 )21cos( )21 ( 1 2 1 )( 2 1 nnn tn n jtn n j tn n tn n nf . 35 2 15 2 3 2 . 35 2 15 2 3 22 )41( 2 )( 642 642 2 2 tjtjtj tjtjtj n tjn eee eee e n tf 19 一次谐波分量由一次谐波分量由n=+1,n=-1两条谱线决定，两条谱线决定， 二次谐波分量由二次谐波分

12、量由 n=+2,n=-2两条谱线决定两条谱线决定 2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 -6 f(n 1) |f(n 1)| 2 4 6 -2 -4 -6 n 幅度谱幅度谱 相位谱相位谱 20 三、谱系数三、谱系数f(n)的性质的性质 1.奇偶虚实性奇偶虚实性 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 11 1 2 2 11 1 2 21 2 21 1 sin)(cos)( 1 sincos)()( 1 )()( 1 )( 1 )( )()()( t toe t toe t t tjn oe t t tjn oe dttntjftntf t dttnjtntf

13、tf t dtetftf t dtetf t nf tftftf 21 若若f(t)为偶函数，那么为偶函数，那么f(n 1)为实函数为实函数 （an 0，bn=0），），f(t)的傅里叶级数只含有余弦的傅里叶级数只含有余弦 项，相位为项，相位为 ； f(t)为奇函数，那么为奇函数，那么f(n 1)为虚函数为虚函数 （ an=0，bn 0），），f(t)的傅里叶级数只含有正弦的傅里叶级数只含有正弦 项，相位项，相位 ； f(t)为非奇非偶，那么为非奇非偶，那么f(n 1)为复函数为复函数 （an 0，bn 0），），f(t)的傅里叶级数既含有余弦的傅里叶级数既含有余弦 项，又含有正弦项。项，又含

14、有正弦项。 90 180 22 2. 奇谐函数，即波形沿时间轴平奇谐函数，即波形沿时间轴平 移半周期并相对于时间轴上下移半周期并相对于时间轴上下 反转。如图反转。如图3-5，直流分量，直流分量a0=c0=f0=0；对于；对于 偶次谐波分量，其系数为偶次谐波分量，其系数为0；而奇次谐波分量；而奇次谐波分量 系数不为系数不为0，故奇谐函数只含有基波和奇次谐，故奇谐函数只含有基波和奇次谐 波分量。波分量。 ) 2 ()( 1 t tftf t1/2 -t1/20 t 23 3.时移特性时移特性 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 21 2 21 2 21 )( 1 )( 1 )( 1

15、)( )( )( jn n t t tjnjn t t tjn tt t t tjn jn nn ef dtetfe t dtetf t dtetf t tf eftfftf 令 的傅里叶级数为：证 则若 24 4.微分特性微分特性 )( )( 1 )( 1 )( 1 )(1 )( 11 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 21 1 1 1 1 11 1 1 1 nfjn dtetf t jn dtejntf t etf t dte dt tdf t fjn dt df(t) ftf t t jn t t tjn t t tjn t t tjn nn 证 则若 25

16、 例删除直流分量偏移以显现隐藏的对称性例删除直流分量偏移以显现隐藏的对称性 删除直流分量删除直流分量a0=0.5后，信号为奇对称。故后，信号为奇对称。故 an=0，其付里叶级数只有正弦分量。，其付里叶级数只有正弦分量。 12 1 n ntntnt n tdtnt tdtntf t b t n 1 0 1 )2(2)2sin( )2( 2 2sin2 sin)( 2 2 1 0 0 1 26 可利用微分特性求谱系数可利用微分特性求谱系数 例周期信号例周期信号f(t)如下图，试求其谱系数。如下图，试求其谱系数。 取一个周期的取一个周期的f (t) f (2)(t) e 2 t 2 t 2 t 2

17、t 2 t 2 t t e2 ) 2 ( t e ) 4 ( t e )()() 1(cos 4242 ) 2 ( 2 )( 4 ) 2 ( 2 1 )( ) 2 ( 2 )( 4 ) 2 ( 2 )( 1 2 1 2222 2 2 2 2 2 2 1 1 11 nfjnn t e e t e t e e t e dte t t t e dtet t e dte t t t e t nf t t t e t t et t t e tf jnjn t t tjn t t tjn t t tjn 变 27 )( )( 1 )()( 1 2 1 1 nf jn nftf 变 应补出直流分量应补出直流

18、分量2e 例半波整流信号例半波整流信号f(t)，周期为，周期为t，试求其谱系数。，试求其谱系数。 ) 2 ()()cos( ) 2 ()()sin() 2 ()()cos()( ) 2 ()()sin()( 0 11 111 1 t tutute t ttte t tututetf t tututetftt 28 ,.,n ,., n n e n n e nf nfjnn t e nf e t e nf dte t tt t e nfnf t ttetf t tte t tutute t ttte t tututetf jn t t tjn 53 0 42, 0 )1 ( 2 )cos1 (

19、)1 ( )( )()()cos1 ()( )1 ()( ) 2 ()()()( ) 2 ()()( ) 2 ()() 2 ()()sin( ) 2 ()()cos() 2 ()()sin()( 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 11 1 2 1 11 2 1 111 2 1 1 变 29 2 1 2 1 4 )( 4 )( 0 0 1 jj e e fe e f n 型，应单独求时为由于 12 14 1-4 1-2 1- 1 12 14 1-2 1- 1-4 1 |f(n 1)| (n) 30 四、周期信号的功率特性四、周期信号的功率特性 p为周期信

20、号的平均功率为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理符合帕斯瓦尔定理 10 0 )( 1 )( 2 1 2 tt t dttf t tfp t m tjm n tjn t dtemfenf t dttf t p 0 1 * 1 0 2 11 )()( 1 )( 1 31 1 2 2 0 1 2 1 2 2 1 0 )( 1 * 1 )( 0 )( 1 * 1 2 )(2)0()( )()( 1 0 )()( 1 1 1 1 n n nn nm t tmnj tmnj t tmnj mn c c nffnf dtemfnf t p mn m nt e dtemfnf t 功率谱功率谱：|f(n 1)|2n 1 32 五、傅里叶有限级数五、傅里叶有限级数 如果完全逼近，则如果完全逼近，则 n= ; 实际中，实际中，n=n, n是有限整数。是有限整数。 如果如果 n愈接近愈接近 ，则，则 其均方误差愈小其均方误差愈小 若用若用2n1项逼近，则项逼近，则 )sincos()( 11 1 0 tbtaats n n n nn 33 误差函数和均方误差误差函数和均方误差 误差函数误差函数 均方误差均方误差 )()()(tstft nn )( 2 1 )()( 222 0 22 nnnn baatfte 34 例如对称方波：偶函数且奇谐函数例如