（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 课时17 4.2 同角三角函数的基本关系和诱导公式课件

1、 4.2 4.2同角三角函数的基本关系和同角三角函数的基本关系和 诱导公式诱导公式 1.1.同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 2.2.三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 教教 材材 研研 读读 考考 点点 突突 破破 考点一考点一 利用诱导公式化简利用诱导公式化简 考点二考点二 利用诱导公式求值利用诱导公式求值 考点三考点三 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2+cos2=1 . (2)商的关系: =tan (+k,kZ) . sin cos 2 教材研读教材研读 2.2.三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 组序一

2、二三四五六 角2k+ (kZ) +-+ 正弦sin -sin -sin sin cos cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口诀函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 记忆 规律 六组诱导公式可以统一成k(kZ)的形式,因此得记忆规律:奇变偶不变,符号看象 限 2 2 2 易错警示易错警示 1.+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前 面加上把看成锐角时原函数值的符号;的正弦(余弦)函数值,等 于的余弦(正弦)函数值,前面加上把看成锐角时原函数值的符号. 2 2.对于与的奇数倍的和差角的正切值,不能直接

3、用诱导公式求,但可 以用同角三角函数关系将正切化为正弦与余弦的商,再利用正弦函数、 余弦函数的诱导公式解决.如: tan=. 2 2 sin 2 cos 2 cos sin 1 tan 1.tan 330等于(D) A. B.- C. D.- 33 3 3 3 3 2.已知cos(-80)=k,则tan 100=(B) A. B.- C. D.- 2 1k 2 1 k k 2 1 k k 2 1 k k 3.已知sin=,则cos的值为(D) A. B.- C. D.- 4 1 34 2 2 3 2 2 3 1 3 1 3 4.sin 2 490= - ;cos = - . 52 3 1 2

4、1 2 5.化简sin(-)cos(2-)的结果为 -sin2 . cos 2 5 sin 2 利用诱导公式化简利用诱导公式化简 典例典例1化简:. 3 tan()cos(2)sin 2 cos(3 )sin( 3) 考点突破考点突破 解析解析原式= = = =- =-=-1. tan cos sin2 2 cos(3) sin(3) tan cos sin 2 ( cos )sin tan cos cos ( cos )sin tan cos sin sin cos cos sin 规律总结规律总结 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角

5、函数0到360 的角的三角函数 锐角三角函数 2.三角函数式化简的方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角. (3)用因式分解将式子变形,化为最简. 1-1化简:. 22 2sin()cos()cos() 3 1sincossin 22 解析解析原式= = =. 22 2sin ( cos )cos 1 sinsincos 2 2sin coscos 2sinsin cos (12sin ) sin (12sin ) 1 tan 典例典例2(1)sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)= 1 ; (2)已知cos=,则cos-sin2

6、的值为- . 6 3 3 5 6 6 利用诱导公式求值利用诱导公式求值 23 3 解析解析(1)原式=-sin 1 200cos 1 290-cos 1 020sin 1 050=-sin(3360+12 0)cos(3360+210)-cos(2360+300)sin(2360+330)=-sin 120cos210- cos 300sin 330=-sin(180-60)cos(180+30)-cos(360-60)sin(360-30)=si n 60cos 30+cos 60sin 30=+=1. (2)因为cos=cos=-cos=-,sin2=sin2 =sin2=1-cos2=1

7、-=, 3 2 3 2 1 2 1 2 5 6 6 6 3 3 6 6 6 6 2 3 3 2 3 所以cos-sin2=-=-. 5 6 6 3 3 2 3 23 3 探究探究若本例(2)的条件不变,求sin+sin的值. 3 2 3 解析解析 sin=sin=cos=, sin=sin=cos=, 所以sin+sin=. 3 26 6 3 3 2 3 26 6 3 3 3 2 3 2 3 3 方法技巧方法技巧 用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思 想简化解题过程,常见的互余关系有-与+,+与-,+与 -等,常见的互补关系有-与+,+与-,+与- 等. 3 6 3

8、6 4 4 6 5 6 3 2 3 4 3 4 2-1 求值:sin 690sin 150+cos 930cos(-870)+tan 120tan 1 050. 解析解析原式=sin 690 sin 150+cos 930cos 870+tan 120tan 1 050=sin(36 0+330)sin 150+cos(3602+210)cos(3602+150)+tan 120tan(1805+ 150)=sin 330sin 150+cos 210cos 150+tan 120tan 150=sin(360-30)sin (180-30)+cos(180+30)cos(180-30)+ta

9、n(180-60)tan(180-30)=-sin230 +cos230+tan 60tan 30=-+1=. 1 4 3 4 3 2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 典例典例3(1)(2017杭州四校高三上期中)已知-0,sin +cos =,则 的值为( B ) A. B. C. D. (2)(2017浙江镇海中学阶段性测试)已知3sin +4cos =5,则tan = . 2 1 5 22 1 cossin 7 5 25 7 7 25 24 25 3 4 解析解析(1)sin +cos =, 1+2sin cos =2sin cos =-, (cos -sin )2=,又-

10、0sin , cos -sin =, =, 故选B. 1 5 1 25 24 25 49 252 7 5 22 1 cossin 1 (cossin )(cossin ) 1 71 55 25 7 (2)解法一:由题意知3sin =5-4cos , 两边平方得9sin2=25-40cos +16cos2, 即25cos2-40cos +16=0,得cos =,则sin =, 故tan =. 解法二:把等式平方得(3sin +4cos )2=25,即 9sin2+24sin cos +16cos2=25(sin2+cos2), 两边同时除以cos2,整理得 16tan2-24tan +9=0,

11、4 5 3 5 3 4 解得tan =. 解法三:设4sin -3cos =x,则 x2+25=(4sin -3cos )2+(3sin +4cos )2=25, 故x=0,则tan =. 解法四:因为3sin +4cos =5sin(+), 其中cos =,sin =. 易知sin(+)=1,有+=2k+(kZ), 3 4 3 4 3 5 4 5 2 则sin =sin=cos =, cos =cos=sin =, 故tan =. 解法五:设x=cos ,y=sin ,则有4x+3y=5,且x2+y2=1,从而角终边上的点P (x,y)在单位圆上,且在直线l:4x+3y=5上.又直线l与单位

12、圆相切,故直线l与 角的终边所在直线垂直,所以角的终边所在直线的斜率为,故tan = =. 2 2 k 3 5 2 2 k 4 5 3 4 3 4 y x 3 4 方法指导方法指导 同角三角函数基本关系式的使用技巧 (1)利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用=ta n可以实现角的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin +cos ,sin cos , sin -cos这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 和( sin+cos)2+(sin-cos)2=2,可以知一求二. (3)注意公式的逆用及变形应用:1=sin2+cos2,si

13、n2=1-cos2,cos2 =1-sin2. sin cos 同类练同类练1若tan =2,则+cos2=(A) A. B.- C. D.- sincos sincos 16 5 16 5 8 5 8 5 解析解析tan =2,+cos2=+=+ =. sincos sincos sincos sincos 2 22 cos sincos tan1 tan1 2 1 tan1 16 5 同类练同类练2 2已知sin cos =,且,则cos -sin 的值为( D ) A. B. C.- D.- 3 84 2 1 2 1 2 1 4 1 2 解析解析因为sin cos =, 所以(cos -sin )2=cos2-2sin cos +sin2 3 8 =1-2sin cos =1-2=, 因为, 所以cos sin ,即cos -sin 0,co