《解读课标(实验稿)》-第四讲应用与方程之简易方程

1、第四讲应用与方程第三章简易方程第一节用字母表示数符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具，学生学习数学的目的之一就是要懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展符号感。数学课程标准中也明确指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并能用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。”代数是算术的继续和推广，“用字母表示数”是学习代数初步知识的起步，也是“人类认识的一次飞跃”。在算术里，人们只对一些具体的、个别的数量关系进行研究，引入用字母表示数后，就可以表达、研

2、究具有更普遍意义的数量关系。可以说，学习代数就是从学习用字母表示数开始的。作为数学教师我们不能仅认为用字母表示数是因为不知道这个数是多少而引入的，运用主要是在解方程中用来表示未知量，而应该把握用字母表示数的实质。当我们迈步走入数学历史的长河中，我们才发现“用字母表示数”最早是古阿拉伯数学家花拉于米用文辞叙述的，之后是古希腊数学家丢番图用字母的缩写表示的，直到17世纪才由法国数学家韦达不仅用字母表示未知量，而且用字母表示系数，从而实现了人类认识的跨越，打开了近代代数学的大门。用字母表示数经历了“文辞代数、缩写代数、符号代数”三个历史阶段，从三个阶段的发展，我们能感受到“用字母表示数”的实质是符号

3、化，绝不是用字母替代某数量。由此，教学用字母表示数的要义显然在于让学生理解，一个已知的量为什么还要用字母表示，理解了这一点才能使学生的认识实现由具体向形式化的飞跃。实际上，不仅仅是“用字母表示数”，数学中战略性概念的建构，其背后都闪烁着数学思想的熠熠光芒，都是数学认识上的一次重大突破，脱离了历史背景，就看不清它的来龙去脉，自然也就无从体会其数学本质。一、教学目标及理念的演变。标准中对“用字母表示数”的内容及要求是：“在具体的情境中会用字母表示数。”而大纲的要求是：“会用字母表示数、常见的数量关系、运算定律和公式。”表面上看没有什么区别，但这却是一个理念性的改变，标准指出“义务教育阶段的数学课程

4、应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。”“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这些是对数学课程功能的重新定位，这一理念应贯穿于数学课程改革的全过程。标准中更强调学生在具体的情境中学习数学，对学习内容的认识上，实验教材更多地基于对建构主义知识观和学习观的理解，强调知识应该在学生丰富多彩的学习活动中主动建构，与

5、原义务教育教材比较关注知识本身的体系结构相比，实验教材更明显地将用字母表示数作为一个整体去学习，尤其是北师大版的教材，这一特点更加突出。对学习主体的假设上，原义务教育教材比较关注较低层面的学生的能力水平状况，因而教材重视准备，步子较细，这在满足这部分学生的同时，对另一部分学生而言，显得学习的起点偏低。实验教材特别是北师大版的教材，则将学生的能力水平定位在一个合适的层面上，充分相信学生的生活经验对他的学习具有有效的支持作用，充分肯定学生在学习过程中对数学知识和方法具有自主迁移的能力，能够通过自己的探索建构知识，这是对学习主体认识上的进步，但同时并非每个学生都达到了教材所定位的层面，这是在教学中需

6、要关注的。基础性是义务教育的基本要求，在义务教育阶段为学生打好数学基础，使学生学到作为一个公民所应具备的数学知识，同时要有利于学生的发展。“有价值的数学”是课程内容的基本要求。用字母表示数正是这样一个现代“公民所应具备的”，“同时有利于学生的发展”的“有价值的数学”内容。标准与以前的大纲相比内容并没有什么增多，但在数学思想方法上，有了十分明显的改变与增加。数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，是人们对数学理论与内容的本质认识，是对数学规律的理性认识。在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，是数学的

7、灵魂。而课标教材更加注重渗透符号化思想、建模思想和函数思想。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。数学建模思想，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假设。它是把生活中实际问题转化为数学问题（模型）的一种思想。建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。积极探索“问题情境建立

8、模型解释应用”的模型。培养学生用数学的眼光去认识和处理周围事物或数学问题，乃数学教学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性，函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。对于“用字母表示数”的教学而言，标准与大纲相比实际上要求是提高了，这个提高主要体现在：1、学生初次接触的时间提前，由五年级提前到四年级；2、情境的变化，由枯燥的计算向具体的实例情境转变；3、更加关注数学思想。我们教师对于这些变化要有一个明确的认识，改变是社会发展的需要，是学生学习的需要。二、教材和教学内容的演

9、变。以往的中小学数学课程内容，用字母表示数的内容偏少，尤其是新大纲中虽然增强了这部分内容，但仍然是站在数学学科的知识体系来安排这些内容的，而那些与现实情境和学生生活密切相关的情境，向学生展现得不多。学生所学的内容过窄过难，既不能引起学生学习的兴趣也不能使学生了解数学这门学科的核心价值，更不明白这部分内容教学的意义，反映出小学数学课程结构的不合理性。建立比较合理的、对学生有价值的数学课程结构，成为这次数学课程改革的一个重要任务。用字母表示数在义务教育六年制小学数学教材中被安排在五年级上册，而课标（北师大版）教材把这部分内容安排在四年级下册，具体见下表：册别义务教育第九册课标（北师大版）教材第八册

10、内容用字母表示数（8695页）用字母表示数（8587页）教学目标会用字母表示数、常见的数量关系、运算定律和公式；能够将数字代入字母公式进行计算；通过本课知识的教学培养学生的抽象概括能力。在具体的情境中，会用字母表示数，会用字母表示运算律和有关图形的计算公式；在探索用字母表示数的过程中，渗透符号化思想、建模思想和函数思想，发展学生的抽象概括能力。用字母表示数在工作和生活中的应用越来越广泛。增加这部分内容是课改的必然要求，通过统计量的教学渗透符号化思想、建模思想和函数思想，发展学生的抽象概括能力，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。三、教学中需要明确的几个概念。从理性角度分析,作为算术知识和代

11、数知识的交汇区的“用字母表示数”这一内容,虽然小学生对此缺少足够的感性支撑,但其对字母语言并不陌生,这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用、或表示数）的基础上，进行学习的。在教学这部分内容的时候，我们需要明确以下概念：1、代数式。代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与表示数的字母连结而成的式子。单独的一个数或者字母，也是代数式。例如：ab，ax2b，c，2、代数式的值。用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果就是代数式的值。求代数式的值可以直接代入、计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值

12、。3、乘方。求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。乘方算是一个三级运算。在an中，相同的乘数a叫做底数，a的个数n叫做指数，乘方运算的结果an叫做幂。an读作a的n次方，如果把an看作乘方的结果，则读作a的n次幂。a的二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也可以读作a的立方。 4、等式。表示相等关系的式子叫做等式。等式有恒等式和条件等式两种。等式的性质有三：性质1：等式两边同时加上(或减去)相等的数或式子，两边依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b 那么有ac=bc 或ac=bc （a,b0 或

13、a=b ，c0）性质3：等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。若a=b那么有=除此以外，相等关系“=”还有以下更基本的性质：（1）如果a=b那么b=a这条性质叫做相等关系的对称性。我们有时把8=改写成=8，就是利用了相等关系的对称性。（2）如果a=b并且b=c那么a=c这条性质叫做相等关系的传递性。根据对称性和传递性，可以知道，如果a=b并且b=c那么a=c这条性质可用文字说成“等于同一量的两个量相等”，简称为等量代换，这在中学数学中十分有用。小学为什么要学习等式的性质？长期以来，在小学教学简易方程，方程变形的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。到了

14、中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。现在，根据标准的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。另外，从国内部分地区的先行实验来看，等式基本性质所反映的数学事实，比较浅显，小学生凭借自己的知识经验，不难发现其变化规律。只要处理得当，把它作为解简易方程的依据也是可行的。引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，一个相应的措施就是调整简易方程

15、的基本内容，暂不出现形如a-x=b和ax=b的简易方程。这是因为小学生还没有学习正负数的四则运算，利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如ax=b的方程，本质上是分式方程，依据等式的基本性质解需要先去分母，同样不适合在小学阶段学习。事实上，回避这两种类型的简易方程，并不影响学生列方程解决实际问题。因为当需要列出形如a-x=b或ax=b的方程时，总可以根据实际问题的数量关系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。这也体现了列方程解决问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就比较容易显现出来了，比如，解形如x+a=b与x

16、-a=b的方程，都可以归结为，等式两边减去（加上）a，得x=b-a与x=b+a。解形如ax=b与xa=b的方程，都可以归结为，等式两边除以（乘上）a，得x=ba与x=ab。显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。所以，小学引进了等式的性质，是为了学生以后的数学学习，为学生的可持续发展提供动力。 5、不等式。用大于、小于号等没有等号连接的式子是不等式，其连接两个式子的符号就是、。不等式的性质有：不等式基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。不等式基本性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式基本性质3不等式两边都乘（或除以）同一个

17、负数，不等号的方向改变。不等式还有以下性质：性质1:如果ab,bc,那么ac(不等式的传递性)。性质2:如果ab,那么ba（不等式的反对称性）。性质3: 如果ab,那么a+cb+c(不等式的可加性)。性质5: 如果ab,c0,那么acbc;如果ab,cd,那么a+cb+d。性质6: 如果ab0,cd0,那么acbd。性质7:如果ab0,nN,n1,那么anbn。这些性质在数学教学中都十分有用。 四、学习用字母表示数的意义和价值。一般地说，在小学教学用字母表示数有以下几方面的意义和价值：1、有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。因为对小学生来说，从具体事物的个数抽象出用字母表示数是

18、认识上的一个飞跃，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃。而且，用字母表示未知数，是学生解决实际问题的数学工具，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。2、有助于巩固和加深理解所学的算术知识。通过用字母表示所学过的数量关系、运算律以及一些图形的周长、面积计算公式，可以使学生加深对这些知识的理解。同时，由于用字母表示比用文字表述更简明易记，所以便于学生巩固所学知识。3、有利于加强中小学数学的衔接。让学生初步接触一点代数知识，能使学生摆脱算术思维方法中的某些局限性（逆向思考，未知数不参加运算，等于缺少一个条

19、件等），为进一步学习代数知识做好认识的准备和铺垫。五、课堂实施策略。1、让学生感受用字母表示数的优越性。在教学中，要注意通过一系列的教学活动，让学生感受用字母表示数的优越性。比如通过用字母表示运算定律，特别是用字母表示乘法分配律，使学生感受到数学的符号语言比文字语言更为简洁明了。通过从具体的算式抽象出用字母表示的数量关系，教学时要充分利用学生原有的相关认识基础，关注由具体实例到一般意义的抽象概括过程，使学生体会由个别到一般的认识需要，初步感知抽象的作用。积累这样的体验和认识，对于提高学习兴趣和理解所学知识都有帮助。案例一：数青蛙如何在教学中引导学生体会用字母表示数的优越性，我们一起看老师的一些

20、做法：师：老师小时候特别喜欢念一首儿歌。（投影出示儿歌数青蛙）大家认真读一读。 学生齐读，当读完投影显示内容后，教师要求继续往下读，学生照做。 师：能用今天学的知识，用一句话把这个儿歌念完吗？ 生1：a只青蛙a张嘴，b只眼睛d条腿。 生2：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。 师：比较这两种不同的表示方法，你有什么想说的？ 同学们，像n3这样含有字母的乘法算式，它有一些简单的写法，n3可以写成3n（3乘n），乘号可以用“点”来表示，但是它还是读作3乘n；n3还可以写成3n直接把乘号省略不写；但是，不管是第一种还是第二种简写，数字一般都写在字母前面。同学们你们觉得哪种写法最简单呢？（3n=3n最

21、简单）你还能举出像n3=3n这样的例子吗？ 4、小结：刚才，我们用了含有字母的式子表示数之后，就解决了很多的问题，那么，你觉得用字母表数有什么好处呢？（简单方便、易懂）2、建立含有字母的式子的模型。 从大量的情境中抽象出用字母表示数的模型，这是列方程的基础。案例二：猜老师的年龄 师：大家知道李老师今年多大吗？想知道吗？猜猜看！（学生回答略） 师：老师知道你们大部分同学都是10岁，对吗？老师就以同学们的年龄10岁为标准，（板书：同学的岁数 10）老师再告诉你们一个数学信息：李老师比你们的大25岁，现在你能够知道老师今年几岁吗？（板书：老师的岁数 ） 怎样知道的？（板书：10+25） 当同学们1岁

22、的时候，老师多大呢？（板书：1+25） 下面我们来做个游戏，让我们进入时空隧道。同学们可以回忆从前，也可以展望美好的未来，推算当你几岁时，那年李老师是多少岁。把你的想法写下来，小组内交流一下。 学生大组汇报，师板书： 同学的年龄/岁老师的年龄/岁11+2566+251010+252323+25 这么多同学都想说，老师真的好想把每个人的想法都写下来，行不行呢？如果真的都写下来，你有什么感觉呢？（太麻烦了，写不完。） 那你能不能想个办法，用一个式子概括所有同学的想法，表示出老师任意一年的年龄呢？试试看。 师：这里的a可以表示任何一个数字吗？表示500行不行？ 师小结：看来用含字母的式子表示生活中的

23、数量时，字母所取的数要符合生活实际。案例三：摆三角形同学们用小棒摆过三角形吗？摆一个三角形需要几根小棒?（3根）摆2个这样的三角形需要几根小棒?（6根）摆3个呢?（9根） 摆4个呢？（12根）摆1个三角形，需要小棒根数用算式（13来表示，）2个，23，3个，33，你想摆几个三角形，需要多少根小棒，你能象这样用算式把它表示出来吗？当摆a个三角形时，需要用多少根小棒？1）请同学们填写完表格。2）四人小组交流一下自己怎样填写表格的。3）让学生自己上来讲述填写的原因。摆一个三角形要3根小棒三角形个数需要小棒根数123a师：这些算式都有什么特点？ （每个算式都“3”）为什么要乘3呢？知道三角形个数，怎样

24、算小棒根数？哇，字母式真奇妙！一个式子就概括了表格中所有的算式，而且能看出小棒根数是三角形个数的3倍。3.注意渗透函数思想。主要体现在归纳数量关系用字母表示时，可适当渗透变量间的对应关系，依存关系。如标准体重随着身高的变化而变化，两个量之间具有一一对应的关系。还体现在说明字母取值范围时，可适当渗透函数的定义域思想。如针对课本中的设问“想一想，式子中的字母可以表示哪些数？”教师在引导或评价学生回答时，可以让学生初步认识到，式子中的字母可以表示哪些数，常常有一定的范围，这个范围要具体问题具体分析，不能一概而论。案例四：用字母表示一个变化的数出示四张扑克牌，A、J、Q、K，你知道它们表示什么吗？板书

25、： A=1，J=11，Q=12， K=13,也就是说，字母可以表示数。（板：用字母表示数）在这里，一个字母表示几个数？（一个数）我们再来做个游戏，猜猜老师今年有多大？如果以同学的年龄为标准，我比他大15岁，那我今年多大？你怎么知道的。当同学6岁时，老师多少岁？当同学12岁时，老师多少岁？当同学20岁时，老师多少岁？ 谁能想个办法，把大家说的话用一个式子表示出来？也就是当你任意一年的岁数时，老师是多少岁？（a15）如果，用b表示老师的年龄，那么，该同学的年龄又该怎样表示？当老师60岁时，该同学几岁？ 在这里，a可以是多少？（任何一个自然数，表示一个变化的数。）从扑克牌里知道字母可以表示一个数，在

26、这里，a可以表示很多很多的数，说明字母还可以表示一个变化的数，在不变的数，到变化的数，引导学生不断体会函数的思想，加深对函数思想的理解。4、重视良好学习习惯的培养。根据用字母表示数的特点，需要也比较适合培养学生规范书写的习惯。含有字母式子的书写，必要从一开始就强化必要的书写规范。以发挥首次感知先入为主的强势效应，促进良好的书写习惯的形成。此外，对于没有开设英语课或尚未学习英文字母的班级，可以在新授前或新授中，把教材里出现的字母，如a、b、c、h、s、t、v、x，让学生认读，与汉语拼音的读音区别，为数学学习扫除障碍。六、典型例题。例1：想一想，填一填。（1） =24 =（ ） （2）1，3，5，

27、7，b，11，13。b =（ ）分析与解：（1）三个 相加是24，也就是求3个几是24，根据乘法口诀“三八二十四”可以求出商是8。（2）这几个数的排列是有顺序的，从左往右依次多2，所以b应该比7多2，也就是等于9。答： =9，b=9。总结：我们可以用 或a这些符号或字母表示数，看来，有时字母在特定的环境中表示的数是特定的。我比小花大27岁。例2：妈妈今年多少岁？我今年a岁了。 小花 妈妈分析与解： 从题中我们可以知道妈妈比小花大27岁，小花a岁，我们可以从小花1岁的时候算起，当小花1岁，妈妈就是（1+27）岁；当小花2岁时，妈妈就是（2+27）岁；当小花3岁时，妈妈就是（3+27）岁；为了便于

28、我们分析比较，我们可以列表来分析：小花的年龄/岁妈妈的年龄/岁11+2722+2733+2744+2755+27aa27 看来，我们不但可以用（a27）来表示出小花妈妈任意一年的年龄，而且可以表示“妈妈比小花大27岁”这个数量关系。这里的a不能表示任何一个数，因为人的寿命是有限的，看来用含字母的式子表示生活中的数量时，字母所取的数要符合生活实际。答：妈妈今年（a27）岁。总结：我们在用字母表示数的时候，要注意字母表示的范围，这里的字母所表示的数不再是特定的数了，而是变化的数了。例3：如上图，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要几根小棒？摆3个正方形需要几根小棒？摆10个呢？摆a个呢？分析

29、与解：摆1个正方形，需要4根小棒，摆2个正方形，需要8根小棒，摆3个正方形，需要12根小棒，摆10个正方形，需要40根小棒，所需要的小棒根数用算式14来表示， 24，34，我们可以把这些发现填写在下面的表格里，来研究摆a个三角形时，需要用多少根小棒？摆一个正方形要4根小棒正方形个数需要小棒根数141242343444545646aa4从表中我们能发现：每个算式都“4”，为什么要乘4呢？知道正方形个数，只要乘4就是需要小棒的根数。哇，字母式真奇妙！一个式子就概括了表格中所有的算式，而且能看出小棒根数是正方形个数的4倍。a4通常写作4a或4a，数字一般写在字母前面。答：摆1个正方形需要4根小棒，摆

30、2个正方形需要8根小棒，摆3个正方形需要12根小棒，摆10个正方形需要40根小棒，摆a个正方形需要4a根小棒。总结：（1）在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以记作“”，也可以省略不写。但要注意，在省略乘号的时候，应当把数字写在字母的前面。（2）1与任何数相乘的算式，1必须省略不写；反之，任何字母前没有其它数时，它的系数就是1。 例如：y1=y。（3）如果字母算式后带单位，减法、加法和除法（即除乘法算式外）的字母算式都必须加括号。 例：(b+28）岁，（ a +6）米，（xy ）包。例4：我们已经认识了用字母表示数，想一想，用字母还可以表示什么？分析与解：我们还可以用字母表示我们学过的一

31、些常见的数量关系、运算律和一些图形的计算公式。1、用字母表示我们学过的一些常见的数量关系。回顾我们学过的数量关系，主要有以下几个：（1）路程、时间与速度。如果用s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么：s= vt t= v = 。 （2）单价、数量和总价。如果用a表示单价，x表示数量，c表示总价，那么：c= ax x= a = 。 （3）工效、工作时间和工作总量。如果用a表示工效，t表示工作时间，c表示工作总量，那么：c= at t= a = 。2、用字母表示运算律。加法交换律：ab=ba加法结合律：(ab)c=a(bc)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a

32、b)c=acbc3、用字母表示图形的计算公式。长方形的周长：c=2（ab）长方形的面积：s=ab正方形的周长：c=4a正方形的面积：s=a2平行四边形的面积：s=ah三角形的面积：s= sh梯形的面积：s= （ab）h总结：a2读作a的平方，表示两个a相乘，而2a表示表示两个a相加。a3读作a的立方，表示三个a相乘。七、问题和建议我们对一些教过用字母表示数的数学教师进行了一些调查和访谈，结果发现，一大部分教师对课标教材背后的内容了解还远远不够，不具备这方面的专业知识储备，有关这方面的培训也不多，知识基础相对薄弱，对有些问题教师本身都搞不清楚，教学理念的落后使得一些教师的课堂老生常谈，仍从知识的

33、角度进行本部分内容的教学。基于此，我们提出了以下教学建议：1、要从数学史的高度进行这部分内容的教学。作为数学教师，我们应该掌握一些有关数学史方面的知识储备，不能只是简单地把数学史理解为“数学+历史”这显然没有达到数学史应有的价值。中国科学院李文林先生提出：“数学史除了为历史、为数学而历史外，还应该为教育而历史。”数学史与数学教育的貌合神离，恐怕主要是因为我们的教师还没有确立“为教育而历史”的意识，而更多地只是关注自己的课堂是否穿上了时尚的“数学文化”的外衣！数学史为教育而历史是个再创造的过程。这种创造，根本之处在于考察视角的转变。如果停留于历史的考察，我们只能看到数学发展的史实：是谁在什么时候

34、提出了什么数学知识。正如用字母表示数一样我们都会呈现：“人们认识用字母表示数的过程是很漫长的。早在3800年前，古埃及人用堆表示特定的数。公元4世纪前后，古希腊学者丢番图开始用希腊字母表示数和一些运算，成为用字母表示数的先驱。这之后又经历了1200年，16世纪的法国数学家韦达才有意识地、系统地用字母表示数，因此，他被尊称为现代代数学之父。”如果深入到学生数学学习的内部，保持着敏锐的“怎样促进儿童数学学习”的触角，我们就可以通过研读数学史，捕捉到其间隐藏着的丰富的教育基因，从而真正促进学生数学文化素养的有效提升。 2、在教学中注重引导学生建立数学模型。用字母的数是研究数量关系和变化规律的数学模型

35、之一，可以帮助人们从数量关系的角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界，能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言以及数字、语言进而到符号的抽象转变字母表示数，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提高到一个更高的水平。它不仅为数学表示和交流提供了有效的途径，而且为解决问题提供了重要的策略。3.注意渗透数学思想。这部分内容蕴涵着丰富的数学思想，作为教师，我们应该把握教材的实质，深入挖掘教材的核心思想，如建模思想、函数思想、符号化思想等。符号就是数学存在的具体化身。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学

36、的内容，这就是符号思想。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(ab)cacbc，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7长方形的面积计算公式sab，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。这些都是符号化的优势，需要教师在教学中有意识地进行渗透。利用了运动和变化观点，在集合的基础上，把变量与变量之间的关系，归纳为两集合中元素间的对应。数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物，主要体现在建立用字母表示数的数学模型，可适当渗透变量间的对应关系，依存关系。4、教师专业成长

37、要处理好提升理念与补充知识的关系。新课程提出了一些新的理念，理解、领会、实施这些理念是重要的。但是，正如上面所分析的，只有用新理念深入挖掘教材，才能让我们的教师对这部分内容有一个更为深入的理解，就不会出现“以其昏昏，使人昏昏”的局面。课标要求我们树立新的教学理念，并在这些理念的指导下创新教学方式和学生的学习方式，在整个教学过程中认真研究、设计有效地的数学活动，减少无效劳动，在教学过程的各个环节中提高探究、实践、体验、合作、交流等各种学生参与的教学活动的实效性，促进学生积极主动地发展，转变学生的学习方式，使学生学会学习，为其终身发展提供帮助。第二节 解方程“方程”做为解决问题的一个重要的模型，被

38、广泛的应用，用方程解决问题，是人类在解决问题上的一大进步。在学生的学习经历中，教师要让学生逐渐从“算术”到“方程”产生思想、意识的转变，学生的转变是从认识“方程”和掌握基本的“解方程”方法开始的。自课改以来，就“解方程”部分而言，新的教材，编排了不同于老教材的学习内容；数学课程标准（实验稿）（以下简称课标）对解方程做了新的标准说明，这些就使我们教师在处理这部分内容时做出了新的应对策略。教学行为服务于学生，而如何服务？提供什么质量的服务？这些则决定于我们教师对这部分内容的解读。以下提供一些编者对“解方程”部分的认识。一、课标中对“解方程”的说明课标在第二学段（46年级）“内容标准”中对“式与方程

39、”给出了如下的界定：（1）在具体情境中会用字母表示数。（2）会用方程表示简单情境中的等量关系。（3）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程(如3x+25，2x-x3)。就“解方程”而言，第二学段我们可以明确的是：会用等式的性质解简单的方程。我们再来熟悉一下等式的性质：（1）等式的两边可以互换位置，即，如果a=b那么b=a。（2）等式的两边同时加（或减去）同一个数，所得的等式仍然成立。即，如果a=b那么am=bm 。（3）等式两边同时乘一个数或者同时除以一个不为零的数，所得的等式仍然成立。即,如果a=b,那么am=bm,或者an=bn（n0）。例1：解方程：2x204 2x204 解 ：2x

40、2020420 2x24 2x2242 x12 （此题选自人教版小学数学课本五年级下册）二、“运用等式的性质解方程”和“运用四则运算各个数之间的关系解方程”两种不同观点老的义务教育教材（以下简称老教材）中解方程的方法是依据“四则运算各个数之间的关系”。如果运用“四则运算各个数之间的关系”解例1的过程如下： 2x204 解 ： 2x420 （被减数和减数） 2x24 x242 （一个因数积另一个因数） x12无论是从大纲到课标，还是从老教材到新教材，在简易方程的解法要求上都发生了改变。究竟哪种方法更适合学生，老师们有不同的看法：1、运用等式的性质解方程。学生对以天平为直观形象载体的等式性质，感到

41、好奇、有趣、乐意接受，也容易理解，但这只局限于形如X+5.3=10.8、X1.6=4.9、3.2X=9.6、X4.5=18这样的方程式。而对于形如4.9X=1.6、18X=4.5这样的方程式却很难利用等式的性质来解决。2、运用四则运算各个数之间的关系解方程。没有什么局限性，只要熟悉、牢记四则运算各个数之间的关系即可。但是对使用新教材的孩子来说，教材体系从一开始就没有涉及这些内容。学生对四则运算各个数之间的关系不熟悉，这又成为运用四则运算解方程的障碍。并且，对四则运算中各个数之间的关系，在理解的基础上记忆，多数学生无法做到，而往往靠“死记硬背”，这又违背了新课改理念。3、两种方法都教给学生。实践

42、表明，教学中两类不同依据、两种不同思路同时并存，由着学生“喜欢什么，选用什么”，则中下水平的学生容易产生混淆，容易出现两种方法都没掌握好的现象。不妨分析一下新教材随着课标把解方程的方法演化成现状的依据：1、课标规定实行九年一贯制的学科体系，强调中小衔接，因而教材的编写就要遵循这一标准，加强中小学生在学习内容上的统一，强化知识间的内在联系。在初中阶段，解方程的一般步骤“去分母，移项，把系数化为1等”，其根本依据是等式的性质。所以，课标规定“会用等式的性质解简易方程”。2、课标强调“不仅考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成

43、数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”新教材无论是人教版还是北师大版都把等式建立在天平的直观认识上，符合了“从生活经验出发，经历将实际问题抽象成数学模型的过程”这一理念，并且便于学生理解。3、课标指出“学生的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆”。运用四则运算各个数之间的关系解方程，学生要记忆多个关系式，加重了学生的学习负担，同样不符合课改纲要提出的“化繁为简”的要求。4、第二学段采用等式的性质解方程能够满足学生现阶段解决问题的需要。小学阶段的新教材出现的解方程的练习题中，没有类似于4.9X=1.6、18X=4.5这

44、样的题。有人说，没有出现不等于没有，就能回避吗？我们要明确的是，各个阶段有其不同的教学目标，这样的练习题，当学生进入第三学段，系统学习了负数，和分数的相关计算以及对等式性质的深入理解，便会解决。例2：解方程 ： 862X 8 解：862X86886 2X78 2 X （2）78（2）X39 可以看出，整个过程仍然是依据等式的性质。我们在教学中会遇到这样的问题：“师傅3小时加工了200个零件，比徒弟3个小时多加工了50个，徒弟平均每小时加工多少个零件？”学生可能在解决这个问题时列方程：“2003x50”，遇到这类问题，并不是不能解决。“这个方程，我们暂时不会解，可以换一个我们会解的方程吗？”“3

45、 x+50200”。还有人认为：新教材为什么要提倡用等式的基本性质解方程呢？首先，它追求的是解题思路的简约化。旧教材要记住并灵活运用六种关系式解方程，而新教材只需运用一种性质解方程，显而易见，后者较之前者更容易被理解并应用。其次，它实现了从算术思维到代数思维的提升。根据四则运算的关系来解方程，属于算术领域的思考方法；而用等式的基本性质解方程属于代数领域的思考方法。 三、教材和教学内容的演变人教版老教材：册别内容依据第九册例1、 x816例2、 3x440例3、 632x5例4、 6x3513例5、 7x9x80四则运算各个数之间的关系第十一册第十一册应用或练习：形如8x4/5 3/10x4/5

46、 3/42x5/8 x5/8x1560%x2540x10%x1819120%x7四则运算各个数之间的关系四则运算各个数之间的关系第十二册解比例：形如：6.5:x3.25:4比例的性质和四则运算各个数之间的关系人教版新教材册别内容依据五上1、天平游戏：x392、天平游戏：3x183、解决问题：x0.6414.144、解决问题：30x1800稍复杂的方程：1、解决问题：2 x2042、解决问题：2 x2.8210.43、解决问题：x2.4x5.1等式的性质六上分数除法练习题：形如5x15/19 解决问题：1、4/5x28 2、x1/4x25数学广角：“鸡兔同笼” 4x2（8x）26解比例：形如：6

47、.5:x3.25:4等式的性质北师大版教材册别内容依据四下天平游戏（一）：y810天平游戏（二）：4x380猜数游戏：2x2080邮票的张数：x3x180等式的性质五上数学与交通：60x40x50分数加减法练习：形如：x7/101/5等式的性质五下分数除法（二）练习:形如：1/2x10分数除法（三）应用： 2/9x 6分数混合运算（二）：练习 x1/4x3/8分数混合运算（三）：应用 （11/7）x12 x1/7x12百分数：应用 40%x500等式的性质六上百分数应用（三）：应用 65%x35%x210等式的性质从以上教材演化内容不难发现：1、新教材剔除了不能使用等式的性质解决的方程问题，因

48、此“解方程”在小学阶段缩减了很多内容。2、老教材的解方程是以例题的形式直接出示，而新教材“方程”的原型都来自于具有现实意义的问题情境，融解方程于解决问题之中，强化了数学与现实的联系，有利于学生增强“用方程法”解决问题的意识。3、北师大版教材没有出现 “解比例”中的解方程问题，增加了与百分数有关的解方程问题。人教版新教材在这两方面正好相反。4、人教版新教材解方程练习出现的较为集中，多以专门的章节出现。北师大版教材则采用分散出现，除了专门的章节外，在其他章节的课后习题中也有涉及。四、解方程教学中要明确的几个概念1、等式：表示相等关系的式子。2、方程：含有未知数的等式。3、方程的解：能够使方程左右两

49、边相等的未知数的值。如：x1是方程x23的解。4、解方程：求方程解的过程。5、方程同解原理：（1）方程的两边都加上(或都减去)同一个数或同一整式，所得的方程与原方程同解。（2）方程的两边都乘以(或都除以)不等于零的同一个数，所得方程与原方程是同解方程。（3）如果方程的一边为0，另一边可分解为n个因式的乘积，那么使各个因式分别等于零，这样得出n个方程与原方程是同解方程。 6、解方程的一般步骤：去括号，去分母，移项，合并同类项，把系数化为1。例：1/5(x15) 1/21/3(x7)解：去分母，得： 6(x15) 1510(x7)去括号，得： 6 x90 1510x70移项，合并同类项，得： 16

50、 x5把系数化成1，得： x5/6五、课堂实施策略1、借助天平直观建立等式表象，理解等式性质。案例：师：（出示天平）今天我们要在天平上做游戏，通过游戏你们将发现一些规律。1、现在我在天平的左侧放5克砝码，右侧也放5克砝码，这时天平的指针在中间，说明什么？（两边的质量相等。5=5）2、现在我在天平的左侧再放2克砝码，右侧也加2克砝码，你们发现了什么？（天平的指针还在中间）怎样用算式表示？（5+2=5+2）3、分别在天平的两边放上相同质量的砝码，你们发现了什么？ （天平的指针还在中间，即天平仍然保持平衡）4、你们再推想一下如果天平都减去相同质量，天平会怎样？学生猜想，教师实验验证（天平仍然保持平衡

51、）师：通过刚才两组游戏，如果我们把天平作为一个等式的话，你发现什么数学规律？小组交流。（通过天平游戏，发现等式两边都加上（或都减去）同一个数，等式仍然成立） 以上教学过程，充分利用了等式的现实模型天平展开。利用天平进行实验，学生真切的感知到天平的特性只要两边同时增减相同的质量，天平仍然保持平衡。把天平看作等式，等式的性质就很容易理解。实验操作体验过程，是学生获取知识的重要途径。我们教师在教学中要最大程度的满足学生的体验需要。2、重视给学生渗透“检验”意识。我们熟知，老的人教版教材有如下内容：例：解方程 x816解： x16+8 x24 检验：把x24代入原方程， 左边24816，右边16， 左

52、边右边 所以x24是原方程的解。在以上例题中，有规范的检验过程，新的人教版教材也给出了类似的检验过程，并在后面不断用“信息泡”的形式提醒“别忘了检验”。北师大版教材没有这些，所以使用北师大版教材的学生的检验意识相对较弱，检验方法相对不明确。教师在教学中要重视补充“检验”，强化检验意识。第三节 列方程解应用题一、列方程解应用题的意义从算术到初等代数是人们对现实世界的数量关系认识过程中的一个飞跃。引入代数初步知识后，由只许已知数参加运算，过渡到未知数也参加运算，产生了方法上的一次突破。列方程解应用题属于数与代数部分的内容，它就是用字母（x）表示实际问题里的某个未知数，根据等量关系列出含有未知数的等

53、式，然后，把未知数转化为已知数，求得问题的解答。因此列方程解应用题，是小学生学习解应用题的一个重要方法。二、列方程解应用题的教学要求教学大纲对“列方程解应用题”的教学要求是：认识列方程解应用题的一般步骤，初步掌握列方程解应用题的方法，并养成自觉检验的习惯。对于方程来说，在传统的教学中，注重的是有关的概念和技能，尽管有相当一部分内容是“列方程解应用题”，而且历来被看做是教学的重点和难点，但在教学中，教师有时仅满足于头头是道地给学生分析数量关系，机械地列出方程，解答问题；更有甚者，给学生把问题分类，并就每一类问题提供主要的等量关系和解题套路，什么行程问题、工程问题等等，不一而足。这样的教学，没有探索，没有研究，也没有挑战性，有的只是被动的接受和机械的模仿、操练，使具有良好教学作用的课题变了味，学生体会不到方程是现实世界的数学模型，更没有经历数学建模的过程，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。新课标对“列方程解应用题”的教学要求是：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，会用方程解决简单的实际问题，提高解决实际问题的能力。