广西2020版高考数学一轮复习 高考大题增分专项三 高考中的数列课件 文

1、高考大题增分专项三高考大题增分专项三 高考高考中的数列中的数列 -2- 从近五年高考试题分析来看,高考数列解答题主要题型有:等差、 等比数列的综合问题;证明一个数列为等差或等比数列;求数列的 通项及非等差、等比数列的前n项和;证明数列型不等式.命题特点 是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档. -3- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 突破策略一公式法 对于等差、等比数列,求其通项及求前n项的和时,只需利用等差 数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可. -4- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 例1已知等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1,a2+a4=10,

2、b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1. 解:(1)设等差数列an的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2.所以an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. -5- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 对点训练对点训练1(2018山东淄博一模)已知an是公差为3的等差数列, (1)求数列an的通项公式; (2)求数列bn的前n项和Sn. a1=4,an是首项为4,公差为3的等差数列. an=4+(n-

3、1)3=3n+1. (2)由(1)及anbn+1=nbn+bn+1, -6- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 突破策略二转化法 无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后, 能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比 数列的通项公式或求和公式解决问题. -7- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 例2在数列an中,a1=1,数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比 数列. (1)求a2,a3; 解:(1)数列an+1-3an是首项为9,公比为3的等比数列,an+1- 3an=93n-1=3n+1. a2-3a1=9,a3-3a2=27.a

4、2=12,a3=63. -8- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 对点训练对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项 和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=ln a3n+1,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn. -9- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 -10- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 突破策略一定义法 用定义法证明一个数列是等差数列,常采用的两个式子an-an- 1=d(n2)和an+1-an=d,前者必须加上“n2”,否则n=1时a0无意义;用 定义法证明一个数列

5、是等比数列也常采用两个式子 -11- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 例3已知数列an满足an+1=2an+n-1,且a1=1. (1)求证:数列an+n为等比数列; (2)求数列an的前n项和Sn. 所以数列an+n是首项为2,公比为2的等比数列. (2)解:由(1)得an+n=22n-1=2n,故an=2n-n. -12- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 对点训练对点训练3(2018江苏淮安一模节选)已知数列an,其前n项和为 Sn,满足a1=2,Sn=nan+an-1,其中n2,nN*,R. (1)若=0,=4,bn=an+1-2an(nN*),求证:数列bn是等

6、比数列; 证明:(1)若=0,=4,则Sn=4an-1(n2), 所以an+1=Sn+1-Sn=4(an-an-1), 即an+1-2an=2(an-2an-1),所以bn=2bn-1. 又由a1=2,a1+a2=4a1, 得a2=3a1=6,a2-2a1=20,即bn0, -13- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 (2)若a2=3,由a1+a2=2a2+a1,得5=6+2. 即(n-1)an+1-(n-2)an-2an-1=0, 所以nan+2-(n-1)an+1-2an=0, 两式相减得nan+2-2(n-1)an+1+(n-2)an-2an+2an-1=0, 所以n(an+2

7、-2an+1+an)+2(an+1-2an+an-1)=0, -14- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 因为a1-2a2+a3=0,所以an+2-2an+1+an=0, 即数列an是等差数列. -15- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 突破策略二递推相减化归法 对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解 题思路为:由an与Sn的关系递推出n为n+1时的关系式,两关系式相减 后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明. -16- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 例4已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(m+1)-man对任意的nN*都 成立

8、,其中m为常数,且m-1. (1)求证:数列an是等比数列; (2)记数列an的公比为q,设q=f(m),若数列bn满足 (3)在(2)的条件下,设cn=bnbn+1,数列cn的前n项和为Tn,求 证:Tn1. -17- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 证明(1)当n=1时,a1=S1=1. Sn=(m+1)-man, Sn-1=(m+1)-man-1(n2), 由-,得an=man-1-man(n2), 即(m+1)an=man-1. a10,m0,解得q=2. 所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立,解得a1

9、=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n. -25- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 (2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn, 由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n, 4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, 上述两式相减,得 -3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1 -26- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 突破策略二裂项相消法 把数列的通项拆成两项

10、之差,在求和时中间的一些项可以相互抵 消,从而求得其和.利用裂项相消法求和时,要注意抵消后所剩余的 项是前后对称的. -27- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 例6已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求an的通项公式; -28- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 对点训练对点训练6在等差数列an中,a2=5,a5=11,数列bn的前n项和 Sn=n2+an. (1)求数列an,bn的通项公式; 解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d, 故an=3+(n-1)2=2n+1. 当n=1时,b1=S1=4; 当n2时,bn=Sn-Sn-1=(

11、n2+2n+1)-(n-1)2+2(n-1)+1=2n+1, 又b1=4不符合该式, -29- 题型一题型二题型三题型四题型五策略一策略二 -30- 题型一题型二题型三题型四题型五 要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是 先求和再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩再求数列的和,必 要时对其和再放缩. -31- 题型一题型二题型三题型四题型五 例7已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=an+n2-1(nN*). (1)求an的通项公式; (1)解:Sn=an+n2-1(nN*), a1+a2=a2+22-1,解得a1=3. 当n2时,an=Sn-Sn-1=an+n2-1-

12、an-1+(n-1)2-1, 整理得an-1=2n-1,可得an=2n+1,当n=1时也成立.an=2n+1. -32- 题型一题型二题型三题型四题型五 (2)证明:由(1)可得Sn=2n+1+n2-1=n2+2n. -33- 题型一题型二题型三题型四题型五 对点训练对点训练7(2018天津部分区质量调查)已知数列an为等比数列, 数列bn为等差数列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6. (1)求数列an,bn的通项公式; (1)解:设数列an的公比为q,数列bn的公差为d, 所以an=2n-1,bn=2n-1. -34- 题型一题型二题型三题型四题型五 -35- 题型一题型

13、二题型三题型四题型五 求解数列中的存在性问题,先假设所探求对象存在,再以此假设 为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立, 即不存在.若推不出矛盾,则得到存在的结果. -36- 题型一题型二题型三题型四题型五 例8已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为 常数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由. 答案：(1)证明因为anan+1=Sn-1,所以an+1an+2=Sn+1-1. 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 因为an+10,所以an+2-an=. -37- 题型一题型二题

14、型三题型四题型五 (2)解：由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1. 令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,即an+1-an=2. 因此存在=4,使得数列an为等差数列. -38- 题型一题型二题型三题型四题型五 对点训练对点训练8若an是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前 的前n项和. (1)求an和Tn; (2)是否存在正整数m,n(1mn),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在, 求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由. -39- 题型一题型二题型三题型四题型五 -40- 题型一题型二题型三题型四题型五 -41- 1.解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利 用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题,求 解这类问题要重视方程思想的应用;用好等差数列和等比数列的性 质可以降低运算量,减少差错. 2.求数列的通项公式就是求出an与n的关系式,无论条件中的关系 式含有哪些量,一般都需要通过消元、转化和化归的思想使之变为 等差、等比数列. 3.高考对数列求和的考查主