交通流模型的分析评价与模型的改进

1、交通流模型的分析评价与模型的改进鹏1 , 刘儒勋2张(1 . 昆明理工大学 理学院 ,云南 昆明 650093 ; 2 . 中国科技大学 数学系 ,安徽 合肥 230026)摘要 : 连续介质模型和车辆跟驰理论是 20 世纪 50 年代后交通流研究领域中最有影响和代表的两大理论 ,前者由于其宏观性质在应用中得以较快地发展 ,后者因其微观性可作为对前者的重要 补充. 本文通过对车辆跟驰规律的分析 ,进一步揭示了两种理论的内在联系 ,同时将这一领域的主要研究成果作了概括和分析评价 ,最后提出了交通流建模的一种新的观点和一个改进模型. 相 信本文的讨论有助于较快地了解这一领域的研究工作 ,对交通流的

2、建模与数值模拟具有参考价 值.关键词 : 车辆跟驰分析 ; 速度 - 密度假设 ; 延迟时间 ; 动力学模型中图分类号 : U 169161文献标识码 :A文章编号 :1007 - 855 X(2000) 04 - 118 - 06交通流连续介质模型简介交通流连续介质模型也称流体力学模型 , 它通过对单向运动的交通流在某时刻 t , 在某一位置 x 的有 关变量的描述来把握交通的特性和本质. 这些变量为流量 q ( x , t ) : 它表示 t 时刻点 x 处单位时间通过的 车辆数 ; 速度 u ( x , t ) : 它表示 t 时刻 x 点处的车流速度 ; 密度( x , t ) : 它

3、表示 t 时刻 x 点处单位长度所 有的车辆数.因假设了流体的可压缩性 , 所以流量 q ( x , t ) 与空间坐标 x 有关 , 同时密度( x , t ) 与时间坐标 t 有 关. 由流体力学守恒定律 , 可知在某点 ( x , t ) 处单位时间内密度的增加 ( 或减少) , 等于单位距离内流量的 减少 ( 或增加) . 于是有155 q5 t + 5 x= 0( 1)仍由流体力学的有关知识 , 还有上述三个交通变量的一个关系式q = u而关于第三个方程 , L - W 理论认为速度应该是密度的一个函数 , 即假设u = ue ()代入 ( 2) 有( 2)( 3)q = ue ()

4、= q ()( 4)再代回到 ( 1) , 可得到密度满足的微分方程55 q ()= 0( 5)+5 t5 x这一方程一般称为速度 - 密度假设或者运动学模型 , 其特征是激波间断的普遍存在 , 所以也称间断模型方程. 由于模型的第三个方程是建立在假设的基础上 , 其合理性从一开始就受到怀疑. 实际上这一 假设可由下面的车辆跟驰分析推导出来 , 而且这种分析使这一假设的局限性变得非常直观.几十年来的交通流建模问题基本上就是围绕着第三个方程进行讨论的 , 其合理性已不断得到改进.但由于交通因素的复杂性与道路的多样性 , 对这一问题的研究还远未达到完善的程度.车辆跟驰分析与速度 - 密度函数关系2

5、 车辆跟驰分析对空间变量是离散的 , 即它所关心的是行进中每一单个车辆的运动轨迹. 参照文献 收稿日期 :2000 - 04 - 29第一作者简介 :张鹏 ,男 ,1963 年 12 月生 ,讲师 ;主要研究方向 :计算流体力学第 4 期张鹏 ,刘儒勋 : 交通流模型的分析评价与模型的改进119 2 , 我们假设行驶为单车道 , 方向由左至右 , 并将行进中的某一车辆设定为头车 , 其运动方程记为 x 1 ( t ) .以此为界 , 我们只关心该车及其之后车辆的运动情况 , 并将任意两相邻的前后车辆分别记为 x n ( t ) 和x n +1 ( t ) .记上述两车的距离 ( 前车头至后车头

6、) 为 p n ( t ) = x n ( t ) - x n +1 ( t ) . 假设每一车辆的型号 、性能都大 致相同 , 车身长度为 L ; 若再假设不能超车 , 则有 L p n ( t ) 0) , 称为预期指数. 这样由 (12b) 式所导出动量方程为 u - ue () 5d u( 13)= - 5 xd tKuhne 模型 6 ( 1984) 描述的动量方程如下u - ue ()2 552 ud u+ 5 x 2( 14)= -C0 5 xd t它的前两项实际上可通过对 ( 12b) 式作适当的处理得到 , 第三项则考虑了粘性的影响.与车辆跟驰有关的“音速”,为粘性系数.式中

7、 C0 表示直接Ro ss 7 ( 1988) 对于交通流的估计在很大程度 ( 一定的密度区域) 是比较乐观的. 在他看来 , 驾驶员的第 4 期张鹏 ,刘儒勋 : 交通流模型的分析评价与模型的改进121 行驶愿望是十分强烈的 , 只要密度尚未达到饱和 , 都“尽可能”地想以某个自由畅行速度 uf (f ree flowspeed) 进行驾驶. Ro ss 也考虑了延迟时间 , 这样我们只需在 ( 12b) 式中将 ue () 换为常数量 uf , 即可得到 u - u fd u m= -( 15)d tRo ss 对于“尽可能”的界限是通过引入道路最大允许流量 C 来设置的 , 即u Cq

8、C或( 15a)当车流密度达到超饱和时 , Ro ss 认为车流已处于一种不可压缩的状态 , 这时流量与空间变量x 无关5 q = m= 0( 15b)5 xH. M . Zhang 8 ( 1998) 认为 , 对于较低的密度情形 , 加速度的表示式只需考虑 ( 12b) 式的第一项. 而对高密度分布的情形 , 应考虑包含平衡状态 , 即速度 密度假设模型作为其特殊情形. 根据这一思想 , 在( 12b) 式中若令 u = ue () , 其表达应与 ( 11) 式完全一致 , 这样就有对高密度分布情形的加速度表示d u 2 5 u - ued u- d= 0( 16)= -5 xd t对动

9、力学模型的评价与模型的改进Payne 模型被编入著名的 FR EFL O 程序 (1979) . 数值实验结果表明 ,对于一般情况的交通流描述 ,它 与实际比较接近 ,然而对于密度突然变化的交通情况其调节的过程过于缓慢. 此外该模型在高密度区存 在稳定性问题 ,会产生奇高的密度值. Kuhne 模型虽较 Payne 模型有较大改进 ,但其有限的数值结果很难 说明其在应用中的可靠程度.以上两个代表模型中隐含了速度 密度关系假设. Ro ss7 与 Michalopo ulo us9 都分别对此提出了批 评 ,指出这是以 Payne 为代表的这一类模型的根本缺陷. 这两位学者的模型都是建立在对速度

10、 密度关 系假设的直接引用或是隐含的“批判”的基础之上.在 Ro ss 模型中 ,驾驶员的行驶愿望是如此强烈 ,这无疑较好地还原了交通流的动力特性 ,因而也有一 些较好的数值计算结果. 尤其是对于因交通事故受阻和前方车道减少所产生的“瓶颈”( bot tleneck) 现象 , Ro ss 模型都能给出符合实际的描述.Michalopo ulo us 等人在后来的研究中进一步认为 ,延迟时间不应是常数. 一般来说 ,当密度较大时 ,延 迟时间应相对较小. 这使在高密度区反应过慢的问题得到缓解.Newell 10 12 的研究似乎与 Payne 及其之后的动力学模型背道而驰 , 在他的模型中没有

11、延迟时间. Newell 模型也始终没有放弃对速度 密度假设的引用 ,其核心思想是在此基础上提出了车流移动时所遵循的累计流量最小原则. 针对 Ro ss 等人的说法 ,Newell 认为一些数值模拟的失败 ( 如 Payne 模型) 是由于数值离散不当所造成.Newell 等学者同时指出了 Ro ss 模型的缺陷. 事实上这几乎是一目了然的 ,由 (16) 式可以看出 ,加速度 恒大于零 ,这使模型的描述为不断加速的情形 ; 饱和密度时交通流不可压缩的假定使得车流启动是同时的 ,即当某车启动时 ,后面的车辆都将立即跟上 ,波速的传播无限大.值得一提的是 ,吴正13 针对我国以低速混合交通为主的

12、情况 ,将一维管道流动的动量方程引入交通 流模型 ,并就有关参数建立了相应的实测方法 ,其数值结果与我国的实际交通情况是符合的.综合各主要模型的数值结果与学者们的分析讨论 ,我们进一步认为 ,相对于速度 密度假设模型 ,引入延迟时间后一方面会加快了由较低密度区域车流向较高密度区域的车流运动 ,而对于相反的情形则起 抑制作用. 后一种效果与实际一般来说是不符合的 ,例如类似我国这种“争先恐后”的城市交通状况. 前一种作用当密度不是很大时应该是有道理的 ,但当密度接近饱和时 ,必然会存在刹车过慢的问题. 为缓和 上述两种作用 ,大多数动力学模型在加速度的表示中除 u ( x , t ) 一项 (一

13、般称为松弛项) 外 ,又加入其它项(如粘性项 、压力项等) 对加减速度的幅度进行放大. 不过这些模型基本上未解决对高密度交通流的模拟5122 昆 明 理 工 大 学 学 报第 25 卷问题.H. M . Zhang8 的模型可能会是一个例外 ,或者说有较大改进. 因为其加速度表达式中的第二项正好 就是速度 密度假设模型的加速度. 这样可清楚地看出 ,相对于速度 密度假设模型 ,它对由高密度向低密度移动的车流有加快流动的作用 ,同时对由低密度向高密度的车流移动有抑制的效果. 前一个作用与 实际情况是吻合的 ,而后一种作用也许能够解决高密度交通流的数值模拟问题. 由于原文未给出数值结果 ,我们使用

14、了有限元方法对 H. M . Zhang 提出的模型方程给出两个数值算例 ,其中将延迟时间取为密度量的一个单减函数 ,数值结果与实际是较为吻合的. 不过这一模型的有效性仍需要更多数值模拟结果的检 验.然而 ,若纯粹从数学建模的角度来看 ,延迟时间是一个根本不存在的量. 因为车流速度的改变对于时 间变量应是一个连续甚至光滑的过程 ,速度的改变是在瞬间发生. 延迟时间 ( 例如取常数) 的引入实际上是将速度描述为时间的分段的阶梯函数 ,所以除速度取常数的情形外 ,激波间断是注定要发生的 ,即使对 密度随空间变量单减的情形也不例外. 相对于速度 密度假设模型 ,当车流由低密度向高密度流动时 ,激波的

15、发生更加普遍但一般来说其尖锐性会得到缓和 ,但当密度接近饱和时 ,激波的尖锐性可能反而会加 强 ,给数值求解带来很大困难. 这就是这一类模型对高密度交通流进行数值模拟时常常出现问题的重要原因.由以上分析 ,我们认为不考虑延迟时间的建模方法应是一条可行之路 , 并对此作了初步探索. 在(12a) 中取 = 0 , x = / , ue () , 由 ( 10) 式给出 , 并记 = - n m / m , 这样可得到 5u = ue () -( 17) 5 x这里一般认为 0 1 , 为无量纲常数. 由前面的车辆跟驰分析及 ( 12) 式可看出 , 这意味着考察点的车流速度由它与前车之间某点处的

16、密度所决定. 将 ( 2) 式与上式代入 ( 1) , 如果记ue () = q () , a () =d q () / d, 我们有5255 q ()= 5 x 2+5 t5 x 25+ a ()55= 或5 t5 x5 x 2这是非线性波方程 ,或者一般的 Burgers 方程 ,其右端项为扩散项 ,或者粘性项. 由建模分析过程或 ( 17) 式本身都可以看出 ,这一模型对车流的移动有与 H. M . Zhang 模型类似的加快和抑制效果 ,但其光滑性显然 要好得多. 我们对该模型采用有限元方法模拟了红绿灯间断与交通事故现象 ,数值结果十分理想. 这将 在在另一篇文章中作详细讨论.参考文献

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23、LIU Ru - xun2(1 . The Faculty of Sciences , Kunming U niversit y of Science and Technology , Kunming 650093 ,China ;2 . Depart ment of Mat hematics ,U niversity of Science and Technology of China , Hefei 230026 ,China)Abstract : Since 1950s , Co ntinuum Mo dels and Car Follow Theo ry have been t he mo st influential and rep re2 sentative t heo ries in t he t raffic research . The fo r mer has been developed rapidly in applicatio ns due to it s