相关性相关性建模

1、222相关性建模(1) Pearson相关系数Pearson相关系数是用来描述随机变量间相关性的最常用方法之一67。随机变量Xi和Xj之间的Pearson相关系数(Xi,Xj)可表示为：(Xi,Xj)cov(Xi,Xj)(Xi) (Xj)式中：cov(Xi,Xj)表示随机变量Xi和Xj之间的协方差;(2-10)(Xi)和(Xj)分别表示随机变量Xi和Xj的标准差如果已知随机变量Xi和Xj的N组样本数据，那么它们之间的 Pearson相关系数可以表示为？(Xi,Xj):?(Xi,Xj)NXinXiXjn Xjn1Xjn)(2-11)_ N/_N式中：Xi = ( Xn) N 和 Xj = (n

2、1,n 1N分别表示N组样本数据中随机变量Xi和Xj的平均值。(2)Spearman秩相关系数Pearson相关系数通常只能反映随机变量间的线性关系，当随机变量满足正 态性分布，其也能描述随机变量间的非线性关系67。但是当任一随机变量服从非 正态分布时，Pearson相关系数不能较准确地描述随机变量间的相关性67-68，此 时就需要引出Spearman秩相关系数s(Xi, Xj)。Spearman秩相关系数能够能较好地描述非正态分布随机变量间的相关性， 该系数不是测量随机变量间真实值的相关性，而是首先将随机变量的样本由低到 高排列，然后计算其各自的秩次并根据式(2-12)计算s(Xi,Xj):

3、s(Xi,Xj)cov(R, Rj)s,ij (R) (Rj)(2-12)式中：R和Rj分别表示随机变量Xi和Xj的样本所对应的秩次；cov(R,Rj)表示秩次R和Rj之间的协方差；（R）和（Rj）分别表示秩次R和Rj的标准差。s,ij 的取值范围为-1,1:当1 s,j 0时，表示随机变量Xi和Xj间存在负相关性， 且s,ij越小，负相关性越强；当0 s,ij 1时，表示随机变量Xi和Xj间存在正相 关性，且5,0越大，正相关性越强；当随机变量个数大于两个时,可米用秩相关系数矩阵p来表征随机变量间的相关性69：1s,12 川s,1Ms,21P11.s，2Mli*1(2-13)ps,M 1，*

4、ps,M2 川1风速、光照强度和负荷（为方便表述，以下统称为随机变量）间往往存在着一定的相关性。本文采用的不确定性模型中，存在两类非正态分布的随机变量（风 速服从两参数 Weibull分布、光照强度服从Beta分布），因此，本文采用Spearman 秩相关系数（矩阵）来表征随机变量间的相关性。242计及相关性的配电网概率潮流本章采用基于LHSMCS法来计算计及相关性的配电网概率潮流，并用该方 法检验机会约束条件。拉丁超立方采样（LHS是一种多维分层抽样法，由 McKay等人于1979年 提出，其本质6979是通过产生分布更加均匀的样本来提高精度。该采样方法具有样本记忆功能，可避免抽取已经出现的

5、样本，且能够使得变量分布的尾部参与抽 样。在抽取少量样本的情况下，该方法可以极大地提高计算精度。 该方法主要包 括两大步骤：（1）采样，获得随机变量的均匀分布且具有代表性的样本；（2）排序，用于处理随机变量间的相关性。242.1 采样设有M个待采样的随机变量X-X2，川Xm，其中Xm的累计概率密度函数为YmFm（Xm），m 1,2卅,M。采样过程具体为：（1）首先将区间0,1分为Nlhs个宽度为1 Nlhs的等间距区间巴,丄， Nlhs Nlhsn 0.5N lhsn 1，2J 11，N lhs ， 其中 N lhs 为LHS采样数；（2）然后在每个子区间里选取一个ymn，ymn（3）最后利用

6、反变换得到采样值Xmn Fm1（丄卫J）,m M,n Nlhs，其中NlhsFm1为Fm的反变换。采样过程示意图如图2-4所示。用上述采样过程对所有随机变量进行采样，可得到一个M Nlhs维的初始样本矩阵S0,其中S0的每一行表示一个随机变量的Nlhs个采样值，每一列则可称为一个样本nn图2-4采样过程示意图Fig .2-4 Schematic diagram of sampling2.4.2.2 Cholesky 分解排序若多个随机变量间具有相关性，则产生的样本矩阵也应具有相同的相关性，这就需要对S0中的样本进行重新排序。目前，文献中采用的排序方法主要有遗 传算法80-81、模拟退火算法82

7、、Cholesky分解排序法83、单键优化法84和 Gram-Schmidt正交化方法85等。其中，Cholesky分解排序法具有计算量小、精度 高的优点，应用最为广泛，因此本文采用Cholesky分解排序法来实现排序过程。设随机变量间的实际Spearman秩相关系数矩阵为pbj，则基于Cholesky分 解法对初始样本矩阵S。中的样本进行排序的过程如下61,83：步骤1)随机生成一个M Nlhs的顺序矩阵L ,并按照式(2-12)和式(2-13) 计算L的Spearman秩相关系数矩阵p。其中L的每一行由整数1,2卅，NLHS随机 排列组成。步骤2)对pl作Cholesky分解，如式(2-3

8、2)所示，其中Q为下三角阵。p =QQt(2-32)然后通过式(2-33)来消除由于随机排列而产生的相关性。此时，矩阵G的实际Spearman秩相关系数矩阵是一个单位阵。G = Q 1L(2-33)步骤3)对pObj作Cholesky分解，如式(2-34)所示，其中P为下三角阵； 然后通过式(2-35)使得Gu的Spearman秩相关系数矩阵与 巨切近似相等。pbj = PPT(2-34)Gu = PG=PQ-1L(2-35)步骤4)更新初始样本矩阵So中的元素得到新的样本矩阵Su，使得其每行 元素的排列顺序与Gu中对应行的元素顺序相同。经过上述操作后，Su的Spearman秩相关系数矩阵就与pbj近似相等，即产 生了采样规模为Nlhs的随机变量的相关性样本矩阵。进一步可将中的风速 和光照强度分别转化为风电出力和光伏出力。2.4.2.3计及相关性的配电网概率潮流图2-5基于LHS-MCS法的计及相关性的概率潮流计算方法流程图Fig.2-5 Flow chart of LHS-MCS probabilistic power flow method con sideri ng correlati ons基于LHS-MCS法的计及相关性的配电网概率潮流的总体思路是：首先用 2.4.2.1节描述的采样方法对风速、光照强