大学物理学教程（第二版）上册：4-4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理

1、第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 d ddd t t rF sFrFW ddMW 2 1 d MW 力矩的功力矩的功 一一 力矩作功力矩作功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理. M t M t W P d d d d 二二 力矩的功率力矩的功率 O r v F x t F r d v F x r O 力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理. d 第四章第四章 刚体转动刚体转动

2、物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1 JJMW 三三 转动动能转动动能 2 k 2 1 ii i mEv 四四 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 2 1 d MW 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量转动动能的增量 . 222 2 1 )( 2 1 Jrm ii i 2 1 1 1 dd d d J t J 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4

3、力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照 质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转动转动 速度速度 加速度加速度 t r d d v t v d d a 角速度角速度 角加速度角加速度 t d d t d d 质量质量 m 转动惯量转动惯量 动量动量角动量角动量 mrJd 2 JL v mp 力力力矩力矩 F M 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴

4、转动的规律对照 运动定律运动定律 amF 转动定律转动定律 JM 质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动 动量定理动量定理 0 0 dvv mmtF t t 角动量定理角动量定理 0 0 dLLtM t t 动量守恒定律动量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 常量 iii mFv , 0 常量 ii JM , 0 力的功力的功 b a rFW d 力矩的功力矩的功 0 dMW 动能动能2/ 2 k vmE 转动动能转动动能2/ 2 k JE 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动

5、的动能定理 质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动 动能定理动能定理 2 0 2 2 1 2 1 vvmmW 动能定理动能定理 2 0 2 2 1 2 1 JJW 重力势能重力势能mghE p 重力势能重力势能 Cp mghE 机械能守恒机械能守恒 常量 pk EE 只有保守力作功时只有保守力作功时 机械能守恒机械能守恒 常量 pk EE 只有保守力作功时只有保守力作功时 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动

6、的动能定理 v O v O O m p T F R 圆圆 锥锥 摆摆 子子 弹弹 击击 入入 杆杆 O v 以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统 机械能机械能不不守恒守恒 . 角动量守恒；角动量守恒； 动量动量不不守恒；守恒； 以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统 动量守恒；动量守恒； 角动量守恒；角动量守恒； 机械能机械能不不守恒守恒 . 圆锥摆系统圆锥摆系统 动量动量不不守恒；守恒； 角动量守恒；角动量守恒； 机械能守恒机械能守恒 . 讨讨 论论 子子 弹弹 击击 入入 沙沙 袋袋 细细 绳绳 质质 量量 不不 计计 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）

7、4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 例例1 有一吊扇第一挡转速为有一吊扇第一挡转速为 n1 = 7 rad/s, 第二档转第二档转 速为速为 n2 = 10 rad/s. 吊扇转动时要受到阻力矩吊扇转动时要受到阻力矩 Mf 的作用的作用, 一般来说一般来说, 阻力矩与转速之间的关系要由实验测定阻力矩与转速之间的关系要由实验测定, 但但 作为近似计算作为近似计算, 我们取阻力矩与角速度之间的关系为我们取阻力矩与角速度之间的关系为Mf = k 2, 其中系数其中系数 k = 2.7410-4 Nmrad-2s2 . 试求试求:（1）吊扇的电机在这两种转速下所

8、消耗的功率）吊扇的电机在这两种转速下所消耗的功率; （2）吊扇由静止匀加速地达到第二挡转速经历的时间为）吊扇由静止匀加速地达到第二挡转速经历的时间为 5 s . 在此时间内阻力矩作了多少功在此时间内阻力矩作了多少功 ? 解解 （1）WnkkMP 3 .23)2( 3 1 3 111f1 WnkkMP 0 .68)2( 3 2 3 222f2 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 解解 吊扇由静止作匀角加速度运动吊扇由静止作匀角加速度运动 , 5 2 2 n t tkMWdd 3 2

9、f 阻力矩作功阻力矩作功 43 0 33 4 1 dtkttkW t 在在 t 5 s 时间内时间内 JW8 .84 已知已知: n1 = 7 rad/s, n2 = 10 rad/s; Mf = k 2, k = 2.7410-4 Nmrad-2s2. . 求：求：（2）吊扇由静止）吊扇由静止 匀加速地达到第二挡转速经历的时间为匀加速地达到第二挡转速经历的时间为5 s . 在此时间内在此时间内 阻力矩作了多少功阻力矩作了多少功 ? t 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 例例2

10、 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转自由转 动动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 a 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少 ? v m m 解解 把子弹和竿看作一个系把子弹和竿看作一个系 统统 . 子弹射入竿的过程系统角动子弹射入竿的过程系统角动 量守恒量守恒 ) 3 1 ( 22 malmamv O a m v 30 22 3 3 malm am v 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体

11、绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 mamalmmalmg6)3)(2)(32( 22 v 222 ) 3 1 ( 2 1 malm )30cos1 ( 2 l gm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 . 22 3 3 malm am v O a m v 30 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 例例3 一根长为一根长为l、质量为、质量为m 的均匀细棒的均匀细棒, 棒的一端可绕通过棒

12、的一端可绕通过 O点并垂直于纸面的轴转动点并垂直于纸面的轴转动, 棒棒 的另一端有质量为的另一端有质量为 m 的小球的小球. 开开 始时始时, 棒静止地处于水平位置棒静止地处于水平位置A. 当棒转过当棒转过 角到达位置角到达位置 B, 棒的棒的 角速度为多少角速度为多少? 解解 取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统, , 在棒转动过程中在棒转动过程中 机械能守恒机械能守恒, , 设设 A A 位置为重力势能零点位置为重力势能零点. . BBAA EEEE pkpk O lm, m A B gm gm sin 2 1 l 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版） 4 4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动