2018年广东省广州市番禺区仲元中学高考数学冲刺试卷(文科)

1、2018 年广东省广州市番禺区仲元中学高考数学冲刺试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 36.0 分）1.已知集合A= x|xa B= x|x2），-3x+2 0 ，若 AB=B，则实数 a 的取值范围是（A. a1B. a 1C. a2D. a 22.已知复数z121 2 为实数，则 a=（）=1+ ai， z =3+2 i， aR， i 为虚数单位，若z zA. -B. -C.D.3.下列函数中既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）x-x2C.D. f（ x） =xsinxA. f（ x） =2 -2B. f（ x） =x -14.已知变量x y=

2、1.3x-1xy， 之间满足线性相关关系，且 ， 之间的相关数据如表所示：则 m=（）x1234y0.1m3.14A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.65.若变量 x， y 满足约束条件，则 3x+2y的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D.66.已知等差数列 an2、a4、a8 成等比数列，则=（） 的公差和首项都不为0，且 aA. 2B. 3C. 5D.77. 我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿

3、从娘家同一天走后， 至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A. 58B. 59C. 60D. 618. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）第1页，共 19页A. 8B. 2C. 2D. 29. 已知函数f x）=2x-ln|x|，则fx）（ ）的大致图象为（A.B.C.D.10.已知 A， B 是函数 y=2 x 的图象上的相异两点若点A， B 到直线的距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）D. （A. （，）B. （，-2）C

4、. （-1，）-2，）-1-+11.在三棱锥 A- BCD 中 AB=AC=1， DB =DC=2， AD=BC= ，则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为（）A. B.C. 4D. 712.在等腰梯形 ABCD 中， ABCD ，且 |AB |=2， |AD |=1， |CD|=2x，其中 x（ 0， 1），以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为e1，以 C，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（ 0， 1）都有不等式恒成立，则 t 的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共3 小题，共9.0 分）13.ABC 内角 A， B，C 的对边分别为a， b

5、， c，若 2ccosB=2a+b，则 C=_14.ABC中，CA =2CB =2=-1，OABC的外心，若=x+y，则在 ， ?是 x+y=_第2页，共 19页15. 已知函数 f（ x）满足 f （x） =f（ 2x），且当 x1， 2）时 f（ x） =ln x若在区间 1 ，4）内，函数g（ x） =f（ x） -2ax 有两个不同零点，则a 的范围为 _三、解答题（本大题共8 小题，共87.0 分）16.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_17.已知在数列 an 中， a1 =1，（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 bn=log 2an，数列 bn 的前 n

6、项和为 Sn，求 Sn18.近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年 （ 365 天）内 100 天的 PM2.5空气质量指数（ AQI ）的监测数据，统计结果如表：AQI 指数0， 50（ 50， 100（ 100， 150（ 150， 200（200， 300（ 300，+）空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数41318302015记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），AQI 指数为 x当 x在区间 0， 100内时，对企业没有造成经济损失；当x 在区间（ 100， 300 内时，对企业造成的经济损失与x 成直线模型（当AQI 指数为 150 时，造成

7、的经济损失为1100 元，当 AQI 指数为 200 时，造成的经济损失为1400 元）；当 AQI 指数大于300时，造成的经济损失为2000 元（ 1）试写出S（ x）的表达式；第3页，共 19页（ 2）试估计在本年内随机抽取1 天，该天经济损失 S 大于 1100 且不超过1700 元的概率；（ 3）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，这30 天中有8 天为严重污染，完成 22 列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？P（K 2k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.

8、0246.6357.87910.828附：，其中 n=a+b+c+d非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计19. 如图，在长方体 ABCD -A1B1C1D 1 中， AB =1， AD =2， E， F 分别为 AD ， AA1 的中点， Q 是 BC 上一个动点，且BQ=QC（ 0）（ 1）当 =1时，求证：平面 BEF 平面 A1DQ；（ 2）是否存在 ，使得 BDFQ ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由20. 已知椭圆 C1 ：=1 ab 0，焦距为4，抛物线C2：x2（ ）的离心率为=2py（ p 0）的焦点 F 是椭圆 C1 的顶点（ ）求 C1 与 C2 的标准方程；

9、（ ） C1 上不同于F 的两点 P，Q 满足=0，且直线PQ 与 C2 相切，求 FPQ的面积第4页，共 19页21. 已知函数 f（ x） =x2-lnx（ 1）求函数 f（ x）在点（ 1， f（1）处的切线方程；（ 2）在函数 f（ x）=x2-lnx 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1 的参数方程为（ t 为参数），直线l2的参数方程为（m 为参数），设直线l1 与 l 2 的交点为P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线C1（ 1）求出曲线 C1 的普通

10、方程；（ 2）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2 的极坐标方程为 sin（ +）=4，点 Q 为曲线 C1 的动点， 求点 Q 到直线 C2 的距离的最小值23. 已知函数 f（ x） = |x-a|，（ aR）（ 1）当 a=2 时，解不等式 |x- |+f（ x） 1；（ 2）设不等式 |x- |+f（ x） x 的解集为 M，若 ， ? M，求实数 a 的取值范围第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：由题意，集合 A=x|x a ，B=x|x 2-3x+20=x|1 x 2 ，A B=B，B? A，则：a2实数 a 的取值范围2 ，+）故选：

11、C化简集合 B，根据 AB=B，建立条件关系即可求 实数 a 的取值范围本题主要考查集合的基本运算，比 较基础2.【答案】 A【解析】解：z1?z2=（1+ai）（3+2i）=3-2a+（3a+2）i为实数，3a+2=0，解得 a=-故选：A利用复数的运算法 则、复数为实数的充要条件即可得出本题考查了复数的运算法 则、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 3.【答案】 B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于 A ，f （x）=2x-2-x 为奇函数，不符合题意；对于 B，f（x2单调递增符合题意；）=x -1，是偶函数，又在（0，+）上对于 C，f （x）=为偶函数

12、，在（0，+）上，f（x）=，为减函数，不符合题意；对于 D，f （x）=xsinx，其导数 f （x ）=（x）sinx+x（sinx）=sinx-cosx，不是增函数，不符合题意；第6页，共 19页故选：B根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与 单调性，综合可得答案本题考查函数的奇偶性与 单调性的综合应用，关键是掌握常 见函数的奇偶性与单调性，属于基础题【答案】 B4.【解析】图，解：由 表可得，由线性回归方程恒过样本中心点，可得，解得：m=1.8故选：B由图表求出样本中心点，利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，是基础题5.【答案

13、】 C【解析】解：由题意作出其平面区域，令 z=3x+2y，化为 y=-x+，相当于直 线 y=-x+的纵截距，由图可知，解得，x=1，y=1，第7页，共 19页则 3x+2y 的最大值是 3+2=5故选：C由题意作出其平面区域，将 z=2x+y 化为 y=-2x+z ，z 相当于直 线 y=-2x+z 的纵截距，由几何意义可得本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题6.【答案】 C【解析】解：设等差数列 a n 的首项为 a1，公差为 d（d0），由 a2、a4、a8 成等比数列，得（a1+7d），d=a1，=故选：C设等差数列 a n 的首项为 a1，公差为 d（d0），由已知可

14、得首项与公差的关系，即可求得的值本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题7.【答案】 C【解析】解：大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，当地风俗正月初二都要回娘家， 则从正月初三算起的一百天内，小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分 别为 8，6，5，三个女儿同 时回娘家的天数是1，从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有：33+25+20-（8+6+5）+1=60故选：C小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，其中小女儿和二女第8页，

15、共 19页儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同 时回娘家的天数分 别为 8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是 1，由此能求出从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数本题考查有女儿回家的天数的求法，考 查分类讨论、集合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题8.【答案】 D【解析】解：由题意可知几何体的直 观图如图：是正方体列出为 2 的一部分，A-BCD ，三棱锥的表面积为：=2故选：D已知中的三 视图，可知该几何体是一个以俯 视图为底面的三棱 锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体 积，累加各个面的面积可得，几何体的表面 积本题考查的知识点是由三 视图求

16、体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9.【答案】 A【解析】解：由函数 f（x）=2x-ln|x|，当 x-1 时，可得f （x）0，图象在 x 轴的下方；且x 越小，f（x）的值越小；排除B，D 选项；当 1x0 时，ln|x|=lnx 0，f（x）0，图象在 x 轴的上方；且 x 越大，f（x）的值越大；故选：A第9页，共 19页带入特殊点即可 选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题10.【答案】 B【解析】设A （x，y ），B（x，y），x（x），解：不妨211212可得?，利用均值不等式 1?x1+x2 -2，故选：B依题意可得?，利用均值不等式即可求解，本题考查了指数

17、函数的性 质，均值不等式，属于中档题11.【答案】 D【解析】解：AB=AC=1 ，AD=BC=，BD=CD=2 ，AB AD ，ACAD ，AD 平面 ABC ，在 ABC 中，由余弦定理得 cosBAC=-，ABC=120，以 AC 为 x 轴，以AD 为 z 轴建立如图所示的坐 标系：则 A（0，0，0），B（-， ，0），C（1，0，0），D（0，0， ），设棱锥 A-BCD 的外接球球心 为 M （x，y，z），22222222222则 x +y +z =（x+）+（y-）+z =（x-1）+y +z =x +y +（z-解得 x=，y=，z=，外接球的半径 为 r=2外接球的表面

18、积 S=4r=72），故选：D第10 页，共 19页建立坐标系，求出外接球的球心，计算外接球的半径，从而得出外接球面积本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档 题12.【答案】 C【解析】解：在等腰梯形 ABCD 中，BD 2=AD 2+AB 2-2AD?AB?cosDAB=1+4-2 12（1-x）=1+4x，由双曲线的定义可得 a，1=c1=1e1=由椭圆的定义可得 a，2=c2=x e2=则 e1+e2=+=+，令 t=（0，-1），则 e1+e2=（t+）在（0，-1）上单调递减，所以 e1+e2（-1+）=，则，则 t ，故 t 的最大值为故选：C根据余弦定理表示出BD，进而根据双

19、曲 线的定义可得到 a1 的值，再由AB=2c 1，e=样椭圆中用 c2和 a2 表示出 e2，然后利用换可表示出 e1，同 的在元法即可求出e1+e2 的取值范围，然后求出的取值范围即可本题主要考查椭圆 的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题13.【答案】 120 【解析】解：ABC 中，2ccosB=2a+b，由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=-，第

20、11 页，共 19页C=120 故答案为：120由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式即可求得角C 的值本题考查了正弦定理与三角形的内角和定理的应用问题，是基础题14.【答案】【解析】解：如图所示，分别取 CA，CB 的中点 D，E连接 OD，OE，则 ODCA ，OECB； ? =OC?AC?cosOCA=CD?CA=2，同理可得： ? =CE?CB= ；又?=（x+y）?=4x-y，?=（x+y）?=-x+y ，解得 x=，y=，x+y=故答案为：根据题意画出图 形，结合图 形利用平面向量的 线性表示与数量 积 运算，列方程组求出 x、y 的值，再计算 x+y本题考查了平面向量的 线性运算

21、与数量 积运算问题，是中档题15.【答案】 0，）【解析】解：f（x ）=f（2x），f（x ）=f（ ），当 x2 ，4）时，1，2）；f （x）=f（）=ln=lnx-ln2 ，故函数 f（x）=，第12 页，共 19页作函数 f（x）与y=2ax 的图象如下，过时，点（4，ln2） ，a=在区间1，4）内，函数g（x ）=f（x）-2ax 有两个不同零点，则 a的范围为 0 ，）故答案为：0，）化简可得 f（x）的解析式，从而作函数 f （x）与y=2ax 的图象，从而利用数形结合求解即可本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应查结合的思用，考 了数形想应用16.【答案】【解析】解：

22、由程序运算可知第一次运算后 z=2，y=2，x=1，第二次运算后 z=3，y=3，x=2，第三次运算后z=5，y=5，x=3，第四次运算后z=8，y=8，x=5，第五次运算后z=13，y=13，x=8，这时再运算 z=2120，输出故答案为：利用程序框 图，逐步计算运行后的 结果，判断求解即可本题考查程序框图的应用，考查计算能力1）因为，所以当n2，所以，17.【答案】解：（时，所以数列 an 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列又 a1=1，所以当n 为奇数时，；当 n 为偶数时，所以（ 2）因为 a1=1， bn=log 2an，所以 bn +bn+1=n讨论：当 n 为奇数时，第1

23、3 页，共 19页，数列a n 的奇数项构成等比数列，偶数 项也；当 n 为偶数时，【解析】（1）利用已知条件推出构成等比数列然后求解即可（2）求出bn+bn+1=n通过，当n 为奇数时，当n 为偶数时，求解数列的和本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考 查计算能力18.；【答案】 解：（1）依题意，可得函数解析式为（ 2）设“在本年内随机抽取1 天，该天经济损失S 大于 1100 元且不超过1700 元”为事件 A，由 1100S1700，得 150 x250，由统计结果，知 P（ A） =0.4，即在本年内随机抽取1 天，该天经济损失S 大于 1100 元且不超过1700 元的概率为 0

24、.4（ 3）根据题中数据可得如下22 列联表：非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100计算 K2 的观测值，所以有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关【解析】（1）依题意可得函数 S（x）的解析式；（2）由频率估计所求的概率即可；（3）根据题中数据填写列 联表，计算观测值，对照临界值得出结论 本题考查了列联表与独立性 检验的应用问题，也考查了函数与概率的 计算问题19.【答案】 解：（ 1） =1时， Q 为 BC 中点，因为 E 是 AD 的中点，所以 ED=BQ，EDBQ，则四边形 BEDQ 是平行四边形，所以 BEQD 又 BE? 平面 A

25、1DQ， DQ? 平面 A1DQ，所以 BE平面 A1DQ又 F 是 A1A 中点，所以 EF A1D ，第14 页，共 19页因为 BF? 平面 A1DQ ， A1D ? 平面 A1DQ ，所以 EF平面 A1DQ因为 BEEF =E， EF? 平面 BEF ， BE? 平面 BEF，所以平面BEF 平面 A1DQ（ 2）连接 AQ， BD 与 FQ，因为 A1A平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ，所以 A1ABD 若 BDFQ， A1A，FQ ? 平面 A1AQ，所以 BD 平面 A1AQ因为 AQ? 平面 A1AQ，所以 AQBD在矩形 ABCD 中，由 AQBD ，得 AQ

26、BDBA ，2又 AB=1， AD=2，所以，则，即【解析】（1）=1时，推导出四边形 BEDQ 是平行四 边形，从而 BEQD，进而 BE平面A 1DQ再推导出 EF平面 A 1DQ由此能证明平面 BEF平面 A 1DQ （2）连接 AQ ，BD 与 FQ，推导出 BD平面 A 1AQ 从而 AQ BD 由AQ BD ，得 AB 2=AD?BQ由 AB=1 ，AD=2 ，求出本题考查面面平行的 证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题20.【答案】 解：（ I）设椭圆C1 的焦距

27、为 2c，依题意有，解得， b=2 ，故椭圆C1 的标准方程为 （ 3 分）2又抛物线C2： x =2 py（ p 0）开口向上，故 F 是椭圆 C1 的上顶点，F （ 0， 2）， p=4，故抛物线C2 的标准方程为x2=8y （ 5 分）（ II ）由题意得直线PQ 的斜率存在设直线PQ 的方程为y=kx+m，设 P（x1 ， y1）， Q（x2 ，y2），则， （ 6 分）即（ * ）联立，消去 y 整理得，（ 3k2+1）x2 +6kmx+3m2-12=0 （ * ）22依题意， x1 ，x2 是方程（ * ）的两根， =144k-12m +48 0，第15 页，共 19页， （ 7分

28、）将 x1+x2 和 x1 ?x2 代入（ * ）得 m2-m-2=0，解得 m=-1，（ m=2 不合题意，应舍去） （8 分）联立，消去 y 整理得， x2-8kx+8=0 ，令 =64k2-32=0，解得 （ 10 分）经检验，m=-1 符合要求此时， （ 12 分）【解析】（I）设椭圆 C1 的焦距为 2c，依题意有，由此能求出椭圆 C1的标准方程；又抛物线 C2：x2=2py（p 0）开口向上，故F 是椭圆 C1 的上顶点，由此能求出抛物 线 C2 的标准方程设线PQ 的方程为设P（x1，y1），Q（x2，y2则，（II） 直y=kx+m ，），联3k222， 立，得（+1）x+6k

29、mx+3m -12=0，由此利用根的判别韦长结FPQ 的面积式、 达定理、弦公式， 合已知条件能求出本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题题时，解要认真审题，注意根的判别韦长椭圆性质的合理运用式、 达定理、弦公式、21.【答案】 解：（ 1）由题意可得： f（1） =1，且：，则所求切线方程为y-1=1 （ x-1），即 y=x（ 2）设切点坐标为，不妨设 x1 x2，结合题意和（1）中求得的导函数解析式可得：，函数在区间上单调递增，函数的值域为-1 ，1，故：，据此有：，解得：（舍去）第16 页，共 19页故存在两点即为所求【解析】（1）首先求得切点坐标，然后求解切线的斜率即可求得切 线方程；（2）由题意结合导函数研究函数的切 线，结合导函数的单调性和值域即可求得最终结果本题考查导函数研究函数的切 线，函数单调性的应用