2018年陕西省高考数学三模试卷(理科)

1、2018 年陕西省高考数学三模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.计算 cos2025 =（）A.B.C.D.2.在复平面内， 表示复数 Z=（ a+3i ）（ 2-ai ）的点在第二象限，则实数 a 满足（）A.B.C.D.3.设向量 ， 满足|=1| |=2，=-1，则|=（），A.B.1C.D.24.平行于直线 x+2y+1=0 且与圆 x2+y2=4 相切的直线的方程是（）A. x+2y+5=0 或 x+2y-5=0B.或C. 2x-y+5=0 或 2x-y-5=0D.或5.若双曲线的一条渐近线的方程为2x-3y=0 ，则m 的值为（

2、）A.B.C.D.6.数列 an 满足，且 a5=7，则 a2018=（）A. 4045B.4035C. 4033D.40397.数学发展史中发现过许多求圆周率的创意求法， 如著名的蒲丰投针实验受其启发，我们可以作如下随机写正实数对实验，来估计 的值先请 50 名同学，每人随机写下一个正实数对P（x， y），且 x， y 都小于 1再统计能与如图边长为 1的正方形 ABCD 的边 AD 或 BC 围成钝角三角形的顶点P 的个数若这样的顶点 P 有 40 个，则可以估计 的值为（）A.B.C.D.8. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（

3、）第1页，共 20页A.B.C. 8D. 99. 在上图算法框图中， 若，若程序运行后，输出的 S 为 360则判断框中应填入的关于k 的判断条件是（）A. k 3B. k 2C. k 3D. k 210. 已知函数 f（ x） =sin x+acos x（0）的最小正周期为 ，且函数 f （x）图象的一条对称轴是，则 f（ x）的最大值为（）A.1B.2C.D.11. 已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ x） =f（ 2-x），当 x0， 1时， f（ x）=3x-1，若实数m-10 ， 10，且 f（ m）=2，则m 的取值个数为（）A. 5B. 10C. 19D. 20

4、12. 已知 M= |f（ ）=0 ， N= |g（ ） =0 ，若存在 M ，N，使得 | -|1，则称函数 f（ x）与 g（ x）互为“和谐函数”若 f（ x）=log 2（ x-1）+x-2 与 g（ x）=x2-ax-a+3互为“和谐函数”则实数a 的取值范围为（）A. （ 2， +）B. 2， +）C. （ 2， 3）D. （ 3，+）二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 在等比数列 an 中，前 n 项和为 Sn，若 S3=6， S6 =54，则公比 q 的值是 _14.如图，在 ABC 中，若 AB =3，BC=， AC=2，且 O 是 ABC的外心，则=_第2

5、页，共 20页15. 一个正四面体与其外接球的体积的比值为_16.已知抛物线C x2：=4 y 的焦点为 F ，E 为 y 轴正半轴上的一点且 OE=3 OF（ O 为坐标原点），若抛物线 C 上存在一点 M（ x0，y0），其中 x00，使过点 M 的切线 lME，则切线 l 在 y 轴的截距为 _三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17.在 ABC 中，内角A，B， C 所对的边分别为a，b， c，且 bcosA-acosB=2 c（ 1）证明： tanB=-3tan A；（ 2）若，且 ABC 的面积为，求 a18. 如图 1，在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中， ABCD

6、 ，且 AB=2CD=12 ， O、 O1 分别是AB、 CD 的中点，沿OO1 将平面 ADO1O 折起，使其垂直于BCO 1O（如图 2）点P 是中点，点 E 是线段 AB 上不同于 A、B 的一点，连接 OE 并延长至点Q，使 AQOB（ ）证明： OD平面 PAQ；（ ）若 BE=2AE，求二面角C-BQ-A 的余弦值19. 2018 年春节期间，为了解市民对西安地铁运营状况的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对西安地铁运营状况进行评分（满分100 分，评分均为整数）绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于 60分60 分到79 分80分到 89分不

7、低于 90 分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（ ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度现从全市市民中随机抽取了 4 人，估计这 4 人中至少有2 人非常满意的概率（ ）在等级为不满意市民中，老年人占现从该等级市民中按年龄分层抽取了15 人了解不满意的原因，并从中选取3 人担任整改督导员，记X 为老年督导员的第3页，共 20页人数，求X 的分布列及数学期望E（ X）；（ ）相关部门对西安地铁运营情况进行评估，评估的硬性指标是：市民对西安地铁运营状况的满意指数不低于 0.8，否则地铁运营状况需进行整改，根据你所学的统计知识，判断地铁运营状况能否通过评估，并说明理由（注：

8、满意指数=）20.已知椭圆，过椭圆右焦点F2 作垂直于长轴的弦PQ，长度为，且 F1 PQ 的面积为（ ）求椭圆C 的方程；（ ）已知动直线y=k（x+1 ）与椭圆C 相交于 A，B 两点，若点是 x 轴上一定点求证：为定值21. 设函数a R， （ 1）讨论 f（ x）的单调性；（ 2）当 a 0 时，记 f（ x）的最小值为 g（ a），证明： g（ a） 1第4页，共 20页22.将圆 x2+y2=4 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得曲线C（ ）写出 C 的参数方程；（ ）设直线 l：x+2 y-2=0 与曲线 C 相交，交点分别为P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴

9、为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程23. 已知函数 f（ x） =|x-2|-|2x-2|（ ）求不等式 f（ x） +1 0 的解集；（ ）当 xR 时， f（ x） - x+a 恒成立，求实数a 的取值范围第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：cos2025=cos（3606-135 ）=cos（-135 ）=cos135=故选：B直接利用三角函数的 诱导公式化简求值本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题2.【答案】 A【解析】解：Z=（a+3i）（2-ai）=5a+（6-a2）i对应的点在第二象限，解得故选：A利用复数代数

10、形式的乘除运算化 简，再由实部小于 0 且虚部大于 0 联立求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的代数表示法及其几何意 义，是基础题3.【答案】 C【解析】解：向量，满足 |=1，|=2，=-1，则=-+=1-（-1）+4=3，|=故选：C根据平面向量的数量 积求模长即可本题考查了平面向量的数量 积与模长的计算问题，是基础题4.【答案】 B【解析】解：直线和直线 x+2y+1=0 平行，设切线方程为即 x+2y+b=0，圆心坐标为（0，0），半径R=2，第6页，共 20页当直线和圆相切时圆心到直线的距离 d=2，解得 b=2或 b=-2，故切线方程为 x+2y+2=0 或 x+2y-

11、2=0；故选：B利用直线平行的关系 设切线方程为 x+2y+b=0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可本题主要考查直线和圆的位置关系的 应用，根据直线平行的关系以及直 线和圆相切的等价条件是解决本题的关键5.【答案】 A【解析】线的一条渐近线的方程为2x-3y=0，解：双曲可得（3-m）（m+1）0，解得：m（-1，3），所以：x-y=0，是双曲线的渐近线方程，所以，解得：m=故选：A利用已知条件列出关系式， 转化求解即可本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查6.【答案】 C【解析】解： 数列 an满足，且a5=7，an-an-1=2，数列 an 是等差数列，公差为 2又 a5=7

12、，a1+42=7，解得 a1=-1则 a2018=-1+2017 2=4033故选：C数列 a n 满足，且a5=7，可得 an-an-1=2，再利用等差数列的第7页，共 20页通项公式即可得出本题考查了数列递推关系、等差数列的通 项公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题7.【答案】 C【解析】解：50 名同学，每人随机写下一个正 实数对 P（x，y），且x，y 都小于 1由此得到 50 对都小于 l 的正实数对（x，y），对应区域的面 积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形三 边的数对（x，y），满足 x2+y2 1 且 x，y 都小于 1，x+y1，面积为 ，因为统计两数能与 l

13、构成钝角三角形三 边的数对（x ，y）的个数 m=40，所以=，所以 = 故选：C由试验结果知 200 对 01 之间的均匀随机数 x，y，对应区域的面 积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形三 边的数对（x，y），满足 x2+y21 且 x ，y 都小于 1，x+y 1，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在 圆内的概率是圆的面积比正方形的面 积，二者相等即可估计 的值本题考查了随机模 拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的 应用问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题8.【答案】 D【解析】解：由三视图还原原几何体如 图，第8页，共 20页该几何体为三棱锥侧底面 A

14、BC ，底面三角形 ABC为等腰三角形，棱PA可得 PC=该长棱的长度为9几何体的最故选：D由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱 PA底面 ABC ，底面三角形 ABC 为等腰三角形，直接求出最 长棱的长度得答案本题考查由三视图求面积积键视图还原原几何体，是中档题、体，关 是由三9.【答案】 A【解析】解：由于=x2-x|=6，模拟程序的运行，可得k=6，S=1不满足条件，执行循环体，S=6，k=5不满足条件，执行循环体，S=30，k=4不满足条件，执行循环体，S=120，k=3不满足条件，执行循环体，S=360，k=2由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出 S 的值为 360

15、则判断框中 应填入的关于 k 的判断条件是 k3？故选：A由已知先求 a 的值，根据已知中的程序 语句可知该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框 图的应用问题 ，解题时应 模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题10.【答案】 B【解析】第9页，共 20页解：函数f （x）=sin x+acosx=，其中 tan =a最小正周期为 ，即 =2那么 f （x）=sin（2x+）一条对称轴是2+=，kZ可得：=k+则 tan（k+ ）=a即 tan（ ）=aa= 值为f（x ）的最大故选：B利

16、用辅助角公式化 简，根据最小正周期为 ，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解本题考查的辅助角公式的灵活 应用，难度不大，属于基础题11.【答案】 B【解析】解：根据题意，函数 f （x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）=f（2-x），则有 f （-x ）=f（2-x），则函数的周期 为 2，当 x0 ，1 时，f（x）=3x-1，若 f（x）=2，即3x-1=2，解可得 x=1，又由函数 为偶函数，则当 x=-1 时，有f （-1）=f（1）=2，又由函数的周期 为 2，则满足 f（x）=2 的解有 -9，-7，-5，-3，-1，1，3，5，7，9；共10 个；故选：B根据题意，由函数

17、的奇偶性可得f（-x）=f （2-x），则函数的周期 为 2，结合函数的解析式可得若f（x）=2，即3x-1=2，解可得 x=1，结合函数的周期性分析可得第10 页，共 20页满足 f （x）=2 的解，即可得答案本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性12.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了函数的零点个数判断，二次函数的性质，属于中档题求出 f （x）的零点，得出g（x）的零点的范围，根据二次函数的性 质列不等式 组得出 a 的范围【解答】解：f（x ）=log2（x-1）+x-2 是增函数，且 f（2）=0，f（x ）只有一个零点 x=2f（x ）与g（x）互为“和谐

18、函数 ”，g（x ）=x2-ax-a+3 在（1，3）上存在零点=a2-4（3-a）=a2+4a-40，解答 a2 -2 或 a-2-21）当=0，即 a=2-2时，g（x ）存在唯一零点x= -1题?（1，3），不符合（意；（2）当0 即 a2 -2 或 a-2-2 时，若 g（x）在（1，3）上只有1 个零点，则 g（1）g（3）0，即（4-2a）（12-4a）0，解得 2a3则，若 g（x）在（1，3）上有两个零点，即，无解综上，2 a 3故选 C13.【答案】 2【解析】第11 页，共 20页解：由S，则公比 1，3=6S6=54q=6=54联立解得 q=2故答案为：2利用等比数列的求

19、和公式即可得出本题考查了等比数列的通 项公式求和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题14.【答案】 2【解析】解：设外接圆半径为 R，AO=CO=RcosOAC=则=R2=2故答案为：2设外接圆半径为 R，则 = ，故可将向量的数量 积转化为本题主要考查向量在几何中的 应用等基础知识，解答关键是利用向量数量 积的几何意 义属于基础题15.【答案】【解析】解：设正四面体 为 PABC，球心设为 O 设正四面体的棱长为 a，底面三角形的高 为：a，正四面体的高= ，为222外接球的半径R，R=（） （），解得 R=，+第12 页，共 20页正四面体的体 积 V 1=?S?h=，而正四面体

20、PABC 的外接球的体 积 V 2=，正四面体与其外接球的体积的比值为：=故答案为：画出图形，求出正四面体的体 积，求出外接球的体积，然后求解体积之比本题是中档题，考查正四面体与外接球的关系，求出球的半径的是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题16.【答案】 -1【解析】解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），由 x2=4y 可得 y=，y=，直线 l 的斜率为 y | =，直线 ME 的斜率为=， ?=-1，解得 x0=2，不妨设 M （2，1），则直线 l 的方程为 y-1=x-2，即y=x-1直线 l 在 y 轴的截距为-1故答案为：-1根据 ME 与切线 l 垂直列方

21、程求出 M 点坐标，从而得出切线 l 的方程，得出截距本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档 题17.【答案】 （ 1）证明： bcosA-acosB=2c，根据正弦定理可得：sinBcosA-cosBsinA=2sinC=2sin（ A+B），展开得： sinBcosA-cosBsinA=2（sinBcosA+cosBsinA），整理得： sinBcosA=-3cosBsinA，所以， tanB=-3tan A（ 2）解：由已知得：， =，由 0 A ，得：， ，由 0 B ，得：，所以， a=c，第13 页，共 20页由=，得： a=2【解析】（1）利用正弦定理以

22、及三角形的内角和， 结合两角和与差的三角函数，化 简求解即可（2）利用余弦定理求出 A ，求出 B，得到 C，然后求解三角形的面 积即可本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力18.【答案】 （ ）证明：取OO 1 的中点为F ，连接 AF ， PF，则 PFOB，AQOB， PF AQ，则 P， F， A，Q 四点共面，由题意可知，OBOO1，平面 ADO1O平面 BCO 1O，且平面 ADO 1O平面 BCO1O=OO1，OB 平面 ADO 1O，PF 平面 ADO 1O，又 OD? 平面 ADO 1O，PF OD在直角梯形ADO 1O 中， AO=OO1，OF =O

23、1D ，AOF=OO1D ，AOFOO1 D，则 FAO =DOO 1，FAO+AOD =DOO 1+AOD =90 ，AF OD ，AF PF=F ，且 AF? 平面 PAQ，PF? 平面 PAQ ，OD 平面 PAQ；（ ）解：以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴， OO 1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，BE=2AE，AQOB，则 Q（ 6， 3， 0），设平面 CBQ 的一个法向量，由，取 z=1，得；平面 ABQ 的一个法向量，设二面角C-BQ-A 的平面角为，由图可知，为锐角，则 cos=|= 故二面角C-BQ-A 的余弦值为【解析】第

24、14 页，共 20页（）取OO1 的中点为 F，连接 AF ，PF，则 PFOB，可得 PFAQ ，则 P，F，A ，Q 四点共面，由题意可知，OBOO1，结合面面垂直的性 质可得 OB平面ADO 1O，从而得到 PF平面 ADO 1O，进一步有 PFOD再求解三角形可得AF OD，由线面垂直的判定可得OD平面 PAQ；（）以O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，OO1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 CBQ 与平面 ABQ 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦 值可得二面角 C-BQ-A 的余弦值本题考查直线与平面垂直的判定，考 查空间想象能

25、力与思 维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档 题19.【答案】 解：（ ）由频率分布直方图可知，10（ 0.035+a+0.020+0.014+0.004+0.002 ） =1，解得 a=0.025；市民非常满意的概率为0.025 10=0.25=；又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率为P=1-?-?=1-= ；（ ）按年龄分层抽取15人进行座谈，则老年市民抽取15 =5 人，从 15 人中选取 3 名整改督导员的所有等可能情况为，由题意知 X 的可能取值为0，1， 2， 3；且 P（X=0）= = ，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=；随机变量X 的分布列

26、为：X0123P数学期望为E（X） =0+1+2+3=1；（ ）由频率分布直方图得，第15 页，共 20页（ 450.002+550.004+650.014+750.020+850.035+950.025） 10=80.7；估计市民的满意程度的平均得分为80.7；市民的满意度指数为=0.807 0.8，判断地铁运营状况能够通过评估验收【解析】（）由频率和为 1 列方程求出 a 的值，再根据市民的满意度评分相互独立，计算所求事件的概率 值；（）根据分层抽样法求得抽取人数，得出随机 变量 X 的可能取 值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望 值；（）由频率分布直方 图求得市民 满意程度的

27、平均分，计算市民的 满意度指数即可本题考查了频率分布直方 图与离散型随机 变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题20.，得=，【答案】 解：（ ）由 F 1PQ 的面积为解得 c=，又 + =1，（ a bc）满足 a2=b2+c2，且 |PQ|=，解得，椭圆方程为+=1证明：（ ）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），将 y=k（x+1）代入+ =1，得（ 1+3k2） x2+6k2x+3k2-5=0 ，=48k2+20 0，=（） ?（）=（）（） +y1y2=（）（） +k2（ x1+1）（ x2+1）=（ 1+k2） x1x2+（）（ x1+x2） +第16 页，共 2

28、0页=（ 1+k2）+（）（ -）+=+= ，为定值【解析】（）由F1PQ 的面积为，推导出 c=，由|PQ|=，得，由此能求出椭圆方程（）将y=k（x+1）代入+=1，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量 积公式，能证明为定值本题考查椭圆 方程的求法，考 查向量的数量 积为定值的证明，考查椭圆 方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量 积公式等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题21.【答案】 解：（ 1）f（ x）的定义域为 （ 0，+），=，当 a0时， f（ x） 0， f （x）在（ 0，+）上单调递增；当 a

29、 0 时，当 x（ 0， a）， f（ x） 0， f（ x）单调递减；当 x（ a，+）， f（ x） 0， f（ x）单调递增；综上，当a0时， f（ x）在（ 0，+）上单调递增；当 a 0 时， f（x）在（ 0， a）上单调递减，在（a，+）上单调递增（ 2）证明：由（1）知， f（ x） min=f（ a）=，即解法一：=，g（ a）单调递减，又 g（1） 0， g（ 2） 0，所以存在 a0（ 1，2），使得 g（ a0 ）=0，当 a（ 0， a0）时， g（ a） 0， g（ a）单调递增；当 a（ a0，+）时， g（ a） 0，g（ a）单调递减；g（ a） max=g（

30、 a0） =，又 g（ a0） =0，即，=，令 t（ a0） =g（ a0），则t（ a0）在（ 1， 2）上单调递增，又 a0（ 1，2），所以t（a0） t（ 2） =2-1=1， g（ a） 1第17 页，共 20页解法二：要证g（ a） 1，即证，即证：，令，则只需证，=，当 a（ 0， 2）时， h（ a） 0， h（a）单调递减；当 a（ 2， +）时， h（ a） 0， h（ a）单调递增；所以 h（ a） min =h（ 2）=，所以 h（ a） 0，即 g（ a） 1【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+），求出导函数，通过当 a0时，当a0 时，判断导函数的符号，判断函数的 单调性