嘉兴学院概率论与数理统计II2015年毕业重考复习资料讲解

1、概率论与数理统计 (II) 复习资料 、填空题 1. 设总体 X P( ),X1,X2, ,Xn为来自 X 的一个样本，则 EX _， DX _ n 2. 设总体 X Ua,b,X1,X2, Xn为 X的一个样本，则 EX ， DX ab 解： X Ua,b EX 2 DX (b a)2 12 ab EX 2 DX (b a) 12n 3. 设随机变量 X1,X2, , X100独立同分布， 且 EXi 0, DXi 10, i 1,2, ,100 ，令 1 100 100 XXi ，则 E (Xi X)2 100 i 1 i 1 i1 1 解： 设 X1, , X100为总体 X的样本，则

2、S2(Xi X)2 为样本方差，于 99 i 1 100 100 22 ES2 DX 10，即 E (Xi X)2 10 99 990. i1 4. 设 X1,X2, ,Xn是总体 N( , 4)的样本， X 是样本均值， 则当 n 时，有 E(X )2 0.1. 44 解： EX , DX , 0.1, n 40 n n n 5.设总体 X N(0, 2), X1,X2, ,X6为来自 X 的一个样本，设 2 2 1 Y (X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2，则当 C 2 时， CY 3 2(2). 1 6. 设随机变量 X t n ，则 Y 12 X F ( n,1) 7. 在总

3、体 X N(5,16)中随机地抽取一个容量为 36的样本，则均值 X 落在4与6 之间的概率 = 2 1.5 1 1 8. 设 X1, X n是取自总体 X N( , 2 )的样本， Sn2(Xi X) ，则 Var(Sn2) n 1i 1 2 (n 1)4 n1 9设 X1, , X8是从正态总体 N (10,9) 中抽取的样本，则样本均值 x 的标准差为 10设随机变量 X ,Y相互独立，均服从 X N(0,32 )分布且 X1,X2, ,X9与Y1,Y2, ,Y9 分别是来自总体 X,Y 的简单随机样本，则统计量 U X1X9 服从参数 为 Y12Y92 的 分布。 答案：参数为( 9)

4、的( t)分布 解：由X,Y相互独立，均服从 N(0,32)分布，又X1, ,X9与Y1, ,Y9分别来自总体 X,Y， 2 可知 X1, ,X9与Y1, ,Y9 之间均相互独立，均服从分布 N ( 0,32 ) 9 因而 Xi N(0,9 32) ， i1 1 Xi N (0,1) ， 9i1 Yi N ( 0,1) ， 3 9Y i1 Y3i 2(9)， 且 X 1 X i 与Yi相互独立， 9i1 i 1 3 99 19 X iXiXX 因而 i 1 i 1X1X9 服从参数为 9的 t分布。 19Y3i 2Yi 2Y1Y9 i1 i 1 11设 X1,X2,X3,X4是取自正态总体 X

5、 N(0,2 2)的简单随机样本且 22 Y a X1 2X2b 3X3 4X4 ，则 a，b时，统计量 Y服 从 2 分布，其自由度为。 1 12 答案： a ( )，b ( )时，统计量 Y 服从 2 分布，其自由度为( 2 ) 20100 2 X X 2 12设 X1,X2是 X N(0, 2 )的样本，则 Y 1 2 的分布 F 1,1 X1 X 2 1 13设随机变量 X t(n) (n 1)， Y2 ，则 Y F n,1 。 X 14设随机变量 X F(n,n)且P X A 0.2，这里 A为常数，则P X 1 0.8 A 15. 设总体 X U (0, ) ，现从该总体抽取容量为

6、 10的样本，样本值为 0.5 1.3 0.6 1.7 2.2 1.2 0.8 1.5 2.0 1.6 则参数 的矩估计为 2.68 16. 由来自正态总体 X N( ,0.92 ),容量为 9 的简单随机样本，若得到样本均值 X 0.5 ，则未知参数 的置信度为 0.95 的置信区间为 -0.088,1.088 。 17. 已知某种材料的抗压强度 X N( , 2 ),现随机地抽取 10 个试件进行抗压试 验，测得样本均值 x 457.5,标准差 s 35.217,则 的95%的置信区间为 432.31,482.69 . 18. 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，测得如下数据(单位：

7、小时) ： 1050 1100 1130 1040 1250 1300 1200 1080 设电子元件的寿命服从指数分布，试对这批元件的平均寿命的矩估计为 1143.75 。 19. 由来自正态总体 X N( ,0.92) ，容量为 9的简单随机样本，若得到样本均值 X 5， 则未知参数 的置信度为 0.95 的置信区间为()。答案： 4.412,5.588 20. 设 X 是来自正态总体 N( , 2) 的样本均值，样本容量为 n， 2已知，则假设 X0 H0 : 0 的检验统计量是 n . 21. 设 X1, ,Xn为来自 N( , 2) 的一个样本 ,S2 1 (Xi X )2 ,其中参

8、数 , 2未 n 1i 1 i 知，要检验假设 H0 : 2 02应用2 检验法，检验的统计量是 ( n 1) S2 02。 22. 设总体 X N( , 2), , 2都是未知参数，把从 X 中抽取的容量为 n的样本均值记为 X ，样本标准差记为 S， 当 2 未知时，在显著性水平 下，检验假设 H0 :0 H1 :0的统计量为 ，拒绝域为 t t1。 23设 X1,X2 ,Xn 是来自正态总体的样本，其中参数 未知， 2已知。要检验假设 H0 :0 应用 u 检验法，检验的统计量是 u n x 0 ；当H0 成立时该统计量服从N (0,1) 24要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本

9、量 、单项选择题 1. 样本 X1，X2,X3,X4为取自正态总体 X 的样本， EX 为已知，且 VarX 2 未知， 则下列随机变量中不是统计量的是 4 A) X 14Xi i1 B) M X1 X4 C)R 12(Xi X)2 i1 2 D)S2 4 31 (Xi X )2 i1 2. 设 X1, ,Xn为来自 N( , 2) 的一个样本，其中 2 已知而 2 未知，则下列各选项中的 量不是统计量的是( C )。 n A.Xi i1 B. 1Xi X 2 ; C. ni1 i 1 Xi ; D. 1miinn Xi 3设 X1,X2,X3 为来自 N( , 2) 的一个样本，其中 已知而

10、 2未知，则下列各选项中的 量不是统计量的是( D )。 A. X1 X2 X3; B. X3 3 ; C. X1; 3 D. Xi i1 4.设 X1, ,X8 和Y1, ,Y10分别来自两个正态总体 2 N 1,22 和 N (2,5) 的样本，且相互独 立， S12, S22 分别为两个样本的样本方差，则服从 F (7,9) 的统计量是( B )。 A. S12;B.5S12 ;C.4S12;D.5S12. A. S22;B.4S22 ;C.5S22 ;D.2S22. 5. 设 X1, ,Xn为来自 N(0, 2) 的一个样本， X和 S2分别为样本均值和样本方差，则服 从自由度为 n

11、1的 t 分布的随机变量是( A )。 nX S2 . A. nX ; B.n2X ; C. nX ; D. SSS 6. 设 X1, ,Xn为来自 N( , 2 )的一个样本， X 和 S2分别为样本均值和样本方差，则下 面结论不成立的有( D )。 A X 和 S2相互独立； B X 和 (n 1)S2相互独立； 12 C X 和 2Xi X 相互独立； i1 12 D X 和 2 Xi 2 相互独立。 i1 7设 X1, ,Xn为来自 N( , 2) 的一个样本， S 1 2 2 Xi X ，则 DS2=( D )。 n 1 i 1 A. B. 24 C. n1 D. 24 n1 8设

12、X1,X2, ,Xn是总体 X 的样本， EX 22 DX2 ， X 是样本均值， S2 是样本 方差，则( D ) A) XN B) S2 与 X 独立； C) 2 (n 1)S2 2 (n 1) ； D) S2是 2 的无偏估计量 . 解： 已知总体 X 不是正态总体 A)(B) C)都不对 . 选 D. 9设 X1 ,X2, ,Xn是总体 N(0, 2)的样本，则( A )可以作为 2 的无偏估计量 . B) n 1Xi2 ； n 1i 1 C) 1Xi ； ni1 1 D) Xi . n 1 i 1 解： EXi 0, DX i 2 2 22 EXi2 (EXi )2 EX i22，

13、1 n 2 1 E(1 Xi2 ) 1 n 1 n 选 A. 10. 设总体 X 服从正态分布 N( , 2) ，其中 为未知参数， 已知，(X1，X2， ,Xn)为 取自总体的样本，记 X 1n Xi ，则 i1 X u0.95n ,Xu0.95 n ) 作为 的置信区间， n 其置信度为 A ) 0.95 B) 0.90 C)0.975 D )0.05 11. 设总体 X 服从区间 , 上均匀分布 (0)， x1, , xn为样本， 则 的极大似然估计为( 解： A) maxx1 , ,xn ； C) max| x1 |, ,|xn | B) min x1 , ,xn D) min| x1

14、 |, ,|xn | f(x)21 0 其它 似然函数 n L(x1 , ,xn; ) i1 1 f (xi , )(2 )n 0, |xi |i 1,2, ,n 其它 L( ) 在 X (n)处取得极大值 ? Xn max| X1|, ,|Xn | 选 C. 12. 设总体 X 的密度函数为： 1 1 x P(x, ) 1 e ,x 0,其他为 0，其中0 为未知参数， n (X1,X2, ,Xn)是从总体 X中抽取的样本，记 X n1 Xi ，则 的最大似然估计为 i1 1 A ) X(B) X n C)Sn2 1n (Xi X)2 i1 n D)Sn2 n11(Xi X)2 i1 13.

15、 设 ?是 的无偏估计，且 Var ? 0，则 ?2是 2 的 ( C ) 有偏估计 (D) A和 B同时成立 (A) 无偏估计量 (B) 有效估计量 (C) 14. 在一个确定的假设检验问题中，与判断结果有关的因素有(D)。 A样本值及样本容量； B 显著性水平 ； C检验的统计量； DA 和 B同时成立。 15. 机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中， 分别抽取 n= 20，m=25 的两个样本， 检 验两台机器的台工精度是否相同，则提出假设( B )。 2222 A. H0 :1 2 H1:1 2;B. H0:1222H1 :1222。 C.H0 :1 2H1 :1 2; D.H0

16、:1222H1:1222 16在假设检验中，一旦检验法选择正确，计算无误(C )。 A不可能作出错误判断； B 增加样本容量就不会作出错误判断； C仍有可能作出错误判断； D 计算精确些就可避免错误判断。 17在一个确定的假设检验问题中，与判断结果有关的因素有（D ）。 A样本值及样本容量；B 显著性水平 ； C检验的统计量；D A和B同时成立。 14在假设检验中，记 H1 为备择假设，则称（ B ）为犯第一类错误。 A H1真，接受 H1；BH1不真，接受 H1；CH1真，拒绝 H1； D H1不真，拒绝 H1。 18检验的显著性水平是（ B ）。 A第一类错误概率；B 第一类错误概率的上界

17、； C第二类错误概率；D 第二类错误概率的上界。 19在假设检验中，如果原假设 H0的否定域是 W，那么样本观测值 x1,x2, ,xn 只可能有下 列四种情况，其中拒绝 H0且不犯错误的是（ C）。 AH0 成立， x1,x2, ,xn W ； BH0 成立， x1,x2, ,xn W CH0 不成立， x1,x2, ,xn W ； DH0 不成立， x1,x2, ,xn W . 三、计算、证明与应用题 1. 在总体 X N(52,6.32)中随机地抽取一个容量为 36的样本，求样本均值落在 50.8与 53.8 之间的概率。 2 1 36 解： 由于 Xi N(52,6.32)(i 1,

18、,36), XXi ， 36 i 1 故 E(X) (136) 36 52 52, D(X) (1362) 36 6.32 (6.3 6)2 X 52 所以 X N(52,(6.3 6) 2 ),从而 N(0,1) 。于是可得 6.3 6 50.8 52 X 52 53.8 52 P50.8 X 53.8 P 6.3 6 6.3 6 6.3 6 (1.714) ( 1.143) 0.9564 (1 0.8729) 0.8293 2. 设 X1, , Xn为来自总体 X N（ ,25） 的一个样本， X 为样本均值。 问 n多大时才能使得 P X 1 0.95 成立。 25 解：样本均值 X N

19、 , ，因而可得 n 0.95 P X 1 P X 1 2 n /5 1 ，所以有 25/ n 25/n n /5 0.975, n /5 1.96 ，即 n 96.04 ，因此 n 至少为 97 时，上述概率不等式 才成立。 3. 设容量为 n的简单随机样本取自总体 N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间 (1.4,5.4)内的概率不 X 1 Xi N(3.4,6 ) n i1 n 小于 0.95,问样本容量 n 至少应取多大？ 解：设 X1,X2, X n是取自总体的简单随机样本，则： 又由于： P1,4 X 5.4 P n X 3.4 3 6 n 1 0.95 n 3 则： 0.9

20、75 ，查表得 3n 1.96, n (1.96 3)2 34.6 即知样本容量 n 至少应取 35. 4. 设某厂生产的晶体管的寿命 X Exp 1 X Exp ，其中0未知。现随机地抽取 5 只 晶体管进行测试、测得它们的寿命 (单位：小时 )如下： 518 612 713 388 434 试求该厂晶体管的平均寿命的极大似然估计值。 解： X的密度函数为 f(x; ) 1e x,x 0 ，则似然函数为 n L(x1,xn;)f(xi;)1ne i1,xi0，令 lnL0，得1nxix， i 1 i 1 故 的极大似然估计为 ? X ，且 E(X) ，从而该 厂晶体管的平均寿命 的极大似然估

21、计值为 ? x 518 612 7513 388 434 533 5. 求总体 N ( 20,3)的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差的绝对值大于 0.3的概率。 解 设容量分别为 10，15 的两独立样本的均值分别为 X,Y ，则 3 31 X Y N(0, ) N(0, ),从而 10 152 P X Y 0.3 1 P X Y 0.3 XY 1P 33 10 15 0.3 33 10 15 2 2 (0.3 2) 0.6744 6. 设总体 X 的概率密度为 f (x) ( 1)x 0 x 1 其他 其中未知参数1， X1,X2, Xn 是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和 极

22、大似然估计法求 的估计量。 解： E(X) 0 x( 1)x dx2 求参数 的最大似然估计 ?； 证明在均方误差准则下存在优于?的估计(提示：考虑 ?a ax ，找均方误差最小者) 1 2X 1 令 X12，解得： ? 21X X1，此即 的矩估计量。 n 设似然函数 L( ) (1)xi , 0 xi 1, i 1,2, ,n,对此式取对数，即： d ln L d n ln xi i1 i1 n ln L( ) nln( 1) ln xi 且 i1 令 d ln L 0, 可得 ? 1 n n ，此即 的极大似然估计量。 dn ln xi i1 7. 1 设总体 X Exp ， x1,x2

23、, , xn是取自 X 的样本 . 1n n 1 1xi1 1 xi 解： (1) 样本的似然函数 L( ) 1e i1n e i1 dln L( ) d n 12 i 1 xi 0，可得 i 1 n 对数似然函数 ln L( ) nln 1xi ，令 i1 1n 的最大似然估计 ? 1xi x . ni1 n 1 2a2 2 2a 2 n ?nn x 优于 ?. n 1 n 1 (2) ?a ax 作为 的估计 , 其均方误差为 f (a) MSE( ?a) E(ax )2 a2E(x2) 2a E(x) 2 当a 8 n 时, f(a) 取得最小值 ,即在均方误差准则下存在估计 n1 1)

24、设 X1, , Xn是来自总体 X 的一个样本，且 错误！未找到引用源。 ，求 p=PX=0 的极大似然估计。 (2)某铁路局证实一个板道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊 松分布，试由下表中的数据求一个扳道员在五年内所引起严重事故的概率 p 的极大似然估 计值。 r 0 1 2 3 4 5 s 44 42 21 9 4 2 表中 r 表示一扳道员在五年内引起严重事故的次数， s 表示观察到的扳道员人数。 解：(1)由 X P( )错误！未找到引用源。 知， P X=x = 错误！未找到引用源。 ，错误！ 未找到引用源。 的极大似然估计量为： 错误！ 未找到引用源。 由极大似然估计的不变性

25、知， 错误！未找到引用源。 中 错误！未找到引用源。 可用 X 换，于是可得 的极大 似然估计为 P?(X 0) e X 错误！ 未找到引用源。 (2)由表中数据计算可得： 1 X = (0 44 1 42 2 21 3 9 4 4 5 2) 1.12295 122 错误！未找到引用源。 9设总体 X 具有分布律： X 1 2 3 错误！未找到引用源。 未找到引用源。 错误！ 源。 错误！ 未找到引用 其中错误！未找到引用源。 为未知参数。对总体 X 进行观测得到样本值 :3, 1, 2, 1,3, 1, 2, 3 ，试求 错误！未找到引用源。 的矩估计值和最大似然估计值。 解： 错误！未找到

26、引用源。错误！未找到引用源。 ，令 错误！未找到引用源。 解得： 错误！未找到引用源。 的矩估计量为 错误！未找到引用源。 。而 x 2，得 错误！未找到 引用源。 的矩估计值 ? 0.5错误！未找到引用源。 似然函数为： L( ) P(X xi ) P(X 1) 3 P(X 2) 2 P(X 3) 3 i1 2 2 (1 ) 2 (1 )24 8(1 )8 错误！未找到引 用源。 d ln L( ) 8 对数似然函数为： ln L( ) ln 4 8ln 8ln(1 ) 8 8(1 2 ) 0 错误！未找到引用源。 ， 解得 错误！未找到引用 1 (1 ) 源。 的最大似然估计值为 ? 0.

27、5。 10. 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f (x; ) 2e 2(x ) , x 其中 0为未知参数。由设 x1,x2, ,xn是 X的一组样本观测值，求参数的最大似然估 计值。 n 2 (xi ) 解：似然函数为： L( ) 2ne i 1xi(i 1,2, ,n) n 取对数得： l nL ( ) n l n 2 2 ix () , (x1 ) i1 由于 dlnL( ) 2n 0，则 L( )单调增加， 因此当x(1)时， L( )取最大值， d 所以 的最大似然估计值为： ?=min x1, x2 , ,xn= x(1) 11. 设 x1,x2, ,xn 是来自均匀总体

28、U(0, ) 的样本， (1) 试求 的最大似然估计 ?； ( 2) 证明 的最大似然估计 ?是相合估计 解： (1) (X1 x1, ,Xn xn) 的似然函数为 L(x1, ,xn; ) 1n Ix(n) ,x(n) min x1, ,xn 要使 L 最大，显然 应该取最小值，故 的最大似然估计 ? X(n) nyn 1 (2)令 Y X ( n ) ，则其密度函数为 PY (y)n ,0 y ，从而 nyn 12 22 nyn 12 E(X(n) E(Y) 0 ynyn dy nn1 ，E(X(n)2 E(Y2) 0 y2nyndy nn2 2， Var(X(n) Var(Y) nn2

29、2 (nn1 )2 ，由 lnim E(X(n)lnim nn1,lnim Var(X(n)lnim( nn22( nn1)2 )0，故?是相合估计 12. 设X1, , Xn为来自总体 X的一个样本， X 的密度函数为 其他 e (x ) p(x, ) 0, 1 1) 试证， 的最大似然估计为 X (1) ；( 2)试证， X (1)不是 的无偏估计，但 X (1) n 是 的无偏估计； ( 3)试求 X (1)的方差 Var X (1) 。 n (xi ) e i 1Ix(1) ，要使 L 最大，显然， 必达到最大， 解：() (X1 x1, ,Xn xn) 的联合密度函数为： n L(x

30、1, ,xn; ) e (xi ) i1 故 的最大似然估计为 X (1) 。 (2) 令Y X(1) ，则 Y的密度函数为 PY(y) ne (y )n1e (y ) ne (y )n 1 E(X(1) E(Y) yne (y )ndyn1,故 X(1)是 的无偏估计。 n (2) E(X(1)2 E(Y2)y2ne(y )ndy2 2n n22 ， Var ( X (1) E(Y2) E(Y)2 n12 13. 设总体为指数分布 Exp（1/ ），x1,x2, ,xn是样本，（ 1） 求该总体分布的费希尔信 息量 I（ ） ； （2）证明 x 1 xi 是 的最小方差无偏估计。 ni1 x 解