2020版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法（第2课时）分析法课件 新人教A版选修2-2

1、-1- 第2课时分析法 目标导航 1.理解分析法的意义,掌握分析法的特点. 2.会用分析法解决问题. 3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题. 知识梳理 分析法 温馨提示综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”.它们是 思维方向截然相反的两种证明方法,分析法便于我们去寻找思路, 而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题 时,综合运用效果会更好. 知识梳理 【做一做】 关于综合法和分析法的说法错误的是() A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B.综合法又叫顺推证法或由因导果法 C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D.分析法又叫逆推证法或执果索因

2、法 解析:由综合法和分析法的定义可知,选项A,B,D正确,选项C错误, 故选C. 答案:C 重难聚焦 1.怎样理解分析法? 剖析(1)分析法是由结论到条件的逆推证法,它的思维特点是从 “未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻求它成立 的充分条件. (2)当解决问题不知从何入手时,可以运用分析法去获得思路,特 别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效的方法. (3)用分析法证“若P,则Q”这个命题的模式是: 为了证明命题Q为真, 只需证明命题P1为真,从而有 只需证明命题P2为真,从而有 只需证明命题P为真. 而已知P为真,故Q必为真. 重难聚焦 知识拓展综合法和分析

3、法是直接证明的两种基本方法,两种方法 各有优缺点.分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和 方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,能较简洁 地解决问题,但不便于思考.实际证明时常常两法兼用,先用分析法 探索证明途径,再用综合法有条理地表述解题过程. 重难聚焦 2.综合法与分析法有什么联系? 剖析在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用: 根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构 特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证 明结论成立. 用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当有所区别.在综 合法中,每个推理都必须是正确的

4、,每个论断都应当是前面一个论 断的必然结果,因此所用语气必须是肯定的;而在分析法中,就应当 用假定的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就需先有B 成立;如果要B成立,又只需C成立这样从结论一直推到它们都 与所要证明的命题等效,而并不是确信它们是真实的.直至达到最 后已知条件或明显成立的事实后,我们才能确信它是真的,从而可 以推知前面所有与之等效的命题也都是真的,于是命题就被证明了. 典例透析 题型一题型二题型三 用分析法证明不等式 分析:从条件不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等 式出发,分析其成立的充分条件. 典例透析 题型一题型二题型三 即证(a-3)(a-6)(a-5)

5、(a-4), 即证1820. 因为180,ab0,b0,a0,b0, 答案:3 典例透析 题型一题型二题型三 分析法与综合法的综合应用 证明:欲证原等式成立, 即证a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc. 将左边全部展开,有 左边=ab2c2-ab2-ac2+a2bc2-ba2-bc2+a2b2c-ca2-cb2+a+b+c. 将ab2c2,a2bc2,a2b2c中的共同项abc提出,有 上式=abc(ab+bc+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c, 利用abc=a+b+c, 得上式=(a+b+c)(ab+b

6、c+ac)-ab2-ac2-ba2-bc2-ca2-cb2+a+b+c, 将这个式子展开,与后面的项相消,得上式=4abc. 所以a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc成立,故原等 式成立. 典例透析 题型一题型二题型三 反思由于待证等式与已知条件的联系不明确,且在结构上存在较 大差异,因此可将分析法和综合法结合起来使用. 典例透析 题型一题型二题型三 【变式训练2】 设a,b,c为任意三角形的三边长, I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3SI24S. 证明:I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+

7、b2+c2+2S,要证 3SI24S, 只需证3Sa2+b2+c2+2S4S, 即Sa2+b2+c22S. 欲证Sa2+b2+c2, 只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca0, 即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)0. 要证上式成立,可证三括号中式子都不为负. 因为a2+b2-2ab=(a-b)20,b2+c2-2bc=(b-c)20,c2+a2-2ca=(c- a)20, 所以Sa2+b2+c2. 典例透析 题型一题型二题型三 欲证a2+b2+c22S, 只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0, 即要证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0. 欲证上式,只需证以上三个括号中式子都小于零, 即要证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb. 也就是要证ab+c,bc+a,ca+b. 它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边的和, 所以a2+b2+c22S.