从平面到空间的类比推理

1、专题一：从平面到空间的类比推理 类比是数学命题推广的基本方法之一，法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要 工具也是归纳和类比.”类比推理就是在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其 他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.从逻辑上说，类比推理就是将命题的外延扩大. 类比推理一般具有如下三个特点： 类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的 结果； (2) 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； (3) 类比的结果是猜测性的，因此，类比推理得出的结论不一定正确，有待证明，但它却有探索

2、、发现的功能， 有助于我们揭示自然界的奥秘. 类比推理的一般步骤是： (1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而抽象、概括出一个猜想； (3) 检验猜想. 近几年来，在全国各地的模拟试题和高考试题中，陆续出现了从平面到空间的类比推理题，这些题目立意 新颖，内涵深刻，大多以填空题的形式出现，不需要严格的证明，只需要猜想出正确的结论即可，旨在考査学 生观察-分析-比较-联想-类比-,mm猜0想的探索能力和创新意识，归纳起来，主要有以下几 种类型： 一、平面几何定理类比到立体几何定理 平面是空间的一部分，因此，平面中的不少结论都可以类比

3、拓展到空间中去.数学家波利亚曾指出：“类 比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.” 类比方法：直线”类比为“”，角”类比为“”，角的两边”类比为“*等. 例1：对于平面几何中的命题：如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补在立体几何 中，类比上述命题，可以得到命题：“. ”其真假性 我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如： (1) 平几：平行于同一直线的两直线平行； 立几：平行于同一平面的两平面平行. (2) 平几：垂直于同一直线的两直线平行； 立几：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行. (3) 平几：如

4、果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直； 立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直； 如果一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直. （4）平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； 立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补. 二、平而几何图形类比到空间几何体 点、线、面是构成空间几何体的基本元素，构成几何体离不开平面图形，有不少几何体的底面或侧面是一 些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特殊几何图形的性质也可以类比推广到相对应的特殊空

5、间几何体 中去. （一）平而中的三角形类比到空间中的 1. 直角三角形类比到 类比方法1：直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“”. 例2（2003广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设AABC的两边AB、AC互相垂直，则AB? +AC3= BCa ”， 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设 三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、 ACD、 ADB 两两相互垂直，则 变式：在ZkABC中，AB丄AC, AD丄BC, D为垂足，则AB匕BDBC（射影定理）.类似地，三棱锥A-BCD中， AD丄平面ABC, A0丄平面BCD, 0为

6、垂足，且0在ABCD内，则S“b), E、F是腰AD、BC上两点，且EFEF “梯形的上、下底边长”类比为“”，“平行于梯形上、下底的线段长”类比 为 “”. 例 18 已知梯形 ABCD 中，AB=a, CD =b (ab) , E、F 是腰 AD、BC 上两点，且 EFABCD,且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为m： n,则可推算出十类比上述结论，若圆台的上.下底面积为S,、S2： (& 0,那以该函数在(0,、厉上是减函数, x 在需，+8)上是增函数. 2b 如果函数y = x + (xo)的值域为+oo),求b的值； (H)研究函数v = ?+4 (常数c0)在定义域内的单调性，并说明理由； (HI)对函数y = x + -或丫 = +厶(常数初0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后 的