第五章波动率估计ARCH模型

1、金融时间序列模型 第五章：波动率的估计 金融时间序列模型 ARCH模型概念 波动率模型 n金融衍生市场，计算期权等衍生工具的 价格需要了解股票的波动率 n金融风险管理,度量金融风险的大小，计 算VaR。 n异方差性异方差性（heteroscedasticity ） 经典线性回归模型的一个重要假定是： 总体回归函数中的随机误差项满足同方 差性，即它们都有相同的方差。如果这 一假定不满足，则称线性回归模型存在 异方差性。 n异方差性例子：在实际经济问题中，随机 扰动项Ui往往是异方差的，例如 （1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大； （2）分析家庭支出时发

2、现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。 在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。 异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果 我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。 异方差性 n异方差性另一例子：波动率据聚类性。 资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。 n对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3 波动率的重要性 股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币

3、政策制定 证券管理 风险分析 估计波动率的几种方法 n历史波动率Historical Volatility n滑动平均moving average n指数加权滑动平均Exponentially Weighted Moving Averages n隐含波动率Implied Volatility n实现的波动率realized volatility n自回归条件异方差类模型 数据 以上证日收益率为例 r1 ,r2,r3,rT 实际波动率计算公式 波动率年度化 *2501/2*100% 22 tt r 历史波动率的估计 T t tT T 1 22 1 1 历史波动率 22 24 26 28 30 3

4、2 34 14001450 15001550 160016501700 175018001850 HV 滑动平均波动率 滑动平均 n i it n t itt r n n 1 2 1 22 1 1 滑动平均波动率 n30，60，120，240天滑动平均 0 10 20 30 40 50 60 1200140016001800200022002400 H30V H60V H120V H240V 滑动平均波动率 n30天与240天 0 10 20 30 40 50 60 1200140016001800200022002400 H30VH240V 滑动平均波动率关于n的选择 n越大，曲线越平滑，n

5、越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波 动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那 么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小； 指数滑动平均(EWMA) 计算公式 等价于如下形式 2 1 2 1 2 )1 ( ttt .)1 ()1 ( 2 3 22 2 2 1 2 tttt 指数滑动平均 可以选择的范围是0.250.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较 大的，否则选择较小的 。 指数滑动平均计算结果 0 20 40 60 80 100 120 140 14001450 150015501600 165017001750

6、 18001850 HEW0.8HEWV0.2 n波动率的特性： P194, (1)-(6) 实现的波动率 n使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。 n假设一天内收集到价格 n计算日内收益率 n实际波动率估计公式： n用计算出的实际波动率来建立AR模型对未 来波动率进行预测 nttt ppp ,1 ,0, ,., )ln()ln(,., ,1,2,1 ,itititnttt pprrrr n i itt r 1 2 , 2 自回归条件异方差 几个主要的自回归条件异方差模型 nEngle(1982)ARCH nBollerslev(1986)GARCH nNelson(1991)EG

7、ARCH nGJR模型 nARCH-M nARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想模型的基本思想 ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。 ARCH(q) ttt h 22 110qtqtt h Vt是独立白噪声过程 0 0, j 0, j=1,q, 1 + 2 + q 1 1,.)|( 0.)|( 1 , 1 tt tt vvVar vvE ARCH过程的特点 t 是A

8、RCH(1)过程 ttt h 2 110 tt h ARCH(1)过程的无条件均值，条件均值，无条件方差 和条件方差 nARCH(1)过程的无条件均值 n无条件方差 0)()( ttt vhEE 1 0 1 )var( t nARCH(1)过程的条件均值 n条件方差 0)( 1 tt E ttt h )(var 1 ARCH过程的性质 该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望 0,那么t的条件方差要比通常情况下大, 所以 有理由预期t会比较大.这样使得ht+1t+1比较大,反 之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常 情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使 得ht+1t+1比较小

9、. 虽然方差大或小会持续一端时 间,但是不会一直持续下去,会回到无条件方 差上去. n数学表达： Yt = Xtt (1) 其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， t为误差项。 n 的特点 令 即 2 t )( 2 1 2 tttt E ttt h 2 重新表述ARCH（1）模型： ttt 2 110 2 能够证明 是白噪声过程，即 t 0)( t E 0)( st E 因此 服从AR(1)过程 2 t hh h ,)( | 1 2 n如果误差项的平方服从AR(q)过程， tqtqtt 22 110 2 t独立同分布，并满足E（t）= 0, D(t)= 常数, 则称上述模型是自回归条件异

10、方差模型 nARCH(1)过程的四阶矩特点(P197, (5.13) nAR(1)-ARCH过程： ttt YcY 11 ttt vh 2 110 tt h ) 1 , 0(. .di ivt 正态分布， t v 1t 与相互独立 特点：P199 nARCH模型的性质总结：P201 ARCH过程缺点总结 n不能反应波动率的非对称特点 n约束强，要求系数非负，如果要求高阶 矩存在，还有更多的约束 n不能解释为什么存在异方差，只是描述 了条件异方差的行为。 金融时间序列模型 建立ARCH模型 建立建立ARCH模型模型 1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何 线性关系，使用估计的残差检验ARCH效

11、果 2）估计模型 3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。 建立模型 1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的应用是首先对 收益率建立一个AR模型： 该方程被称为均值方程 tptptt YYcY . 11 建立模型 nARCH过程的平方是AR过程 ) 1( . . ) 1( 2 22 110 2 22 110 22 22 22 ttt tqtqtt qtqtt tttt ttttt ttt ttt vhw w h vhh hhvh vh vh 建立模型 检验残差是否存在条件异方差 n观察残差平方的偏自相关函数，如果q步 截尾，则阶数为q n对残差平方使用Q检验，判断是否存在自 相关 n使用LM检验法 LM检验 t qt qtt eee 22 110 2 零假设H0：i =0， i=1,2,q，即不存在条件 异方差性 检验统计量： LM=TR2 , T是样本点个数, LM服 从2(q)分布 建立模型 如果残差存在ARCH效果，对残差建立 ARCH模型，ARCH模型被称为方差方差。 整体模型可以称为AR-ARCH模型 使用极大似然估计法估计AR-ARCH模型： ttt