2020届高考数学一轮复习 第八讲 计数原理、统计与概率课件

1、第八讲计数原理、统计与概率 高考预测:概率与统计是高考的必考重点,三种题型都有,客观题 以统计图表的识别与数据分析、几何概型的求解为主,试题属于中 低档题目,比较简单;解答题多以实际问题中的统计图表信息为背 景,模块知识内的综合为主,概率与统计数字的结合,有一定的难度. 解决此类问题的关键在于准确把握信息中的数据.高考对计数原理 的考查主要以利用排列与组合求不同的方法数以及利用二项式定 理求指定项为主,题目难度不大. 一、计数原理 1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)

2、利用两个计数原理求解. 2.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时一般用位置分析法或 元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先 安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题 可以采用间接法. (2)相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采 用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 3.组合问题的两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素 取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的 元素中选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:求解这类题必

3、须重 视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法 和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用 间接法处理. 4.解排列、组合问题要遵循的两个原则 (1)按元素(位置)的性质进行分类; (2)按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常 以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位 置). 5.分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题 对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都 是一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免重复 计数. 对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组数的阶

4、乘, 即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这 样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数. 对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素 的个数都不相等,所以不需要除以全排列数. (2)对于相同元素的“分配”问题,常用方法是“隔板法”. 6.二项式定理 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的 指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等), 解出项数k+1,代回通项公式即可. (2)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如 (ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和, 常用赋值法. (3

5、)若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和 二、用样本估计总体 1.应用系统抽样应注意的问题 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大. (2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从 总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔. (3)起始编号可用简单随机抽样来确定,一旦起始编号确定,其他 编号便随之确定. 2.分层抽样问题类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算. (2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按 比例抽样,列比例式进行计算. (3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体

6、中个体差异明显 的情况. 3.解决频率分布直方图问题的要点 (1)直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)直方图中纵轴表示 ,故每组样本的频率为组距 , 即小长方形的面积. (3)直方图中每组样本的频数为频率总体个数. 4.利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法 (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的 面积相等,由此可以估计中位数的值. (2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边 中点横坐标之和. (3)众数:最高的矩形的中点的横坐标. 5.样本数字特征及公式推广 (1)平均数和方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的阐 述.平均数、中位数、众

7、数描述总体的集中趋势,方差和标准差描 述波动大小. (2)平均数、方差公式的推广 若数据x1,x2,xn的平均数为 ,方差为s2,则数据 mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数为m +a,方差为m2s2. 1.判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的 分布从左上角到右下角,两个变量负相关. (2)相关系数:r0时,正相关;r0时,负相关. (3)线性回归方程中: 0时,正相关; 0时,负相关. 2.线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程 利用公式,求出回归系数. 待定系数法:利用回归直线过样本点的中心求系数. 3.独立性

8、检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成22列联表. (2)根据公式K2= 计算K2的观测值k. (3)比较k与临界值的大小关系,作统计推断. 四、概率 1.判断互斥、对立事件的2种方法 (1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两 个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件 为对立事件,对立事件一定是互斥事件. (2)集合法 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件 互斥. 事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集. 2.求复杂互斥事件概率的2种方法 (1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥

9、的事件的和,运用互 斥事件概率的加法公式计算. (2)间接法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P( )求得, 即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接法 就会较简便. 注意应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个 事件是否彼此互斥,然后求出各个事件发生的概率,再求和(或差). 3.求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A; (2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件 个数m; (3)利用公式P(A)= ,求出事件A的概率. 4.基本事件个数的确定方法 5.判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1

10、)当题干是双重变量问题时,一般与面积有关系. (2)当题干是单变量问题时,要看变量可以等可能到达的区域;若 变量在线段上移动,则几何度量是长度;若变量在平面区域(空间区 域)内移动,则几何度量是面积(体积),即一个几何度量的形式取决 于该度量可以等可能变化的区域. 6.离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表 示的意义. (2)求概率:明确随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所 对应的概率. (3)画表格:按规范要求形式写出分布列. (4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确. 7.超几何分布的求解 超几何分布描述的是不放回抽样问题

11、,随机变量为抽到的某类个 体的个数.超几何分布的特征是: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个数; (3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分 布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古 典概型. 8.条件概率的求法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= ,这是求条件概 率的通法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再 求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得 P(B|A)= . 9.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正

12、面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手 时,可从其对立事件入手计算. 10.独立重复试验与二项分布 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意 检查该概率模型是否满足公式P(X=k)= pk(1-p)n-k的三个条件:(1) 在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是 在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互 独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生k次的概率. 11.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知 识主要是正态曲线关于直线x=对称,及曲线与x轴之间的面积为1. 注意下面两个结论的活用:P(X

13、a)=1-P(Xa);P(X- )=P(X+). 12.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映 了随机变量稳定程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生 产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值 相同,再用方差来决定. 13.二项分布的期望与方差. (1)如果B(n,p),则E()=np;D()=np(1-p). (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一 随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及 E()=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b). 1.正确理解组合数的性质 2.求解有限制条件排列问题的方法 3.排列数、组合数公式及性质 (3)0!=1. 4.系统抽样的最基本特征是“等距性”,一般地,每组内所抽取的号 码依据第一组抽取的号码和组距确定.每组抽取的号码依次构成一 个以第一组抽取的号码m为首项、组距d为公差的等差数列an,第 k组抽取的号码为ak=m+(k-1)d. 5.分层抽样为等比例抽样,这是计算各层抽取数量的基本依据.分层 抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层,抽样比 6.茎叶图 (1)用茎叶图表示数据的优点:一是没有原始数据的丢失,所有数 据信息都