初中数学竞赛精品标准教程及练习70：正整数简单性质的复习

1、初 中数学竞赛精品标准教程及练习 (70)正整数简单性质的复习一 . 连续正整数一. n 位数的个数：一位正整数从 1 到 9 ，共 9 个，两位数从 10 到 99，共 90 个，三位数从 100 到 999 共 910 2个，那么 n 位数 的个数共 .(n是正整数 )练习：1. 一本书共 1989 页，用 0 到 9 的数码，给每一页编号，总 共要用数码个 .2. 由连续正整数写成的数 1234 9991000 是一个 位数；100110021003 19881989 是 位数.3. 除以 3 余 1 的两位数有 个，三位数有 个， n 位数有个.4. 从 1 到 100 的正整数中，共

2、有偶数 个，含 3 的倍数个；从 50 到 1000 的正整数中，共有偶数 个，含 3 的倍数个.二. 连续正整数的和： 1+2+3+ +n=(1+n) n. 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模 m 有同余数的连 续数的和 .练习： 5.计算 2+4+6+ +100=.6. 1+3+5+ +99=.7. 5+10+15+ +100=.8. 1+4+7+ +100=.9. 1+2+3+ +1989 其和是偶数或奇数？答 10. 和等 于 100 的 连续 正 整数共 有 组 ，它 们 是11. 和 等 于 100 的 连 续 整 数 共 有 组 ， 它 们 是三. 由连续正整数连写的整数，各位

3、上的数字和整 数 123456789 各 位 上 的 数 字 和 是 ： (0+9)+(1+8)+ +(4+5)=9 5=45 ；1234 99100 各 位数字和是 (0+99)+(1+98)+ +(49+50)+1=18 50+1=901.练习：12. 整数 1234 9991000 各位上的数字和是 13. 把由 1 开始的正整数依次写下去，直到第 198 位为止：123456789101112 这个数用 9 除的余数是 .198位14. 由1到100 这100 个正整数顺次写成的数 1234 99100 中： 它是一个 位_ 数； 它的各位上的数字和等于 ；_ 从这一数中划去 100

4、个数字，使剩下的数尽可能大，那 么 剩下的数的前十位是 .四. 连续正整数的积： 123n 记作 n ! 读作 n 的阶乘 . n 个连续正整数的积能被 n! 整除 .如： 2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2) (a+n 1). a 为整数 . n! 中含有质因数 m 的个数是 n + n2 + + ni .m m mx 表示不大于 x 的最大正整数， i=1,2,3 min 如：12310 的积中，含质因数 3 的个数是： 10 102 =3+1=4332练习： 15. 在100! 的积中，含质因数 5 的个数是： 16. 一串数 1，4，7，

5、10，697 ，700 相乘的积中，末尾 共有零 个17. 求证： 10 494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 21)(a+2)a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习： 19. 如果 n+1 个正整数都小于 2n, 那么必有两个是互质数， 试证之 .二 . 正整数十进制的表示法一. n+1 位的正整数记作： an10 n +a n110n1+a 110+a 0 其中 n 是正整数，且 0ai9 (i=1,2,3, n)的整数 , 最高位 an 0.例如： 54321=5 104+4 10 3+3 102+2 10+1.例题：从 12 到 33 共 22 个正整数连写成 A=1

6、21314 3233. 试 证：A 能被 99 整除.证明：A=12 1042+13 10 40 +14 10 38+ +31 10 4+32 10 2+33=12 100 21 +13 100 20+14 10 19+ +31 100 2+32 100+33. 100 的任何次幂除以 9 的余数都是 1，即 100 n=(99+1) n 1 (mod 9) A=99k+12+13+14+ +31+32+33(k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23)=99k+45 11 =99k+99 5.A 能被 99 整除 .练习： 20. 把从 19 到 80 的连结两

7、位数连写成 19202122 7980. 试证明这个数能被 1980 整除二. 常见的一些特例 11999 9=10 n1, 333 3= 13(10 n1),111 1 19 (10 nn个9n个 3 3n个1 91).例题：试证明 12 ，1122 ，111222 ，11112222 ，这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积 . 12 证明：第 n 个数是111 1222 2= 1(10n 1)10 n+ 2(10n 1) n个1 n 个29 9= 1(10 n 1) (10 n+2)10n 1 10n 1 3 =3310n 1 10 n 1= ( 1)33= 333 3333 34

8、. 证毕.n个3(n 1) 个3练习21.999 9n个9化简999 9+1 999 9=n个 9n个 922.111 1- 222 2=2n个1n个223. 求证 111 1是合数 .1990个124. 已知：存在正整数 n,能使数111 1被 1987 整除.n个1求证：数 p= 111 1999 9 888 8777 7和n个1n个9n个 8n个7数 q= 111 1999 9888 8 777 7都能被 1987 整除.n 1个1 n 1个9 n 1个 8 n 1个 725. 证明： 把一个大于 1000 的正整数分为末三位一组，其余 部分一组，若这两组数的差，能被 7(或 13) 整

9、除，则这个正 整数就能被 7(或 13)整除 .26. 求证： 111 11 000 05+1 是完全平方数 . n个 1n 1个 0三 . 末位数的性质.一.用 N (a)表示自然数的个位数 . 例如 a=124 时，N (a)=4 ； a= 3 时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r) a 和 k 都是整数， r=1,2,3,4.特别的： 个位数为 0 ，1，5，6 的整数，它们的正整数次幂的个 位数是它本身 .个位数是 4，9 的正偶数次幂的个位数也是它 本身.2. N (a)=N (b)N (a b)=0 10 |(ab).3. 若 N (a)=a 0, N (

10、b)=b 0. 则 N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).例题 1：求 53 100 ； 和 777的个位数 .解：N (53 100 )=N (3 424+4 )=N (3 4)=1先把幂的指数 77化为 4k+r 形式，设法出现 4 的因数.77=7 7 7+7=7(7 6 1)+4+3=7(7 21)(7 4+7 2+1)+4+3=7 412 (74+7 2+1)+4+3 =4k+3N(7 77 )=N(7 4k+3 )=N(7 3)=3.练习： 27. 1989 1989 的个位数是 ，9 99的个位数是 .28. 求证：10 | (1987 1989 199

11、3 1991 ).29.22 1033 1577 2055 25的个位数是 .二. 自然数平方的末位数只有 0，1，4， 5，6，9； 连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12 ， 22 ， 32 ， ， 102 的 个 位 数 的 和 等 于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题 1. 填空：12，22，32，123456789 2 的和的个位数的数 字是.解： 12，22，32， ， 102 的 个位数的和 等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11 到 20；21 到 30；31 到 40 ；123456781 到1234

12、56789 ，的平方的个位数的和也都是 45. 所以所 求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)(12345678+1) 的个位 数5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题 2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数 .证明： (用反证法 )设五个连续整数的平方和是完全平方数， 那么可记作：(n 2)2+(n 1)2+n 2+(n+1) 2+(n+2) 2=k 2(n, k都是整数 )5(n 2+2)=k 2 . k2是 5 的倍数， k 也是 5的倍数.设 k=5m,则 5(n 2+2)=25m 2.n 2 +2=5m 2.n2+2 是 5的倍数，其个位数只能

13、是 0或 5，那么 n2 的倍数是 8 或 3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是 8 或 3. 假设不能成立 任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数 .3. 判断不是完全平方数的其他方法 例题 3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1 不是完全平方数证明：a(a+1)+1=a 2+a+1 ，且 a 是正整数 a2 a(a+1)+1=a 2+a+11 的正整数 ) 不是完全平方数 n个1证明：根据奇数的平方数除以 4必余 1，即(2k+1) 2=4(k+1)+1.但 111 1 = 111 100 11 =4k+11=4k+4 n个1n-2 个12+3=4(k+2)+3即 111

14、 1除以 4 余数为 3，而不是 1，n个1它不是完全平方数 .例题 5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数 . 证明：设 2a+1,2b+1(a,b 是整数 )是任意的两个奇数 .(2a+1) 2+(2b+1) 2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2. 这表明其和是偶数，但不是 4 的倍数， 故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数 .三. 魔术数：将自然数 N 接写在每一个自然数的右面，如果所得 到的新数，都能被 N 整除，那么 N 称为魔术数 .常见的魔 术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是 1，2，5 (即10 的一 位

15、正约数是魔术数 )b) 能被末两位数整除的自然数， 其末两位数是 10，20，25，50( 即100 的两位正约数也是魔术数 )c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是 100 ，125 ，200 ，250 ，500(即 1000 的三位正约数也是魔术数 )练习： 30. 在小于 130 的自然数中魔术数的个数为 .四. 两个连续自然数，积的个位数只有 0，2，6；和的个位数只 有 1，3，5 ，7，9.练习： 31. 已知：n 是自然数，且 9n 2+5n+26 的值是两个相邻自 然数的积，那么 n 的值是： .四 . 质数、合数1；1. 正整数的一种分类： 质数 （除1和本身外不能被其

16、他自 然数整除 ）；. 合数 （除1和本身外还能被其他自 然数整除 ）.2. 质数中，偶数只有一个是 2，它也是最小的质数 .3. 互质数：是指公约数只有 1 的两个正整数 . 相邻的两个正整数都 是互质数 .例题：试写出 10 个连续自然数，个个都是合数 .解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令 A=1 2345678910 11那么 A+2 ， A+3 ，A+4 ，A+5 ，A+6 ，A+7 ，A+8 ，A+9 ，A+10 ， A+11 就是 10 个连续数，且个个都是合数 . 一般地，要写出 n 个连续自然数，个个是合数，可用 令 m=n+1, 那么 m!+2, m!+3, m!+4,

17、 + + m!+n+1 就是所求的合数 .m!+i （2 i n+1） 有公约数 i.练习：32. 已知质数 a，与奇数 b 的和等于 11，那么 a=_,b=_.33. 两个互质数的最小公倍数是 72 ，若这两个数都是合数， 那么它们分别等于 ，.34. 写出 10 个连续正奇数，个个都是合数，可设 m=（10+1） 2 ， m!=22!那么所求的合数是 22!+3 ， ,_,35. 写出 10 个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2 3 5711.（这里 11=10+1 ，即 N 是不大于 11 的质数的积 ）.那么N+2 ，N+3 ，N+4 ，N+11 就是所求的合数 .这是为什 么

18、？如果 要写 15 个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2 +x 4n 是合数.五.奇数和偶数1.整数的一种分类：偶数：能被 2整除的整数；（即除以2，余数为 0） 奇数：不能被 2整除的整数 .（即除以 2，余数为 1）2. 运算性质：奇数 +奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+ 偶数= 奇数.奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数 =偶 数.（奇数）正整数= 奇数， （偶数）正整数=偶数.4. 其他性质： 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数 . 奇数的平方被 4 除余 1 ；偶数的平方能被 4 整除；除以 4 余 2 或 3 的整数不是平方数

19、 .a）2n （n 为正整数）不含大 于1 的奇因数.b）若两个整数的和 （差 ）是奇数，则它们必一奇一偶 .c）若 n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数 .例 1. 设 m 与 n 都是正整数，试证明 m 3n3 为偶数的充分必要条件 是 m n 为偶数 .证明：m 3n3（m n ） （m 2 +mn+n 2）.当 mn 为偶数时，不论 m 2+mn+n 2 是奇数或偶数， m3n3 都是偶数；mn 为偶数是 m3n3 为偶数的充分条件 .当 mn 为奇数时， m, n 必一奇一偶， m2，mn ，n2 三个数 中只有一个奇数，m 2+mn+n 2是奇数，从而 m3n3也是奇数 .mn 为

20、偶数，是 m 3n3为偶数的必要条件 .综上所述 m 3n3为偶数的充分必要条件是 mn 为偶数. 例 2. 求方程 x2 y2=1990 的整数解 .解： （x+y）（x y）=2 5199.若 x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ， x y 都是偶数， 其积是 4 的倍数，但 1990 不含 4 的因数，方程左、右两边 不能相等 .若 x, y 为一奇一偶， 则 xy ，x+y 都是奇数，其积是奇数， 但 1990 不是奇数，方程两边也不能相等 .综上所述，不论 x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等 . 所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类： 奇数和偶数， 详尽地讨论

21、了方程 的解的可能性 .练习： 37. 设 n 为整数，试判定 n2n+1 是奇数或偶数 .38. 1001+1002+1003+ +1989 其和是偶数或奇数，为 什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是 偶数，试说明理由 .40. 求证：方程 x2+1989x+9891=0 没有整数根 .x1 x2 x3xn 0；41. 已知： 1 2 3 n求证： n 是 4 的倍数 .x1 x2 x3xn n.1 ( 1)n42. 若 n 是大于 1 的整数， p=n+(n 2 1) 2 试判定 p 是奇数 或偶数，或奇偶数都有可能 .六 . 按余数分类1. 整数被正整数 m

22、除，按它的余数可分为 m 类，称按模 m 分类 . 如：模 m=2 ，可把整数分为 2 类:2k, 2k+1k 为整数，下同模 m=3 ，可把整数分为 3 类:3k, 3k+1 ， 3k+2.模 m=9 ，可把整数分为 9 类 :9k,9k+1,9k+2. 9k+8.2. 整数除以 9 的余数，与这个整数各位上的数字和除以 9 的余数相 同.如：6372 ，5273 ，4785 各位数字和除以 9 的余数分别是 0，8，6. 那么这三个数除以 9 的余数也分别是 0 ，8 ，6.3. 按模 m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质 . 如：若 a=5k 1+1, b=5k 2+2.则

23、a+b 除以 5 余数 是 3 (1+2) ；ab 除以 5 余 2(1 2)；b2 除以 5余 4(22).例 1. 求 1989 1989 除以 7 的余数 .解：1989 1989 =(7 284+1) 1989，1989 1989 11989 1 (mod 7).即 1989 1989 除以 7 的余数是 1.练习： 43. 今天是星期一， 99天之后是星期 .44. n 个整数都除以 n1, 至少有两个是同余数，这是为什 么？45. a 是整数，最简分数 7a 化为小数时，若为循环小数，那么 一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以 9 的余数特征，可对四则运算进行检验 例

24、 2. 下列演算是否正确？ 12625+9568=21193 ； 2473 429=1060927. 解：用各位数字和除以 9，得到余数：12625 ，9568 ，21193 除以 9的余数分别是 7，1，7. 7+1 7， 演算必有错 . 2473 ，429 ，1060927 除以 9 的余数分别是 7，6，7. 而 76=42 ，它除以 9 余数为 6 ，不是 7，故演算也有错 . 注意：发现差错是准确的， 但这种检验并不能肯定演算是绝对 正确.练习： 46. 检验下列计算有无差错：372854 83275=289679 ； 23366292 6236=3748.5. 整数按模分类，在证明

25、题中的应用例 3. 求证：任意两个整数 a 和 b ，它们的和、差、积中，至少有一 个是 3 的倍数 .证明：把整数 a 和 b 按模 3 分类，再详尽地讨论 .如果a, b 除以 3，有同余数 (包括同余 0、1、2)，那么 a, b 的差是 3 的倍数；如果a, b 除以 3，余数不同，但有一个余数是 0，那么 a, b 的积是 3 的倍数；如果a, b 除以 3，余数分别是 1和2，那么 a, b 的和是 3 的倍数 .综上所述任意两个整数 a，b ，它们的和、差、积中，至少 有一个是 3 的倍数 .(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏 ) 例 4. 已知： p5，且 p 和 2p+1

26、 都是质数 .求证： 4p+1 是合数 . 证明：把整数按模 3 分类. 即把整数分为 3k,3k+1,3k+2 (k 为 整数)三类讨论p 是质数，不能是 3 的倍数，即 p 3k； 当 p=3k+1 时 , 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1 不是质数，即 p 3k+1 ；只有当质数 p=3k+2 时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1 也是质数， 符合题设 .这时， 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数 . 证毕练习： 47. 已知：整数 a不能被 2和3整除 . 求证：a2+23 能被 24 整除.48. 求证：任何两个整数的平方

27、和除以 8 ，余数不可能为 6.49. 若正整数 a不是 5的倍数. 则a8+3a44能被 100 整除.50. 已知：自然数 n2 求证：2n1 和 2n+1 中，如果 有一个 是质数，则另一个必是合数 .51. 设 a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a3bab3,b3c bc 3,c3aca3 三个数中，至少有一个能被 10 整除.七 . 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当 a,b 互质时，若有一个整数的特解 x x0 那么可写出它的通解 x x0 bk（k为整数 ）y y0y y0 ak2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质 整数整数= 整数， 整数整数

28、=整数， 整数（这整数的约数 ）= 整数， （整数）自然数 = 整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解4. 根据已知条件讨论整数解 .例 1. 小军和小红的生日 . 都在 10 月份，且星期几也相同，他们生日 的日期的和等于 34 ，小军比小红早出生，求小军的生日 .解：设小军和小红的生日分别为 x, y，根据题意，得2x=34 7k x=17 7k2yy xx 734k （k=1,2,3,4） y x 34k=1, 3 时， x 没有整数解；当 k=2 时，x 10， y 24.当 k=4 时，x 3y，（10 月份没有 31 日，舍去 ）y 31.小军的生日在

29、10 月 10 日例 2. 如果一个三位数除以 11 所得的商，是这个三位数的各位上的 数的平方和，试求符合条件的所有三位数 .解：设三位数为 100a+10b+c,a, b, c 都是整数， 0a 9 ，0 b, c 9.100a 10b c a b c那么 9a b ， 且 8a b+c0, 以 c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论 a 的解 .当 c=2, 4 时，无实数根；当 c=1, 3 时，无整数解；只有当 c=0 时， a=5 ；或 a=0. （a=0 不合题意，舍 去）只有 c=0, a=5, b=5 适合所求的三位数是 550 ；（2）当 ab+c=11 时， 得 9a+

30、b+1=a 2+b 2+c2.以 b=a+c 代入，并整理为关于 a 的二次方程，得 2a 2+2（c 16）a+2c 223c+131=0.仿（1）通过韦达定理，由 c 的值逐一以讨论 a的解. 只有当 c=3 时 , a=8, b=0 适合所有条件 .即所求三位数为 803. 综上所述，符合条件的三位数有 550 和 803.练习： 52. 正整数 x1, x2, x3,xn 满足等式 x1x2x3 x4+x 5=x 1x2x3x4x4x5那么 x5的最大值是 .53. 如果 p, q, 2p 1,2q 1 都是整数， .且 p1, q1, 试求 qpp+q 的值 .54. 能否找到这样的

31、两个正整数 m 和 n ，使得等式 m 2+1986=n 2 成立 . 试说出你的猜想，并加以证明 .55. 当 m 取何整数时，关于 x 的二次方程 m 2x2 18mx+72=x 2 6x 的根是正整数，并求出它的根 .56. 若关于 x 的二次方程 （1+a ）x2+2x+1 a=0 的两个实数根 都是整数，那么 a 的取值是.57. 不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是 28 ，最大边 与次大边的差比次大边与最小边的差大 1，适合条件的三角 形共有 个，它们的边长分别是：58. 直角三角形三边长都是整数， 且周长的数值恰好等于面积的 数值，求各边长 .59. 鸡翁一，值钱；，鸡母一

32、，值钱三；鸡雏三，值钱一 .百钱买 百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？60. 甲买铅笔 4 支，笔记本 10 本，文具盒 1 个共付 1.69 元， 乙买铅笔 3 支，笔记本 7 本，文具盒 1 个共付 1.26 元，丙 买铅笔、笔记本、文具盒各 1，应付几元？ 若 123499100=12 nM ，其中 M 为自然数， n 为使得等式成立的最大自然数，则 M 是 ()(A). 能被 2 整除，不能被 3 整除 . (B).能被 3 整除，但不能 被 2 整除 .(C).被 4 整除，不能被 3 整除 .(D).不能被 3 整除，也不能被 2 整除 .练习 70 参考答案：1. 9+90 2+9

33、00 3+990 4=68492. 2893 79563. 30 ，300 ，310n14. 50, 33, 476, 317 . 5.25506.2500. 7. 105019891. 1717.9.奇数 (1+1989) 1989 .210 有两组： 18，19，20 ，21，22；9，10，11 ，12，13 ，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有 8 到 16 ；17 到 2212. 13501. 13. 余数是 6(由 1 到 102 刚好是 198 位).14. (1)192 (2)901 (3)999997859615. 100 + 100 =245 2516.

34、 60 个. 计算积中含质因数 5 的个数是：从 10，25，40，55，700 这组数中含质因数 5 的共有 (70010) 15+1=47 ；而 25，100 ，175 ，700 含有 52因数，应各加 1个5，共有 (100 25) 75+1=10 ；且 250 ，625 ，含有 53因数，应再各加 1个 5，共有 2 个；625 含 有 54 因 数 ， 再 加 1 个 5. 总 共 是 47+10+2+1=60.17. 1989 1989 1989 1989 =379+79+15+3=49452512562518. 把 a(a21)(3a+2)化为 a(a+1)(a 1)(2a+4)

35、+(a 2)=2(a 1)a(a+1)(a+2)+(a 2)(a 1)a(a+1).19. 根据两个连续整数必互质， 把 n+1 个正整数按非连续数单独分 组，因为它们都小于 2n, 所以最多分为 n 组，那么 n+1 个正整 数至少有一个不能单独分组，即与 n 组中的一个互质 .20. 易证能被 20 整除，再证能被 99 整除21. 原数=(10 n1)2+1 10 n+(10 n1)=10 2n22. 原数= 1 (10 2n 1) 2 1 (10 n 1)= 99n=( 103 1)2=( (33 33)23n 个23. 原数= 1 (10 1990 1)= 1 (10 995 +1)

36、 (10 995 1) 99= 1 (10 995 +1) (10 1)N(N 为整数)24. p= 11 11(10 3n +9 10 2n +8 10 n +7) nq= 11 11 (10 3n+3 +9 102n+2 +8 10 n+1 +7) n110 n=9 11 11+1 ，n个10 3n+3 ，10 2n+2 ，10 n+1 除以11 11的余数分别为 10 3，10 2 ，10. n个q 的第二因式除以 11 11的余数分别为 110 3+9 10 2 +8 n个10+725. 设 A=10 3 M+N ，7|(M N).A=10 3 M+N=10 3 M+M M+N=1001M (M N). 10n 126. 原数= 10 1 (10n 5) 1= 927. 1.28. 71 与 33的个位数相同 . 29 . 0.30. 9 个(1，25，10，20，25，50，100 ，125).31. 2，6. 可设 9n 2+5n+26=m(m+1),配方，分解因式32. 2 ，9.33. 8 ，9.34. 22!+3 ，22!+5 ，22!+7 ，22!+