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文档简介

1、2018 年江苏省常州市高考数学一模试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应 位置上1. 若集合 ?= -2, ?0,?1,?= ?|?2? 1 ,则集合 ?= 【答案】-2【考点】交集及其运算【解析】化简集合 ?,根据交集的定义写出 ? ?【解答】解:集合 ?= -2, ?0,?1,?= ?|?2? 1 = ?|? 1 ,则集合 ?= -2 故答案为: -2 .2. 命题“?0, ?1,?2 - 1 0”是命题(选填 “真”或“假”)【答案】真【考点】全称命题与特称命题【解析】根据题意,判断命题 “?0, ?1,?2 - 1 0”的真假性即

2、可【解答】解:当 ?= 1时, ?2 - 1= 0 0, 命题“?0, ?1,?2 - 1 0”是真命题 故答案为:真 .3. 若复数 ?满足?2?= |?2| + 1(其中 ?为?虚数单位) ,则 |?|= 答案】 【考点】 复数的模 复数代数形式的乘除运算【解析】设?= ?+ ?,?则2?-?2?= ?2+ ?2 + 1,由复数相等的定义列出方程组求出 ?= 0, ?= -1 ,由此能求出 |?|【解答】 解:设 ?= ?+ ?,?复数?满?足?2?= |?2| + 1(其中?为?虚数单位) ,(?+ ?)2?= ?2 + ?2 + 1 ,2?- ? 2?= ?2 + ?2 + 1,解得

3、?= 0,?= -1 , |?|= 0 + 1 = 1 故答案为: 1.4. 若一组样本数据 2015,2017,?,2018 ,2016的平均数为 2017 ,则该组样本数据 的方差为 【答案】2【考点】极差、方差与标准差【解析】由一组样本数据 2?015,2?017,?,2?018,2?016的平均数为 2?017,求出 ?= 2019 ,由 此能求出该组样本数据的方差【解答】解: 一组样本数据 2?015, 2?017,?,2?018,2?016的平均数为 2?017,15 (2015 + 2017 + ?+ 2018 + 2016) = 2017 , 解得 ?= 2019 , 该组样本

4、数据的方差为: ?2 = 51 (2015 - 2017) 2 + (2017 - 2017) 2 + (2019 - 2017) 2 + (2018 - 2017) 2 + (2016 - 2017) 2 = 2故答案为: 2.5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 ?的值是 【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的运行过程求出结果【解答】答案】解:执行第一次循环时:?=2, ?= 1,执行第二次循环时, ?=2,?= 3 执行第三次循环时, ?=23,?= 5,执行第四次循环时, ?=215,?= 7 ,由于 2已知圆锥的高为 6,体积为 8 ,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体

5、积是7,则该圆台的高为 【答案】3【考点】 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 【解析】 根据大小棱锥的体积比得出大小棱锥的高度比,从而得出答案 【解答】 解:设圆锥的底面半径为 ?,截去小圆锥的高为 ? ,底面半径为 ?,? ? 则 ?= ? ,? 6 13 ?2? 6 = 8, 31 ?2? = 1,?2 ? 3 1 ?6?2 = (6?)3= 81, 2017 ,所以:输出 ?= 7故答案为: 7.6. 函数 ?(?=) ln1?的定义域记作集合 ?随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子 的每个面上分别标有点数 1, 2, 6),记骰子向上的点数为 ?,? 则事件 “?”的概率 为【答案】56

6、【考点】 古典概型及其概率计算公式【解析】 此题暂无解析【解答】1解: 函数 ?(?=) ln1?的定义域记作集合 ?, ?= ?|0 ? 1, 随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1,2, 6),记骰子向上的点数为 ?,?则?的? 所有可能取值为 1,2,3,4,5,6,共 6种,事件 “?”包含的基本事件共 5种,5 事件 “?”的概率为 ?= 56 5故答案为: 6.试卷第 22 页,总 27 页 ? = 3 故答案为: 3.8. 在各项均为正数的等比数列 ?中,若?2?3?4 = ?2+ ?3+ ?4,则?3的最小值为【答案】3【考点】 基本不等式在最值问题中

7、的应用 等比数列的通项公式解析】设公比为 ? 0,?3 = ?,依题意,得: ?3 = ?(1?+ 1+ ?,) 从而?2 = 1?+ 1+ ?2+1= 3,? 0,由此能求出 ?3的最小值 【解答】解: 在各项均为正数的等比数列 ? ?中, ?2?3?4 = ?2?+ ?3 + ?4, 设公比为 ? 0, ?3 = ?,依题意,得:?3 = ?(?1?+ 1 + ?,)?2 = 1?+ 1 + ?2 + 1 = 3, ? 0, ? 3 ,当 ?= 1时取等号, ?的? 最小值是 3即 ?3 的最小值为 3 故答案为: 3 ?2 ?29. 在平面直角坐标系 ?中?,设直线 ?:?+ ?+ 1

8、= 0与双曲线 ?:?2 - ?2 = 1(? 0, ?0)的两条渐近线都相交且交点都在 ?轴左侧,则双曲线 ?的离心率 ?的? 取值范围是【答案】(1,? 2)【考点】 双曲线的离心率【解析】求出双曲线的渐近线方程,与直线联立利用交点在?轴左侧,推出双曲线的离心率的范围即可【解答】?2 = 1(? 0, ? 0) 的两条渐近线为: ?=? ?,?0,解:双曲线?2?: -?2?+ ?+ 1 = 联立?+?=?+?1?=,? 可得 ?= - ?+?,联立?+ ?+ 1=?=? -?,0,可得 ?=?-?由题意 ?-? ?,则 2? ?,?即 1 ? 0,?0 ? 0, ?0 ? 0) ,则?(

9、0,? - 3?2) ,设?(? ?,?,) 运用两点距离公式可得 ?在两圆上,由圆与圆的位置关系的等价条件,解 不等式可得 ?的范围,再由三角形的面积公式,结合二次函数的最值求法,可得最大值 【解答】解:以 ?的? 中点为坐标原点, ?所?在直线为 ?轴, 建立直角坐标系,设?(-?,?0),?(?,0),(? 0) ,则?(0,? -3?2) ,设 ?(? ?,?,) 由 ?2?+ ?2?= 3?2? = 3, 可得:(?+ ?)2 + ?2 + (?- ?)2 + ?2 = 3?2 + (?- 3- ?2 )2 = 3, 3可得 ?2 + ?2 = 32 - ?2, ?2 + (?- 3

10、- ?2)2 = 1, 即有点 ?既在(0, ?0)为圆心,半径为 3- ?2的圆上, 也在(0,? 3- ?2 )为圆心, 1为半径的圆上, 可得 |1 - 23 - ?2| 3- ?2 1 + 32 - ?2, 由两边平方化简可得 ?2 1263,1则 ?的?面积为 ?= 2 ?2?3- ?2 = ?3 - ?2 = 3?2 - ?439= -(?2 - 2) 2 + 4 ,由?2 sin?sin?,可得 ?2 = 23, ?取? 得最大值,且为 52316 16 16故答案为: 5 23 1690 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写二、解答题:本大题共 6 小题,共计 出文字说明、

11、证明过程或演算步骤 已知在 ?中?, ?、 ?、?分别为三个内角 ?、?、 ?的对边, 3?sin?= ?cos?+? ?(1) 求角 ?的大小;11(2) 若?2 = ?,?求tan1? + ta1n?的值【答案】解: (1) 3?sin?= ?cos?+? ?,?由正弦定理可得 3sin?sin?= sin?cos?+ sin?,由sin? 0,可得 3sin? = cos?+ 1,?即有 2sin(? - ?6?) = 1,由于 ?为三角形的内角,可得:? ? ?- = ,66?即 ?= ?3?.(2)?2 = ?,?由正弦定理可得 sin2?= sin?sin?,1 1 cos? co

12、s? 而 + = + tan? tan? sin? sin?sin?cos?+ cos?sin?sin(? + ?) sin? = sin?sin? = sin 求证: ?;? 过点?和?的? 平面截四棱锥得到截面 ?(?点?在棱?上? ),求证: ?/?12 3= sin? = 3 【考点】正弦定理弦切互化【解析】(1) 由正弦定理可得 3sin? = cos?+ 1,再由两角差的正弦公式,以及特殊角的正 弦函数值,即可得到所求角;(2) 运用正弦定理和切化弦,以及两角和的正弦公式,计算即可得到所求值 【解答】 解: (1) 3?sin?= ?cos?+? ?,?由正弦定理可得 3sin?s

13、in?= sin?cos?+ sin?, 由sin? 0,可得 3sin? = cos?+ 1,?即有 2sin(? - ?6?) = 1,由于 ?为三角形的内角,可得:? ? ?- = ,66? 即 ?= ?.(2)?2 = ?,? 由正弦定理可得 sin2?= sin?sin?,1 1 cos? cos?+= tan? tan?+ sin? sin?sin?cos?+cos?sin?sin?sin?sin(? + ?)sin?sin?sin?= sin2?12 3= sin? = 3如图,四棱锥 ?的?底?面 ?是?平行四边形, ?平面 ?,? ?= ?,? ?是棱 ?上?异于 ?,?的一

14、点【答案】证明: (1)连结?,?交?于?点 ?,则?为?的?中点, ?= ?,? ? ? ?平面 ?,? ? 平面 ?,? ? ? ? ?= ?,?,? ? ?平面 ?,? ?平面 ?又 ? 平面 ?,? ? ?(2) 四边形 ?是?平行四边形, ?/?又? ? ? 平面 ?,?平? 面 ?,? ?/平/? 面 ? 平面 ?平面 ?=? ?,? ? 平面 ?,? ?/?【考点】 两条直线垂直的判定 两条直线平行的判定 棱锥的结构特征【解析】(1) 连结 ?,?交?于?点?,则?为?的? 中点,证明 ?平面?得?出结论;(2) 证明 ?/平/?面 ?,?根据线面平行的性质得出结论;【解答】证明

15、: (1)连结?,?交?于?点 ?,则?为?的?中点,?= ?,? ?平面?,? ?平面 ?,? ? ?= ?,?,? ? ?平面 ?,? ?平面 ?又 ? 平面 ?,? ? ?(2) 四边形 ?是?平行四边形, ?/?又? ? ? 平面 ?,?平? 面 ?,? ?/平/? 面 ? 平面 ?平面 ?=? ?,? ? ? 平面 ?,? ?/?已知小明(如图中?所?示)身高 1.8米,路灯 ?高3.6米, ?,? ?均垂直于水平地面,分别与地面交于点?, ?点光源从点 ?发出,小明在地面上的影子记作?(1) 小明沿着圆心为 ?,半径为 3米的圆周在地面上走一圈,求 ?扫过的图形面积;?(2) 若?

16、= 3米,小明从 ?出发,以 1米/秒的速度沿线段 ?1?走到 ?1 ,?1?=? ?3?,且 ?1?= 10米 ?秒? 时,小明在地面上的影子长度记为?(?() 单位:米) ,求?(?的)表达式与最小值【答案】解: (1)由题意得 ?/?,?则? = ?= 1.8= 1,?= 3,? ? 3.6 2所以 ?=6 ,小明在地面上的影子 ?扫过的图形是圆环,其面积为 ?62 - ?3 2 = 27?(平方 米)(2) 设,经过 ?秒? ,小明走到了 ?0 处,身影为 ?0 ?02由(1)知?0?0? = ?= 12,即?0?0= 21 ?0?= ?,?所以?(?=) ?0?0= ?0?= ?2?

17、+ ?0?2 - 2?0?cos ?0?因为 ?= 3, ?1?= 10 ?0?=? ?1?=?3,所以 ?(?=) ?2?- 3?+ 9,0 ? 10, 即 ?(?=) (?- 3)2 + 27,所以当 ?= 3时, ?(?取) 得最小值为 3 32综上得: ?(?=) (?- 23)2 + 247,?(?取) 得最小值为【考点】平行线分线段成比例定理平行线等分线段定理余弦定理【解析】(1)由题意得 ?/?求?出 ?=6,小明在地面上的影子 ?扫过的图形是圆环,由 此能求出 ?扫过的图形面积1(2)经过 ?秒? ,小明走到了 ?0处,身影为 ?0?0求出 ?0 ?0= 12 ?0?= ?,?

18、从而 ?(?=) ?0?0= ?0?= ?2?+ ?0?2 - 20? ?0?cos ?0?由此能求出 ?(?的)表达 式与最小值【解答】 解: (1)由题意得 ?/?,? ? 1.8 1则? = ?= 1.8 = 1,?= 3,? ? 3.6 2 所以 ?=6 , 小明在地面上的影子 ?扫过的图形是圆环,其面积为 ?62 - ?3 2 = 27?(平方 米)(2) 设,经过 ?秒? ,小明走到了 ?0 处,身影为 ?0 ?0?0 ?02 ? 1 1由(1) 知?0?0? = ?= 12,即?0?0= 2 ?0?= ?,?所以?(?=) ?0?0= ?0?= ?2?+ ?0?2 - 2?0?c

19、os ?0?因为?= 3,?1?= 10, ?0?=? ?1?=? 3,所以 ?(?=) ?2?- 3?+ 9,0 ? 0) 的右焦点为 ?,?是椭 圆的左顶点,过原点的直线与椭圆交于?, ?两点(点 ?在第三象限) ,与椭圆的右准 4线交于点 ?已知 ?,垂足为 ?,且? ?= 4 ?23(1) 求椭圆 ?的离心率 ?;10(2) 若?+? ? ?=? 3 ?,求椭圆 ?的标准方程答案】?2解: (1)由题意得 ?2+(?+ 2 )?2?2 = 1, ?) 2 + ?22 ?) ?消去 ?并整理得 ?2 ?2 + ?+? ?2 = 0,?2?解得?1? = -?,?2 = - ?2?,所以

20、? = - ?2 (-?, ?0), ?2?= ? ? = ?=? ? ?243?2,?23?2 = 4所以?= 23(2) 由(1) 得?(- 23 ?-, 232 ?),右准线方程为 ?= 433 ?, 直线 ?的方程为 ?= 2?,所以 ?(43 ?4,6 ?),3313 4 62? ?=? 2 ?= 2 ? 3 ?= 22?2,? ?=? 2? ?=? ?|? ?| = 2? 3 ?=224 2 ?2 ,3 ? ,所以22?2 + 432 ?2 = 130 ?,1032 ?2 =3 3 3所以 ?= 2, ?= 22,?2 ?28+2椭圆 ?的标准方程为:120 ?,3【考点】 椭圆的

21、离心率 椭圆的定义 【解析】1)?2由题意得 ?2 +(?+?2?2 = 1? 2 2 ? 2?2?)2 + ?2 = ( ?2?)2,消去 ?并整理得?2?2 ?2 + ?+? ?2 = 0,解得 ?1? =-?,?2?2 = - ?2?,可得 ? = - ?2?,?= ?= ?2?= 43 ?2,即可得出由( 1)得?(- 32 ?-, 232 ?),右准线方程为 ?= 433 ?,直线?的方程为 ?= 2?,3 3 3可得?(433?4,361?),? ?=? 2 ? ?=3 4 6? ?=23? ?=? 2? ?=?|? ?| = 2?23 2 ?= 432 ?2,即可得出解答】?2解

22、: (1) 由题意得 ?2 +?2?2 = 1,? 22(?+ ) 2 + ?22 ?) ?消去 ?并整理得 ?2 ?2 + ?+? ?2 = 0,解得 ?1? = -?,?2?2 = - ?2 ,所以? =?2?2?(-?, ?0),?2 3 ,?2 = 4 ,?= ? ?= ?2?2?= 4 ?2,? ?23所以 ?= 32(2) 由(1) 得?(- 23 ?-, 232 ?),右准线方程为 ?= 433 ?, 直线 ?的方程为 ?= 2?,所以 ?(433 ?4,36 ?),? ?=? 12 ?= 23 ?436 ?= 22?2,2 24 2 2? ?=? 2? ?=? ?|? ?| =

23、 2? 3 ?= 3 ?2,2 4 2 2 1010 2 2 20所以 2 2?2 +?2 = ?,?2 = ?,3 3 3 3所以 ?= 2, ?= 22,?2 ?2椭圆?的标准方程为: ?2 + ?2 = 182已知各项均为正数的无穷数列 ?的前?项和为?,且满足 ?1= ?(其中?为常数) ?+1 = (?+ 1)? ?+ ?(?+ 1)(? ?) ,数列 ?满足?= ? +?+1 (?) (1) 证明数列 ? ?是等差数列,并求出 ? ?的通项公式;(2) 若无穷等比数列 ?满足:对任意的 ?,数列 ? ?中总存在两个不同的项 ?, ?(?, ? ?),使得?,求?的公比?【答案】解:

24、 (1)由?+1 = (?+ 1)? ?+ ?(?+ 1),?+1?+1 = ? + 1,?1? = ?,?1?= ?,1,?是以 ?为首项,以 1为公差的等差数列, ? = ?+ ?- 1 = ?- 1 + ?, ?= ?2 + (?- 1)?, ?-1 = (?- 1) 2 + (?- 1)(? - 1) , ,由 - 可得, ?= 2?+ ?- 2,当 ?= 1时也成立, ?-1 = 2(?- 1) + ?- 2 , ?- ?-1 = 2, ? ?是?为首项,以 2为公差的等差数列, ?= 2?+ ?- 2.?+12(2) 令 ?= ? = 数考查 ?= ?+ ?1?(? 1) 的单调性

25、,并求出其值域,即可得到?的值域,再由题意可得 + 2?-2+?,则数列 ?是递减数列,21 1) ,?=1 -1?2-1 ,?2 = ?2 ,1?= ?+ 1在 (1,?+ )单调递增,2 0, 若? 1,当? 1 + log ?1 + ?(?2?+2)时,有?= ?1? 2?-1 2 + ?(?4?+2),不符合 题意,舍去,若0 ? 1,当?1 + log ?2?+?22+?2?+?2时,有?= ?1?-1 ?-12 + ?(?4?+2)2,不 符合题意,舍去,故 ?= 1【考点】 利用导数研究函数的单调性 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式等差数列【解析】 (1)先根据数列的递推公

26、式可得 ?是以?为首项,以 1为公差的等差数列,即可求出?= ?2 + (?- 1)?,继而求出 ?= 2?+ ?- 2,根据等差数列的定义证明即可;?+1 2 2(2)?= ?+?1 = 1+ 2?-22+?,则数列 ?是递减数列,求出 1 0,再假设? 1,0 ? 1得到矛盾,即可求出 ?= 1【解答】解: (1)由?+1 = (?+ 1)? ?+ ?(?+ 1),?+1 ?+1?+ 1 ,?1? = ?,?1?1? = ?,1,?是以 ?为首项,以 1为公差的等差数列, ? = ?+ ?- 1 = ?- 1 + ?, ?= ?2 + (?- 1)?, ?-1 = (?- 1) 2 + (

27、?- 1)(? - 1) , ,由 - 可得, ?= 2?+ ?- 2,当 ?= 1时也成立, ?-1 = 2(?- 1) + ?- 2 , ?- ?-1 = 2, ? ?是?为首项,以 2为公差的等差数列, ?= 2?+ ?- 2.?+12(2)令?= ?+1 = 1+ 2?-22+?,则数列?是递减数列,21 1) ,1 ?2-112 0, 若? 1,当?1 + log?1 + ?(?2?+2)时,有?= ?1? 2?-1 2 + ?(?4?+2),不符合 题意,舍去,若0 ? 1,当?1 + log ?2?+?22+?2?+?2时,有?= ?1?-1 ?-12 + ?(?4?+2)2,不

28、 符合题意,舍去,故 ?= 1已知函数 ?(?=)ln?(?+?)2其中 ?为常数(1) 若 ?= 0,求函数 ?(?的) 极值; (2) 若函数 ?(?在) (0,?-?) 上单调递增,求实数 ?的取值范围;(3) 若 ?= -1 ,设函数 ?(?在) (0, ?1)上的极值点为 ?0?,求证: ?(?0?) ?)0,解得 0 ? ?,? 令 ?(? ?, 则 ?(?在) (0,?递) 增,在 (?,?+ 递)减,1故 ?(?极)大值 = ?(?)= 2?,无极小值 .(2) 解:函数 ?(?的) 定义域为 ?|? 0 且 ? -?(?)=?1+ ?-2ln?1?(?+?2) -ln?(2?

29、+2?)(?+?4)要使函数 ?(?在) (0,?-?)上单调递增,则 ? 0 , 又?(0,?-?) 时,? ?+ ? 1?时,函数 ?递增,当 0 ? 1?时,函数 ?递减, 当 -? 1?即- 1? ? 1?即? - 1?时,函数 ?在(0,?1?)?上单调递减,在 (1?,?-?)上单调递增,可得?ln( ?) - ?= - ?可得 ?-2?.(3) 证明:?= -1则 ?(?=)ln?(?-1) 2导数为 ? 1-2ln?-(=?) (?-1) 3?1?+2=+2试卷第 23 页,总 27 页设函数 ?(?在) (0, ?1)上的极值点为 ?0,1可得 1 - 2ln?0 - ? =

30、 0 ,1即有2ln?0 = 1- ?1?,ln?0要证?(?0?) -2 ,即(?0-1)0 2 + 2 0,由于 1- ?0 22(?0-1) 212?0(?0 -1)1-4? 0 +4?02(1-2? 0) 22?0 (?0 -1)2?0 (?0 -1)11由于?0? (0, ?1),且?0 = 21,2ln?0 = 1- ?不成立,ln?0(?0-1) 2+2 0,试卷第 34 页,总 27 页故 ?(?0?) ?)0,解得 0 ? ?,? 令 ?(? ?, 则 ?(?在) (0,?递) 增,在 (?,?+ 递)减,1故 ?(?极)大值 = ?(?)= 21?,无极小值 .(2) 解:

31、函数 ?(?的) 定义域为 ?|? 0 且 ? -?1?(?+?2) -ln?(2?+2?)?(?)= ?(?+?4)=?1+ ?-2ln? , (?+?3)要使函数 ?(?在) (0,?-?)上单调递增,则 ? 0 , 又?(0,?-?) 时,? ?+ ? 1?时,函数 ?递增,当 0 ? 1?时,函数 ?递减,11当 -? 1?即- 1? ? 1?即? - 1?时,函数 ?在(0,?1?)?上单调递减,在 (1?,?-?)上单调递增,可得?ln( ?) - ?= - ?,?可得 ?- 2?.(3) 证明:?= -1则 ?(?=)ln?(?-1) 2导数为 ? 1-2ln?-(=?) (?-

32、1) 31 ?,设函数 ?(?在) (0, ?1)上的极值点为 ?0,1可得 1 - 2ln?0 - = 0 ,即有2ln?0 = 1- ?,要证?(?0?) -2 ,即(?0-1)0 2 + 2 0, 1- 1由于 1- ?0 2 + 2 = 1 + 22(?0-1) 22?0(?0 -1)1-4? 0 +4?02(1-2? 0)2= 2?0 (?0 -1) = 2?0 (?0 -1) ,11由于?0? (0, ?1),且?0 = 2,2ln?0 = 1 - ?0?不成立,ln?0(?0-1) 2+ 2 0,故 ?(?0?) -2 成立【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做两

33、题,每小题 0 分,共计 20分,请 在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 选修 4-1 :几何证明选讲 在?中?, ?是边 ?上?一点,且 ?= 2?,?与? ?的?外接圆相切,求 ?的? 值【答案】解:记 ?外?接圆为圆 ?,?,? ?分? 别是圆 ?的切线和割线,所以 ?2?= ? ? 又 ?= ?,?所以 ? ?,? ?= ?=?所以(?)?2 =? ?=? ?= 3 ,?所以?=【考点】与圆有关的比例线段【解析】记?外?接圆为圆 ?,?,? ?分?别是圆 ?的切线和割线,从而 ?2?= ? ?进而? ?,?由此能求出解答】解:记 ?外?接圆为圆 ?,?,? ?分? 别是圆 ?的切线和割线,所以 ?2?= ? ?又 ?= ?,?所以 ? ?,?所以?=? ? ?2所以 (?)2 =? ?=? ?=3? ,所以 ?= 3 选修 4-2 :矩阵与变换 已知矩阵 ?= ?4? 21不存在逆矩阵,求:(1) 实数?的值;(2) 矩

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