高中数学新课排列、组合和二项式定理教案(14)

1、课题： 10 4 二项式定理 (二 )教学目的：1 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用；2. 展开式中的第r1项的二项式系数C nr 与第 r1项的系数是不同的概念教学重点： 二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点： 二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 二项式定理及其特例：（ 1） ( a b) nC n0anCn1an b LCnr an rbrL Cnnbn (n N ) ，（ 2） (1 x)n1 Cn1 x L Cnr xrL xn .2二项展开式的通项

2、公式： Tr 1Cnr an r br二、讲解范例：例 1（ 1）求 (12x)7 的展开式的第四项的系数；（ 2）求 ( x 1)9的展开式中x3的系数及二项式系数x解： (1 2x) 7 的展开式的第四项是T31C73 (2 x)3280x3， (1 2x)7 的展开式的第四项的系数是280 （ 2） ( x1)9 的展开式的通项是Tr1C9r x9 r (1 )r( 1)r C9r x9 2r ，xx 9 2r 3 ， r3， x3 的系数 (1)3C9384 ， x3 的二项式系数 C9384 例 2 求 (x 23x4)4 的展开式中 x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某

3、两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一） ( x23x4)4( x 23x)4 4C40 (x2 3x)4C41(x23x)34 C42 ( x23x)242C43 ( x23x) 43C44 44 ，显然，上式中只有第四项中含x 的项，展开式中含 x 的项的系数是C43 3 43768（法二）： (x 23x 4) 4( x 1)( x4) 4( x1) 4 ( x4) 4(C 40 x4C 41 x3C 42 x2C 43 x C 44 )(C40 x4C41 x3 4 C42 x2 42C

4、43x 43C44 44 )展开式中含 x 的项的系数是C43 44C43 43768 例 3已知 f (x)12x m14x n(m, nN * ) 的展开式中含x 项的系数为 36 ，求展开式中含x2 项的系数最小值分析： 展开式中含x2 项的系数是关于m, n 的关系式， 由展开式中含 x 项的系数为 36 ，可得 2m4n36 ，从而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解解： 12xm14xn展开式中含 x 的项为Cm12xCn14x (2Cm14Cn1 ) x (2Cm14C n1 )36，即 m2n18 ，1 2xmn展开式中含 x2 的项的系数为1 4xtCm2 22Cn2 42

5、2m22m 8n28n ， m2n18 ， m182n， t2(182n) 22(18 2n) 8n28n 16n2148n 61216(n237 n153) ，当 n37时， t 取最小值，但 nN * ，448 n5 时， t 即 x2 项的系数最小，最小值为272，此时 n5, m 8例 4已知 (x1)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，2 4x（ 1）证明展开式中没有常数项；（ 2）求展开式中所有的有理项解：由题意： 2Cn1 11Cn2(1 ) 2 ，即 n29n8 0 ， n8( n1舍去）228r8rrr163r0 r 8r1r1rr2x 4r C84 Tr 1x

6、()xC8( )C8 x1rZ24 x22r若 Tr1 是常数项，则163r0，即163r0，4 rZ ，这不可能，展开式中没有常数项；若 Tr1 是有理项，当且仅当16 3r为整数，4 0r8, r Z ， r0,4,8 ，即 展开式中有三项有理项，分别是：T1x 4 ， T535 x ， T91x 28256三、课堂练习 ：1 ( x2) 6 展开式中常数项是（）xA.第 4项B.24C64C.C 64D.22 (x 1) 11 展开式中 x 的偶次项系数之和是（）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243 (12) 7 展开式中有理项的项数是（）A.4B.5C.6D.74设

7、 (2x-3)4= a0a1 xa 2 x 2a3 x 3a4 x 4 ，则 a0+a1+a2+a3 的值为（）A.1B.16C.-15D.155 ( x 31 )11 展开式中的中间两项为（）xA.C115x12, C115x12 B. C116x9 ,C115x10 C.C115 x13 , C115x9D. C115x17 ,C115x136在 ( 2x1y) 7 展开式中， x5y2 的系数是37 C n03C1n32 Cn23n C nn8. (351) 20 的展开式中的有理项是展开式的第项59 (2x-1) 5 展开式中各项系数绝对值之和是10 (13x 3x 2x 3 ) 10

8、 展开式中系数最大的项是答案：C6r x 6r (2)r63 r31通项 Tr 1C6r x2 2r ，由 6r0r 4 ，常数项是x2T5 C64 24 ，选（ B）2 设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f (1) f (1)(2)11 / 21024，选 C2r3 通项 Tr 1C7r (2 )rC 7r 2 2，当 r=0 ， 2， 4， 6时，均为有理项，故有理项的项数为 4 个，选（ A）4. C5. C6.224 ;7.4n ;8 .3,9,15,2139(2x-1) 5 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5 展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 3510 (1+3x+3x 2+x3) 10=(1+x) 30 中 的 系 数 就 是 二 项 式 系 数 ， 系 数最 大 的 项 是T16= C1530 x 15 .四、小结 ： 1三项或三项以上的展开问题，