大学概率论习题五详解

1、精品文档正文：概率论习题五详解1、设 X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差 DX 均存在，证明对任意0,都有P XEXDX2证明设PXxipi i1,2,. 则P XEXP Xxixi EX22pixi EXxi EXxiEX2DXi2pi =22、设随机变量X 和 Y 的数学期望都是2，方差分别为 1和 4，而相关系数为0.5 ，请利用切比雪夫不等式证明：1PXY6。12证EXY0cov X , YDXDY1D X YDX DY2 cov X ,Y 5 2 3D XY1PXY6PXYEXY 621263、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04 的概率

2、不超过 0.01 ？解设 X n 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得P X n0.50.040.50.50.01nn 0.042从而有 n0.25156250.010.042即至少连抛 15625 次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于 0.04 的概率不超过0.01。4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知EX 80， DX25 ，（ 1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到 90分之间的概率范围； （ 2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到 85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？解 (1)由切比雪夫不等式P

3、 XEX1DX02又 P70X90P 70EXXEX 90EXP10XEX10=PX 80101250.75100即该生的数学考试成绩在70分到 90分之间的概率不低于 75%(2)设有 n 个学生参加考试 (独立进行 )，记第 i 个学生的成绩为X iii ,2.n ，则平均成绩.精品文档为 X1nXi ，又 EX1nEX i 80 , D X1 DX25ni 1ni 1nn125n1则由切比雪夫不等式可得：P75X85PX8051n52n要使上述要求不低于90%，只需 n10.9 ，解得 n 10，即有 10个以上的学生参加考试，就n可以达到要求。5、设 800台设备独立的工作，它们在同时

4、发生故障的次数X B800,0.01，现由 2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。2解P X21P X21C800i0.01i0.99800 ii0在二项分布表（附表1）中不能查出。np8 ，使用正态分布近似计算：X近似若使用正态分布近似计算：N 8,7.92 ,P X21P X21PX82.1327.922.1320.98346、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05 、 0.8、 0.15 。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1) 参加会议的家长

5、数X 超过 450的概率； (2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解 (1)以 X ii1,2.400表示第 i 个学生来参加会议的家长数，则Xi 的分布律为 :X i012pi0.050.80.15所以 EX i1.1， DX i0.19 ， i1,2.400400而 XX ii 1近似由中心极限定理知：X N 440,76P X45011.1470.1257(2) 以 Y 表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则Y B 400,0.8近似由中心极限定理知：Y N 320,64则 P Y3402.50.99387、射手打靶得 10分的概率为 0.5，得9分的概率为

6、0.3，得 8分、7分和 6分的概率分别 0 .1、0.05和0.05，若此射手进行 100次射击，至少可得 950 分的概率是多少？解 设 Xi 为射手第 i 次射击的得分，则有X i109876pi0.50.30.10.050.05.精品文档1009.15 ， EX 284.95 ， DX 1.2275且 XX i， EX ii 1由中心极限定理得：100950915PX i950 13.1590.00081001i 11.22758、某产品的不合格率为0.005，任取 10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？解依题意， 10000件产品中不合格品数X B 10000 ,0.005

7、 ，由 np 50 ，n 1 p5 ，故可用二项分布的正态近似，所求概率为P X7070502.83550.997750 10.0059、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只合格品的概率不小于0.95？解设 n为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X ，则有 X B n,0.99 ，该题要求n ，使得下述概率不等式成立。P X1000.95 或 P X1000.05利用二项分布的正态近似，可得：1000.99n0.051.6450.0099n因此， 1000.99 n1.6450.0099n解得， n103.19104只螺钉，才能使每盒含有 10

8、0只合格品的概率不小于 0.95。这意味着，每盒应装（ B）1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于 0.95。解：依题意，可建立如下概率不等式P PP0.10.95其中 P 是这实际的次品率， 如抽取 n 个产品则次品的频率Px1x2.xn ，由中心极限定理， P 近似服从正态分布：nN P, P 1 P / n 或 P P N 0, P 1 P / n从而有0.1 n10.950.975P 1P2查表可得：0.1n1.96 或n 19.6P 1PP 1P由于 P 未知，只得放大抽检量，用1/2代替P 1P，可得：n9.

9、8n 96 ，可见，需抽查 96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于0.95。2、假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200 件产品中有120 到 150件优质品的概率解记n 随机抽取的 200 件产品中优质品的的件数， 则 n 服从二项分布， 参数为 n=200，.精品文档p=0.60； np120， np(1p)48 由于 n=200 充分大，故根据棣莫佛- 拉普拉斯中心极限定理，近似地U nnnpn120；np(1p)48 N(0,1)P 120n 150P 0n 120150 1204848P 0U n4.33(4.33)(0)0.5 3、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，X1, X 2, X n 是独立与 X 同分布随机变量，证明：对任意0