工程力学第13章答案

1、1.25(b)2.0MPa,y 1.6 MPa,习题解答13-1木制构件中的单元体应力状态 如图所示，其中所示的角度为木纹方向与 铅垂线的夹角。试求：(1) 平行于木纹方向的切应力；(2) 垂直于木纹方向的正应力。 解：由图a可知0MPa习题13 - 1图(1)平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力15152 1.62 1.6cos2 ( 15 )1.97MPa2 22 1.6sin2 ( 15 ) 0.1MPa2(2)垂直于木纹方向的正应力757521.62 1.6 cos2 75 1.527MPa2 22 1.6 sin(2 75 ) 0.1MPa2由图b可知0,0,1

2、.25MPa(1)平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力15x sin 21.25 sin2( 15 )0.625MPa15x cos21.25 cos2 ( 15 )1.08MPa(2)垂直于木纹方向的正应力75xsin21.25 sin(2 75 )0.625MPa75xcos21.25 cos(2 75 )1.08MPa13- 2已知应力状态如图一所示(应力单位为 MPa),试用解析法计算图中指定截面 的正应力与切应力解：(a)已知 x 30MPa ,10MPa,20 MPa则由公式可直接得到该斜截面上的应力xyx2y小cos2x sin 2230103010cos(

3、2-)20sin(2 -)40MPa2244xysin 2x cos 230 10sin(2)20 cos(2 224410MPa10MPa,yx20 MPa(b)已知x 30MPa ,xyxy22301030 102(2xy2sin 2x已知x10MPa,则：xyxy22102010 2022xysin 2x21020sin2 ( 62则:cos 2cos(2cos2ycos 2cos2cos2(c)x sin 222.5 )2030 10220MPa,x sin 215sin(2 22.5 )12.93MPasin(2 22.5 )20x 15MPa60 )15cos2 (sin2 ( 6

4、0 )60cos(2 22.5 )21.21MPa6030.49MPa13- 3已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa）,试用图解法（应力圆）计算图中指定截面 的正应力与切应力。13- 4 已知应力状态如习题 13 - 2图所示4（应力单位为MPa）,计算图示应力状态中的主 应力及方位。(a)(b)习题13 - 3图解：（a）已知 x 30MPa,10MPa,20 MPa则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为：_.一一 厶一 -一蚣-2 X (-20)=30-1063.44=-口氐5肝_ ( 3L72ff_ -58.20=因为馅決，主应力：对应的方位角为 _ -.。13- 5试确定图示应

5、力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考 虑）。图中应力的单位为 MPa。解：J20204020(b)习题13 - 5图（C）(a)已知x 40MPa,y 20MPa,20 MPa则由公式可直接得到该单元体的主应力严工吟Xs40十20I 十）+4土40 205? 36主应力为： 汇1 一- 一一 -:-比tan2ccD =%一巧-2 x 20)刁=L4Q-20_ f-63.44pU16.56D-31.72cI 5828c因为匹声叫，主应力：对应的方位角为一-。(b)已知x 40MPa, y 20MPa, x 40 MPa则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为：-叫| - -_

6、- :一.一蚣-2 x -40)斗 =40+20 =3(5313B1-126.87*因为_，主应力I厂对应的方位角为 临- -O(c)已知x 20MPa , y 30MPa, x 20MPa则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为： _ _ -:-23 + 30137.016-27.016MPa-2t,-2 X (20)扫皿=丁示=-罚和=38.66:-141.34*aa_ 二 W -70.67-因为(%严-论，主应力：对应的方位角为选:乂寫:孑13- 6已知应力状态如图所示(应力单位为MPa),试画三向应力圆，求最大切应力。如图。最大切应力分别为:(T13- 7已知应力状态如图所示，试画三

7、向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单 位为MPa）。5060/170 /20(b)习题13-7图解：图a为三向主应力状态(T. ，应力圆如图（a）。听=&OMPa,（F2 = SOMPa.a；图b 一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应 力。于是有莊i勾20MP&巧=40MPa* 和吐其应力圆如图（b）。13 - 8图示悬臂梁，承受荷载F = 10KN作用，试求固定端截面上A、B、C三点最大切应力值及作用面的方位。解：固定端截面的弯矩40MPalf = FxJ=10x2 = 20kK- M ,剪F = 1OMMOriirarBiiia2m截面a点的应力:即4

8、 (0.8788)3则FAa30_ ,其应力状态为单向应力状态,is uaiKio 主应力: 一一。一一 ，最大切应力作用面的方位为- . 截面b点的应力:a obas.-sixio- 一一一 -=：,其应力状态为平面应力状态，即求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即r-i.72fl83.20f-3.43B_叫 = ObOfi$ 2aa = tr299= .： = . .-=? =r，其应力状态为纯剪切应力状态,一- - _一 二- .一，最大切应力作用面的方位为-表面A点处测得与轴线成30方向的线应解：1、A点对应的横截面上只有正应力，即3、由斜截面应力计算公式有= cosa 二 3.

9、185)( 3.53 = 0.79625103、根据广义胡克定律有29,29 丁土-14.62住 1 = -L720 a 眄三叫 44印=43.28p截面c点的应力:习题13-9图cr!0= =3.185 x 74= 2389MPtr13- 9空心圆杆受力如图所示。已知F=20kN , D=120mm , d = 80mm，在圆轴 F变 80 = 1.022 x 10 5，弹性模量 E=210GPa,2 ： ； 02、取A点的单元体试求泊松比则13-10 在其本身平面内承受荷载的铝平习题13 - 10图扳，巳知在板平面内的主应变为q = 3.5X 104, =-5.4 X 10-4其方向如图

10、13- 1 0 所示。铝的E=70 GPa, v= 0.33,试求应力分量cr、宵及t。解：由题意可知该应力状态为平面应力状态， 根据广义胡克定律有一 ；:：； ：代入3 5X IO4 X 70 X 10 =-0.33ct?-5.4 XlO4 X70 X109 = -0.33得一-利用斜截面应力公式网 “、.一.亠HZ工及 - 得咚-13- 11已知各向同性材料的一主应力单元体的r = 30MPa , r= 15MPa , =-5MPa ,材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比v 0.25。试求该点得主应变。解:直接应用广义胡克定律即可求出。11455-(01- v ( 02o) ) 1

11、.375 10 ;2 4.375 10 ; 3 -8.125 1013-12图示矩形板，承受正应力o与o作用，试求板厚的改变量3与板件的体积改变 V。已知板件厚度 S= 10mm，宽度b = 800mm，高度h = 600mm，正应力 仅=80MPa , cy= -40MPa，材料为铝，弹性模量E = 70GPa，泊松比 v = 0.33。解：由广义胡克定律即可求出1 1r- 乂 roy) -3Ex y 70 1030.33(80 40)1.886体应变1.88610 4101.886 10 3 mm1 2 O；3。40)1.94370 103104o101111 r 4 丁* 4|1-1-t

12、 r f 111 v r 1 J 11,b.板件的体积改变量43V V 1.943 10800 600 10932.57mm13 - 13 如图所示，边长为20cm均 质材料的立方体，放入刚性凹座内。顶 咅B受轴向力 F = 400kN作用。已知材料 的 E = 2.6 x 10MPa, v 0.18。试求下列 两种情况下立方体中产生的应力。(1)凹座的宽度正好是20cm；(2)凹座的宽度均为 20.001cm。习题13 - 13图解：(1)根据题意立方体两水平方向的变形为零,0为变形条件，由广义胡克定律得1勺)x x vE切1y E y 乂 z上式解出式中y 1400 1030.2 0.21

13、0MPa。代入数据,(2)根据题意立方体两水平方向的变形为0.18 “101 0.180.001cm,2.195MPa应变迴 5.0 10-520，由广义胡克定律得1xV oz闪)1y E oy 乂 oz氐)式中400 1030.20.210MPa。上式解出5.05.010-510-55.010 5zE。代入数据，得5.0 10 501810 2.6 1042.854MPa1 0.1813- 14已知如图所示受力圆轴的直径d = 20m m,若测得圆轴表面 A点处与轴线 45方向的线应变 = 5.20X 10-4，材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比 v 0.3。试求外 力偶矩Me。解

14、：A点应力状态为纯剪切状态，故45方向为主应力3）甘（15.20 10 4得 80MPa。对于扭转是A点的切应力M e 则W P ，则WP 80 106D316的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。E=210GPa , v0.3。试问其体积减少多少？解：根据题意有Me125.6kN m13 - 15 一直径为 25mm设钢球的3 -14MPa体应变3)1 2 0? 3 14 -8.0 105210 103体积改变量V V 8.0 100.65417mm3解:r1r2r3r413- 16设 V 0.3。（a）由题图可知20MPa;(23 20四强度理论的相当应力值,试对图示三个单元体写出第一

15、、(b)(c)3)30习题13 - 16图20MPa, 2 10MPa, 30.3(10 30) 26MPa;50MPa;12)2( 23)2( 3(b)已知云 30MPa ,5 20MPa,30MPaJ245.83MPaT 10 MPa31.93MPa, 2OMPa, 321.93MPar1131.93MPa;r21(23)31.930.3(0 21.93)38.51MPa;r31331.9321.9353.86MPa;r4；(1 2)2(22 23)2(31)246.91MPar1r2r3r415MPa,OMPa, xy20MPa1 20MPa, 2 15MPa, 31 20MPa;20M

16、Pa1( 23) 20 0.3(15 20) 21.5MPa;1320 20 40MPa;；(12)2 ( 23)2 ( 31)2 37.75MPa则由公式可直接得到该单元体的主应力13- 17有一铸铁制成的零件。已知危险点处的应力状态如图所示。设材料的许用拉应力田=30MPa，许用压应力cc= 90MPa,泊松比 尸0.25。试用第一和第二强度理论校核 其强度。|-7040单位：MPa习题13 - 17图(a)(b)习题13 - 18图(c)由题图可知13- 18 一工字钢制成的简支梁，受力如图a所示。其截面尺寸见图b。材料的(J= 170MPa, T= 100MPa，试校核梁内的最大正应力

17、和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上 A点的强度。解：(1)横截面的几何性质132413434Iz 2 (240 203 240 20 4102)mm48003 10mm4 2.04 10 3m412 12Sz,max 240 20 410mm3 400 10 200mm3 2.77 10 3m3(2) 作简支梁的剪力图和弯矩图。Fs,max710kN, M max 870kN m(3) 梁内跨中截面上下边缘有最大正应力为maxmax y max870 103 0.422.04 10179MPa(4) 梁内支座处截面的中性轴上有最大切应力为maxFs,maxSz,max710 1032

18、.77 10 3I zb2.04 10 3 10 10 396.4MPa (5)梁内集中力作用处左侧截面上的剪力和弯矩为Fsc左 670kN, M c 690kN m该截面上A点的应力为M c yc3690 100.4135MPa2.04 10F SC左 SzIzb670 103240 20 410 102.04 1010 1064.6MPaA点的主应力为135264.62161MPa25.9MPa由第四强度理论&6122 2(25.9) (16125.9)175MPa为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用。若已知容器平均直径D = 500 mm ,壁厚d= 10因此，梁是安全的。13- 1

19、9图所示为承受内压的薄壁容器。 电阻应变片测得环向应变$= 350 X 10, mm，容器材料的 E = 210 GPa, v 0.25。试:(1) 导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式;(2) 计算容器所受的内压力。13-1(ra= -1.773 MPa , t= 0 .1 MP13-2(a) ca= 40.3 MPa,t= 14 MPa。(b) a -38.2 MPa,T= 0。(c) a 0.49 MPa ,T= -20.5 MPa。(d)防 35.8 MPa ,T= -8.66 MPa。13-3(a) (ra= 10 MPa ,T= 15 MPa。(b) a 47.3 MPa ,T=

20、 -7.3 MPa。13-5(a) 5= 52.4 MPa ,5= 7.64 MPa ,5= 0 , a =-31.8(b) 5= 11.23 MPa,5= 0 , 5=-71.2 MPa , a =52.2(c)5= 37 MPa ,(2= 0 ,5=-27 MPa 0 , a =70.513-7(a)5= 60 MPa ,5= 50 MPa , 5= -70MPa , Tax =65MPa(b) 5= 40 MPa ,5= 20 MPa , 5=-40 MPa , Tax =40MPa13-8Tmax =10MPa , a;=45 13-9v 0.313-105= -22. 8MPa5= -0 .