连续性方程 伯努利方程及其应用（经典实用）

1、(5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 2016年年 3 月月 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用2 第一章 流体流动 1.1 1.1 概述概述 1.2 1.2 静力学基本方程静力学基本方程 1.3 1.3 流体流动的基本方程流体流动的基本方程 1.4 1.4 流体流动现象流体流动现象 1.5 1.5 流体在管内的流动阻力流体在管内的流动阻力 1.6 1.6 管路计算管路计算 1.7 1.7 流量测量流量测量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 第一章第一章 流体流动流体流动 概述概述 研 究 流 体研 究 流 体 流动过程中流动过程中 流速、压强和

2、安装高度等流速、压强和安装高度等 能量损失和对流体提供能量能量损失和对流体提供能量 化学化学 工程工程 重要重要 问题问题 流体流体 在管内流动在管内流动 一维流动一维流动 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 第一章第一章 流体流动流体流动 1.3 1.3 流体流动的基本方程流体流动的基本方程 1.3.1 1.3.1 流量与流速流量与流速 1.3.2 1.3.2 定态流动与非定态流动定态流动与非定态流动 1.3.3 1.3.3 连续性方程式连续性方程式 1.3.4 1.3.4 能量衡算方程式能量衡算方程式 1.3.5 1.3.5 伯努利方程式的应用伯努利方程式的应用 (5,6)

3、1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 一、流量与流速一、流量与流速 1、流量、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 体积流量VS；单位为：m3/s。 质量流量WS；单位：kg/s。 体积流量和质量流量的关系是： SS VW (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 流量与流速的关系为： uAVSuAWS 质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量 用G表示，单位为kg/(m2.s)。 u A W G s A VS 单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。 单位为：m/s。 A V u S 2 2、流速、流速 一、流量与流速一、流量与流速 (5,6)1

4、.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 二、定态流动与非定态流动二、定态流动与非定态流动 流动系统流动系统 定态流动定态流动流动系统中流体的流速、压强、流动系统中流体的流速、压强、 密度等有关物理量仅随位置而改密度等有关物理量仅随位置而改 变，而不随时间而改变变，而不随时间而改变 非定态流动非定态流动上述物理量不仅随位置而且随时间上述物理量不仅随位置而且随时间 变化的流动。变化的流动。 示意图 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 二、定态流动与非定态流动二、定态流动与非定态流动 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 二、定态流动与非定态流动二、定态流动与非定态流动

5、 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 三、连续性方程三、连续性方程 依依 据：物料衡算据：物料衡算 条条 件：定态流动系统件：定态流动系统 21 SS WW (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 推推 导：导： 衡算范围：取管内壁截面衡算范围：取管内壁截面1-1与截面与截面2-2间的管段。间的管段。 衡算基准：衡算基准：1s 对于连续定态系统：对于连续定态系统： uAWs 222111 AuAu 三、连续性方程三、连续性方程 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有： 常数uAAuAuWS 222111 若流体

6、为不可压缩流体 常数uAAuAu W V S S 2211 一维定态流动的连续性方程一维定态流动的连续性方程 表明：在定态流动系统中，流量一定时，表明：在定态流动系统中，流量一定时， 管路各截面上流速的变化规律管路各截面上流速的变化规律 三、连续性方程三、连续性方程 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 （1）对于圆形管道，管径计算式 2 22 2 11 44 dudu 2 1 2 2 1 d d u u 表明：当体积流量表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。的平方成反比。 推推 论：论： u V d S 4 2 4

7、d V u S 2 4 dA 管道直径的计算式管道直径的计算式 思考：生产实际中，管道直径应如何确定？思考：生产实际中，管道直径应如何确定？ (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 四、能量衡算方程式四、能量衡算方程式 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 能量种类 机械能、内能 电能、核能等 在流动体系 中主要表现 机械能 内能（热） 动能 位能 压力能 (功) 特点 相互转变 不能直接转变成输送流体的机械能 要寻求一个过程中所发生要寻求一个过程中所发生 各种形式能量之间的转化各种形式能量之间的转化 关系需要进行关系需要进行能量衡算能量衡算 相互转变 特点 遵循能量

8、守恒定律遵循能量守恒定律 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 1）流体本身具有的能量）流体本身具有的能量 单位质量流体的内能以单位质量流体的内能以U表表 示，单位示，单位J/kg。 内能：内能： 条件：定态流动条件：定态流动 物质内部能量的总物质内部能量的总 和称为内能。和称为内能。 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 质量为质量为m流体的位能流体的位能 ) J (mgZ 单位质量流体的位能单位质量流体的位能 流体因处于重力场内而具有的能量。流体因处于重力场内而具有的能量。 位能：位能： 流体以一定的流速流动而

9、具有的能量。流体以一定的流速流动而具有的能量。 动能：动能： 质量为质量为m，流速为流速为u的流体所具有的动能的流体所具有的动能 )( 2 1 2 Jmu 单位质量流体所具有的动能单位质量流体所具有的动能 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 )J/kg(gZ )J/kg( 2 1 2 u (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 静压能（流动功）静压能（流动功） 通过某截面的流体具有的用于通过某截面的流体具有的用于 克服压力功的能量克服压力功的能量 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 流体在截面处所具有的压力流体在截面处所具有的压力 pAF 流体通过截

10、面所走的距离为流体通过截面所走的距离为 AVl/ (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 流体通过截面的静压能流体通过截面的静压能 Fl A V pA)(JpV 单位质量流体所具有的静压能单位质量流体所具有的静压能 单位质量流体本身所具有的总能量为单位质量流体本身所具有的总能量为 ： )/( 2 1 2 kgJpvugzU 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 )J/kg(pv m V p (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 单位质量单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为流体通过划定体积的过程中所吸的热为 qe(J/kg)； 质量为质量为m的流体所

11、吸的热的流体所吸的热=mqeJ。 当流体当流体吸热时吸热时qe为正为正，流体，流体放热时放热时qe为负为负。 热：热： 2）系统与外界交换的能量）系统与外界交换的能量 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 单位质量流体通过划定体积的过程中接受的功为：单位质量流体通过划定体积的过程中接受的功为：We(J/kg) 质量为 质量为m的流体所接受的功的流体所接受的功= mWe (J) 功：功： 流体接受外功时，接受外功时，We为正，向外界做功时为正，向外界做功时, We为负为负。 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 流体

12、本身所具有能量以及热和功就是流动系统的总能量流体本身所具有能量以及热和功就是流动系统的总能量。 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 3）总能量衡算）总能量衡算 衡算范围：截面衡算范围：截面1-1和截面和截面2-2间的管道和设备。间的管道和设备。 衡算基准：衡算基准：1kg流体。流体。 设1-1截面的流体流速为u u1 1， 压强为P P1 1，截面积为A A1 1，比容为 v v1 1； 截面2-2的流体流速为u u2 2， 压强为P P2 2，截面积为A A2 2，比容为 v v2 2。 取o-o为基准水平面，截 面1-1和截面2-2中心与基准 水平面的距离为Z Z1 1，Z

13、 Z2 2。 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 对于定态流动系统：输入能量=输出能量 22 2 2 2211 2 1 11 22 vp u gZUWqvp u gZU ee 12 UUU令 12 gZgZZg 222 2 1 2 2 2 uuu 1122 vpvppv ee Wqp u ZgU 2 2 定态流动过程的总能量衡算式定态流动过程的总能量衡算式 1 1、流体流动的总能量衡算、流体流动的总能量衡算 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 2 2、流动系统的机械能衡算式、流动系统的机械能衡算式柏努利方程柏努

14、利方程 pdvqU v v e 2 1 e q 流体与环境所交换的热流体与环境所交换的热 阻力损失：机械能转换成热能，不能用于流体输送阻力损失：机械能转换成热能，不能用于流体输送 f h fee hqq 即： pdvhqU v vfe 2 1 条件：定态流动条件：定态流动 1 1）流动系统的机械能衡算式）流动系统的机械能衡算式 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 中，得：代入 ee Wqpv u ZgU 2 2 fe v v hWpdvPv u Zg 2 1 2 2 代入上式得： fe p p hWvdp u Zg 2 1 2 2 流体在定态流动过程中的机械能衡算式流体在定态流

15、动过程中的机械能衡算式 vdppdvpdp p p v v 2 1 2 1 2 1 2 2、流动系统的机械能衡算式、流动系统的机械能衡算式柏努利方程柏努利方程 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 2）柏努利方程（）柏努利方程（Bernalli） 12 2 1 ppvvdp p p p 条件：定态流动条件：定态流动 不可压缩不可压缩 fe hW pu Zg 2 2 , 12 ZZZ将, 222 2 1 2 2 2 uuu 12 ppp 代入： fe h pu gZW pu gZ 2 2 2 2 1 2 1 1 22 2 2、流动系统的机械能衡算式、流动系统的机械能衡算式柏努利方程

16、柏努利方程 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 对于理想流体，当没有外功加入时对于理想流体，当没有外功加入时We=0 2 2 2 2 1 2 1 1 22 pu gZ pu gZ 柏努利方程柏努利方程 2 2、流动系统的机械能衡算式、流动系统的机械能衡算式柏努利方程柏努利方程 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 即：上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。 1） 对理想流体 无外功加入 0 e W 0 f h cons pu gZE 2 2 即：1kg理想流体在没外功

17、加入时，各截面上的总机械能理想流体在没外功加入时，各截面上的总机械能 相等相等，但各种形式的机械能却不一定相等，可以相互转换。 2） 实际流体 0 f h 无外功加入 0 e W 21 EE (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 流体在管道流动时的压力变化规律 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 3）式中各项的物理意义）式中各项的物理意义 We和hf： We：输送设备对单位质量流体所做的有效功， Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即功率 VWWWN sesee 截面上流体本身具有的能量 、zg、 2 2 u p

18、截面间流体所获得或消耗的能量 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 4）流体静止时）流体静止时 2 2 1 1 p gz p gz 即：流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例 0, 0, 0 ef Whu 5）柏努利方程的不同形式）柏努利方程的不同形式 a) 若以单位重量的流体为衡算基准若以单位重量的流体为衡算基准 g h g p g u Z g W g p g u Z f e 2 2 2 2 1 2 1 1 22 g h H g W H f f e e , 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 (5,6)1.3 连续性方程 伯努

19、利方程及 其应用 fe H g p g u ZH g p g u Z 2 2 2 2 1 2 1 1 22 m 、Z 、 g u 2 2 、 g p f H 位压头，动压头，静压头、位压头，动压头，静压头、 压头损失压头损失 He：输送设备对流体所提供的有效压头输送设备对流体所提供的有效压头 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 b) 若以单位体积流体为衡算基准若以单位体积流体为衡算基准 静压强项静压强项P可以用可以用绝对压强绝对压强值代入，也可以用值代入，也可以用表压强表压强 值代入值代入 fe hp u gZWp u gZ 2 2

20、2 21 2 1 1 22 pa 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的 绝对压强绝对压强变化小于原来压强的变化小于原来压强的20%，时即：%20 1 21 p pp 仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间 流体的流体的平均密度平均密度m代替代替 。 3、柏努利方程式的讨论、柏努利方程式的讨论 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 五、柏努利方程式的应用五、柏努利方程式的应用

21、1 1、应用柏努利方程的注意事项、应用柏努利方程的注意事项 1 1）作图并确定衡算范围）作图并确定衡算范围 根据题意根据题意画出流动系统的示意图画出流动系统的示意图，并，并指明流体指明流体 的流动方向，定出上下截面的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的，以明确流动系统的 衡算范围。衡算范围。 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 2 2）截面的选取）截面的选取 两截面都应与两截面都应与流动方向垂直流动方向垂直，并且两截面的，并且两截面的流流 体必须是连续的体必须是连续的，所求得，所求得未知量应在两截面或两截未知量应在两截面或两截 面之间面之间，截面的有关物理量，截面的有关物理

22、量Z Z、u u、p p等除了所求的等除了所求的 物理量之外物理量之外 ，都必须是，都必须是已知的已知的或者可以通过其它或者可以通过其它 关系式计算出来。关系式计算出来。 1 1、应用柏努利方程的注意事项、应用柏努利方程的注意事项 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 3 3）基准水平面的选取）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与必须与 地面平行，地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过为了计算方便，通常取基准水平面通过 衡算范围的两个截面中的衡算范围的两个截面中的任意一个截面任意一个截面。如。如衡算范衡算范 围为水

23、平管道，则基准水平面通过管道中心线，围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线， Z=0=0。 1 1、应用柏努利方程的注意事项、应用柏努利方程的注意事项 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 4 4）单位必须一致）单位必须一致 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算 成成一致的单位一致的单位，然后进行计算。两截面的，然后进行计算。两截面的压强除要压强除要 求单位一致外，还要求表示方法一致。求单位一致外，还要求表示方法一致。 1 1、应用柏努利方程的注意事项、应用柏努利方程的注意事项 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用

24、2、柏努利方程的应用、柏努利方程的应用 例：例：20的空气在直径为的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路的水平管流过，现于管路 中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银 U管压差计，在直径为管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水的喉径处接一细管，其下部插入水 槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差管压差 计读数计读数R=25mm，h=0.5m时，时，试求此时空气的流量为多少试求此时空气的流量为多少 m3/h?当地大气压强为当地大气压强为10

25、1.33103Pa。 1）确定流体的流量）确定流体的流量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 分析：分析： 2 4 3600duVh 求流量Vh 已知d 求u 直管 任取一截面 柏努利方程 气体 判断能否应用？ 1）确定流体的流量）确定流体的流量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 解：取测压处及喉颈分别为截面解：取测压处及喉颈分别为截面1-1 和截面 和截面2-2 截面截面1-1 处压强 处压强 ： gRP Hg 1 截面截面2-2处压强为处压强为 ： ghP 2 流经截面流经截面1-1 与 与2-2 的压强变化为： 的压强变化为： )3335101330(

26、)490510330()3335101330( 1 21 P PP 025. 081. 913600 表压）(3335Pa 5 . 081. 91000表压）(4905Pa 079. 0%9 . 7%20 1）确定流体的流量）确定流体的流量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 在截面在截面1-1 和 和2-2 之间列柏努利方程式。 之间列柏努利方程式。以管道中心以管道中心 线作基准水平面。线作基准水平面。 由于两截面无外功加入，由于两截面无外功加入，We=0。 能量损失可忽略不计能量损失可忽略不计hf=0。 柏努利方程式可写为：柏努利方程式可写为： 2 2 2 2 1 2 1

27、1 22 Pu gZ Pu gZ 式中：式中： Z1=Z2=0 P1=3335Pa（表压）表压） ，P2= - 4905Pa（表压表压 ） 0 0 4 .22TP PTM m m 1）确定流体的流量）确定流体的流量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 101330293 )49053335(2/1101330273 4 .22 29 3 /20. 1mkg 2 . 1 4905 220. 1 3335 2 2 2 2 1 uu 化简得： (a) 13733 2 1 2 2 uu 由连续性方程有： 2211 AuAu 2 2 1 12 d d uu 2 1 02. 0 08. 0

28、 u 1）确定流体的流量）确定流体的流量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 (b) 16 12 uu 联立(a)、(b)两式 137336 2 1 2 1 uu smu/34. 7 1 1 2 1 4 3600udVh 34. 708. 0 4 3600 2 hm /8 .132 3 1）确定流体的流量）确定流体的流量 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 例：例：如本题附图所示，密度为如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入的料液从高位槽送入 塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81103Pa

29、 ，进料量为进料量为5m3/h，连接管直径为连接管直径为 382.5mm，料液在连接管内流料液在连接管内流 动时的能量损失为动时的能量损失为30J/kg(不包括出不包括出 口的能量损失口的能量损失)，试求，试求高位槽内液面高位槽内液面 应为比塔内的进料口高出多少？应为比塔内的进料口高出多少？ 2 2）确定容器间的相对位置）确定容器间的相对位置 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 分析：分析： 解：解：取高位槽液面为截面1-1，连接管出口内侧为截面 2-2,并以截面2-2的中心线为基准水平面，在两截面间 列柏努利方程式： 高位槽、管道出口两截面 u、p已知 求求Z 柏努利方程 f

30、e h pu gZW pu gZ 2 2 2 2 1 2 1 1 22 2 2）确定容器间的相对位置）确定容器间的相对位置 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 式中：式中： Z2=0 ；Z1=? P1=0(表压表压) ； P2=9.81103Pa(表压）表压） A V u S 2 由连续性方程由连续性方程 2211 AuAuA1A2, We=0 ， kgJh f /30 2 4 d VS 2 033. 0 4 3600 5 sm/62. 1 u1P3P4 ，而P4P5P6，这是由于流 体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。 4) 确定管路中流体的压强确定管路中流体的压强

31、(5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 在在453mm的管路上装一文丘里管，文丘里管上游接一的管路上装一文丘里管，文丘里管上游接一 压强表，其读数为压强表，其读数为137.5kPa，管内水的流速管内水的流速u1=1.3m/s，文丘文丘 里管的喉径为里管的喉径为10mm，文丘里管喉部一内径为文丘里管喉部一内径为15mm的玻璃管的玻璃管 ，玻璃管下端插入水池中，池内水面到管中心线的垂直距离，玻璃管下端插入水池中，池内水面到管中心线的垂直距离 为为3m，若将水视为理想流体，试若将水视为理想流体，试判断池中水能否被吸入管中判断池中水能否被吸入管中 ？若能吸入，再求每小时吸入的水量为多少？若

32、能吸入，再求每小时吸入的水量为多少m3/h？ 5 5）流向的判断）流向的判断 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 分析： 判断流向比较总势能 求P ？ 柏努利方程 解：在管路上选1-1和2-2截 面，并取3-3截面为基准水平面 设支管中水为静止状态。在1-1截面和2-2截面间列柏努 利方程： 2 2 2 2 1 2 1 1 22 Pu gZ Pu gZ 5 5）流向的判断）流向的判断 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 式中： mZZ3 21 smu/3 . 1 1 sm d d uu/77.19) 10 39 (3 . 1)( 22 2 1 12 表压）(10

33、5 .137 5 1 PaP 22 2 2 2 112 uuPP 2 77.19 2 3 . 1 1000 105 .137 223 kgJ /08.57 5 5）流向的判断）流向的判断 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 2-2截面的总势能为 2 2 gZ P 381. 908.57kgJ /65.27 3-3截面的总势能为 0 0 gZ P 3-3截面的总势能大于2-2截面的总势能，水能被 吸入管路中。 求每小时从池中吸入的水量 求管中流速u 柏努利方程 在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式： 0 5 5）流向的判断）流向的判断 (5,6)1.3 连续性方程 伯努利方程及 其应用 22 2 22 2 3 2 1 3 uP gZ Pu gZ 式中： ，mZ0 3 mZ3 2