条件概率ppt（经典实用）

1、一、条件概率一、条件概率 二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式 三、小结三、小结 1.4 1.4 条件概率条件概率 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 . )( )( )|( , 0)(, 条条件件概概率率发发生生的的发发生生的的条条件件下下事事件件为为在在事事件件 称称且且是是两两个个事事件件设设 AB BP ABP BAP BPBA 1. 定义定义1.8 AB AB 一、条件概率一、条件概率 );()()()( ) 3( 212121 BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 则有则有件件 是两两不相容的事是两两不相容的事设设可加可列性可加可

2、列性 , ,A,A:)5( 21 . )BA(PBAP 1i i 1i i 2. 性质性质 ; 1)(0:) 1 ( BAP有有界界性性 0)B|(PBP 1,)(2)规规范范性性 例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问 “掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解解: )( )( )|( BP ABP BAP 解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点 应用定义应用定义 2 1 366 363 则则有有且且, 0)( 121 n AAAP , 2, 21 nnAAA n 个个事

3、事件件为为设设推推广广 则则有有且且为为事事件件设设, 0)(, ABPCBA ()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB ).()()(, 0)(APABPABPAP 则则有有设设 3. 3. 乘法定理乘法定理 )( )()()()( 121 21312121 nn n AAAAP AAAPAAPAPAAAP 例例2 一盒子装有一盒子装有4 只产品只产品,其中有其中有3 只一等品只一等品,1只只 二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放回作不放回 抽样抽样.设事件设事件A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品” ,事件事件

4、B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”,试求条件概试求条件概 P(B|A). 解解.4;3, 2, 1,号为二等品号为二等品为一等品为一等品将产品编号将产品编号 则试验的样本空间为则试验的样本空间为号产品号产品 第第号号第二次分别取到第第二次分别取到第表示第一次表示第一次以以 , ),( j 、i、ji ),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4( , )4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1 (),3 , 1 (),2 , 1( ),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3( ),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 ,

5、1(),2 , 1( A ),2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1( AB 由条件概率的公式得由条件概率的公式得 )( )( )( AP ABP ABP 129 126 . 3 2 例例3 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为 0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个 20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是 多少多少? 设设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件的事件; B 表表 示示 “ 能

6、活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件, 则有则有 , 8 . 0)( AP因为因为 . )( )( )( AP ABP ABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP . 2 1 8 . 0 4 . 0 )( )( )( AP ABP ABP 所以所以 解解 例例4 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有” 字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次抓取五人依次抓取, 问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相 同同? 解解 . 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i则有则有, 5 2 )( 1 AP )()( 22 APAP)( 112 A

7、AAP 抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? ,的事件的事件人抓到有字阄人抓到有字阄第第表示表示设设iAi )()()( 213121 AAAPAAPAP )()()( 213121 AAAPAAPAP )()()( 213121 AAAPAAPAP 3 2 4 2 5 3 3 1 4 2 5 3 3 1 4 3 5 2 , 5 2 依此类推依此类推. 5 2 )()( 54 APAP 故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关. ., ,2 ;, 2 , 1,1 , , 21 21 0 0 21 的的一一个个划划分分为为样样本本空空间间则则称称 若若的的一一组组事事件件为为 的的样样本本空空间间为为

8、试试验验设设定定义义 n n ji n AAA AAA njiAA E AAAE 1. 样本空间的划分样本空间的划分 1 A 2 A 3 A n A 1n A 二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式 2. 全概率公全概率公 式式 全概率公式全概率公式 )|()( )()|( )()|()()|()( ), 2 , 1( 0)(, , 1 2211 21 i n i i nn in ABPAP APABP APABPAPABPBP ni APAAA EBE 则则 且且的的一一个个划划分分为为 的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义 ji AA由由)( ji B

9、ABA )()()()( 21n BAPBAPBAPBP 图示图示 B 1 A 2 A 3 A 1n A n A 证明证明 . 21n BABABA 化整为零化整为零 各个击破各个击破 )( 21n AAABBB )|()( )|()()|()()( 2211 nn ABPAP ABPAPABPAPBP 说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件 的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终 结果结果. B 1 A 2 A 3

10、 A 1n A n A 例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产 的占的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”, . 3 , 2 , 1, iiBi厂的产品厂的产品任取一件为任取一件为为为事件事件 123 ,BBB 解解 . 3 , 2 , 1, jiBB ji 由全概率公

11、式得由全概率公式得 , 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)( 321 BPBPBP 30% 20% 50% 2% 1% 1% 112233 ( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)( 321 BAPBAPBAP 112233 ( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B P ABP B P AB故故 称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯资料贝叶斯资料 .

12、, 2 , 1, )()|( )()|( )|( ), 2 , 1(0)( , 0)(, , 1 21 ni APABP APABP BAP niAP BPAAA EBE n j jj ii i i n 则则 且且的的一一个个划划分分为为 的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义 证明证明 )B(P )A(P)A|B(P )BA(P ii i ., 2 , 1ni 证毕证毕 n 1j jj ii )A|B(P)A(P )A|B(P)A(P ; ,)1( . , 05. 0 80. 0 15. 0 03. 0 01. 0 02. 0 3 2 1 :. 概率概率 求它是次品的求

13、它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只 无区别的标志无区别的标志 且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在 提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂 的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的 的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例2 2 . , ,)2( 别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分 求此次品出由求此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品 若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一

14、只在仓库中随机地取一只 解解 ,取取到到的的是是一一只只次次品品表表示示设设 A .家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i )3 , 2 , 1( iBi ,的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间则则 321 BBB ,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)( 321 BPBPBP且且 .03. 0)(,01. 0)(,02. 0)( 321 BAPBAPBAP (1) 由由全概率公式得全概率公式得 )()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得 )( )()( )(

15、 11 1 AP BPBAP ABP 0125. 0 15. 002. 0 .24. 0 上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫 做做先验概率先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做叫做后验概率后验概率. 先验概率与后验概率先验概率与后验概率 ).(,005. 0)( ,005. 0, .95. 0)(,95. 0)( , : , ACPCP CAPCAP C A 试求试求即即 的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查 现在对自然人群现在对自然人群有有

16、则则被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症表示事件表示事件以以为阳性为阳性 试验反应试验反应表示事件表示事件若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果 某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解 ,05. 0)(1)( ,95. 0)( CAPCAP CAP因为因为 ,995. 0)(,005. 0)( CPCP 例例3 3 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为 ( ) () () ( ) ()( ) () P C P A C P C A P C P A CP C P A C .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人

17、中大约只有87人人 患有癌症患有癌症. 1.条件概率条件概率 )( )( )( AP ABP ABP 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 三、小结三、小结 1122 ( )() ()() ()() () nn P AP B P ABP B P ABP B P AB 1 () () (),1,2, . () () ii in jj j P B P A B P B Ain P BP A B ()( ) ()P ABP A P B A 乘法定理乘法定理 贝叶斯资料贝叶斯资料 Thomas Bayes Born: 1702 in London, England Died: 17 April 1

18、761 in Tunbridge Wells, Kent, England 例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机无放回随机 地抽取两次地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多抽求在两次抽取中至多抽 到一个红球的概率到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每每 次抽取一球次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二第二 次与第三次均是白球的概率次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二第一次与第二 次均是白球的情况下次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的

19、概率? 备份题备份题 解解 . )1( 21 二二次次抽抽取取到到红红球球 第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球 个个两两次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一为为事事件件设设 AA A . 15 14 5 4 6 2 5 2 6 4 5 3 6 4 )()()()( 212121 AAPAAPAAPAP )()()()()()( 121121121 AAPAPAAPAPAAPAP 则有则有 , 212121 AAAAAAA 例例2 掷两颗骰子掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1点的概率点的概率. 解解设事件设事件

20、A 为为“ 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 ”, 事件事件 B 为为 “ 一颗点数为一颗点数为1 ”. 故所求概率为故所求概率为 . 3 1 P 掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 3, 其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为 1, 例例3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱, 三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10 箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率求取得的正品概率. 设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”, 分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”, , 321 BBB 由题设知由题设知 . 10 2 )(, 10 3 )(