2019年上海市徐汇区高考数学二模试卷

1、2019 年上海市徐汇区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.满足条件 |z-i |=|3+4i|（ i 是虚数单位） 的复数 z 在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n N* annnn+3n+1?an+2”的（） ，则“数列 为等比数列”是“数列 a 满足 a ?a=aA. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.2和直已知直线 l1：4x-3y+6=0 和直线 l 2：x=-1，则抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l 1线 l2 的距离之和的最小值是（

2、）A.B.C. 2D.4.设（f x）是定义在 R 上的函数，若存在两个不等实数x1，x2R，使得（f）=，则称函数 f（ x）具有性质 P，那么下列函数：f（ x）=； f（ x）=x3； f（ x） =|x2-1|； f（ x） =x2 ；不具有性质 P 的函数为（）A.B. C. D. 二、填空题（本大题共12 小题，共 54.0 分）5. 设全集 U=R若集合 =1，2， 3， 4 ， =x|2x 3，则 ?U =_6.已知点（25fx =1+ax（ a 0 且 a1）的图象上，则f（x）的反函数， ）在函数（ ）f-1 （ x）=_ 7.不等式 1 的解为 _8. 已知球的主视图所表

3、示图形的面积为9，则该球的体积是 _9.函数 f （ x） =在区间 0， 上的最小值为_10.若 2+i （ i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程x2+mx+n=0 的一个根，则圆锥曲线=1 的焦距是 _11. 设无穷等比数列 an 的公比为 q，若 an 的各项和等于 q，则首项 a1 的取值范围是_12.已知点 O（ 0， 0）， A（ 2，0）， B（ 1， -2）， P 是曲线 y=上一个动点，则的取值范围是 _第1页，共 16页13. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为_（

4、结果用数值表示）14. 已知函数 f（x）=x+ -1，若存在 x1，x2， ，xn ，4使得 f（ x1）+f（ x2）+ f（ xn-1）=f（ xn），则正整数 n 的最大值是 _ 15.在平面直角坐标系中， 设点 O（ 0，0），A（3，），点 P（x，y）的坐标满足，则在 上的投影的取值范围是_16. 函数fx =sinx 0y轴右侧的交点从左到右依次记为（ ）（ ）的图象与其对称轴在A1，A2，A3An 在点列 An 中存在三个不同的点Ak，At，Ap，使得 AkAtAp 是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为 n ，则=_2019三、解答题（本大题共5 小题，共

5、76.0 分）17. 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b，c，且 2cos2A+4cos（ B+C）+3=0 （ 1）求角 A 的大小；（ 2）若 a= ， b+c=3 ，求 b 和 c 的值18. 如图：正四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，底面边长为 2，BC1 与底面 ABCD 所成角的大小为arctan2，M 是 DD 1的中点， N 是 BD 上的一动点，设= （ 0 1）（ 1）当 =时，证明： MN 与平面 ABC1D1 平行；（ 2）若点 N 到平面 BCM 的距离为 d，试用 表示 d，并求出 d 的取值范围19.2018 年世界人工智能大会已于

6、2018 年 9 月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，第2页，共 16页会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、 B 两个信号源相距10 米， O 是AB 的中点，过O 点的直线 l 与直线 AB 的夹角为45，机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0 米）在时刻t0 时，测得机器鼠距离O 点为 4 米（ 1）以 O 为原点，直线AB 为 x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0 时机器鼠所在位置的坐标；（ 2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过 1.5 米的区域运动时，有“被抓

7、”的风险如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（ m3）的有穷数列 an ，若存在项数为m+1，公差为 d 的等差数列 bn ，使得 bkak bk+1，其中 k=1，2， ，m，则称数列 an 为“等差分割数列”（ 1）判断数列 an ：1， 4， 8， 13 是否为“等差分割数列”，并说明理由；（ 2）若数列 an 的通项公式为 an=2n（ n=1，2 ， m），求证：当 m5时，数列 an 不是“等差分割数列”；（ 3）已知数列 an 的通项公式为 an=4 n+3（n=1， 2， ， m），且数列 an 为“等差分割数列”若数列 bn 的首项 b1=

8、3，求数列 bn 的公差 d 的取值范围（用 m 表示）21.已知函数y=f1（ x）， y=f2（ x），定义函数f（ x） =（ 1）设函数f1（ x） =， f2 （x） =（ ） x-1 （ x0），求函数y=f（ x）的值域；（ 2）设函数 f1（ x）=lg（|p-x|+1）（ 0，p 为实常数） ，f2（x）=lg （ 0），当 0x时，恒有 f（ x） =f1（ x），求实常数p 的取值范围；3fx）=2|x|f x =3 2|x-p| p为正常数，若关于x的方程fx =m（ ）设函数1（，2（）?，（ ）（m 为实常数） 恰有三个不同的解，求 p 的取值范围及这三个解的和（用

9、 p 表示）第3页，共 16页第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：因为|3+4i|=5，满足条件 |z-i|=|3+4i|=5 的复数 z 在复平面上 对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为 5 的圆故选：B利用复数的几何意 义可直接得出 |z-i|=|3+4i|中复数 z 在复平面上 对应点的轨迹是圆考查复数的几何意 义及复数求模的公式 题型很基本较全面考查了复数的运算与几何意 义2.【答案】 A【解析】解：“数列 an为等比数列 ”，则，数列a n满足=q ?a?aan n+3=an+1 n+2反之不能推出，例如 an=0，故选：A“a为则=q， 数列 a 满足数列等

10、比数列 ”，n?na ?a=a?a反之不能推出，可以举出反例n n+3n+1n+2本题考查了等比数列的定 义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题3.【答案】 C【解析】解：x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线，P 到 x=-1 的距离等于 PF，抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0）过 P作 4x-3y+6=0 垂线，和抛物线的交点就是P，第5页，共 16页点 P 到直线 l1：4x-3y+6=0 的距离和到直 线 l 2：x=-1 的距离之和的最小 值就是 F（1，0）到直线 4x-3y+6=0 距离，最小值=2故选：C由 x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线，

11、推导出点 P 到直线 l 1：4x-3y+6=0 的距离和到直线 l 2：x=-1 的距离之和的最小 值本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物 线的性质，注意等价 转化思想的合理运用4.【答案】 D【解析】解： 选择的两点关于原点 对称即可，如图：（1）中的A ，B， 同 ，选择的两点关于原点 对称即可，如图（2）, 如图，y=1 与 f （x）的交点，满足题意， 没有满足的点对设，x2R，使得 f （）=，假 存在 x1即（2=得，x1=x2 与xx矛盾，故 不存在，）1 2故选：D根据条件分 别进 行判断即可本题主要考查函数与方程的 应用，结合条件，利用数形结合分别进行判

12、断是解决本题的关键5.【答案】 1 ， 4【解析】第6页，共 16页解：全集 U=R，集合 =1，2，3，4 ，=x|2 x，3（?UB）=x|x 3 或 x 2 ，A（?UB）=1 ，4 ，故答案为：1 ，4 本题考查集合的运算，由于两个集合已 经化简，故直接运算得出答案即可本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并 补的运算规则是解本题的关键本题考查了推理判断的能力6.【答案】 log2（ x-1）（ x1）【解析】解：由点（2，5）在函数f（x）=1+ax（a0 且 a1）的图象上，得 2=1+a2，a0，a=2则 y=1+2x，2x=y-1，得x=log2（y-1），f（x

13、 ）的反函数f -1（x）=log2（x-1）（x1）故答案为：log2（x-1 ）（x1）把点的坐 标代入函数解析式，求得 a，然后求解 x，把x 与 y 互换可得 f（x）的反函数 f -1（x）本题考查函数的反函数的求法，是基 础题7.【答案】 （ 0，+）【解析】题1-10? 0，解：根据 意， ?解可得 x 0，即不等式的解集为（0，+）；故答案为：（0，+）根据题意，原不等式变形可得0，进而分析可得答案本题考查分式不等式的解法，关 键是对分式不等式的 变形，属于基础题8.【答案】 36【解析】第7页，共 16页2解：R=9，R=3，V=36故答案为 36由圆面积得到半径，再由体积公

14、式得体 积本题考查球的体积公式，属于简单题9.【答案】【解析】解：函数f （x）= cos2x+sinxcosx=sin（2x+ ），2x+ ， ，间， 上的最小值为f （x） =f（ ）=sin =-sin =-f（x ）在区 0min故答案为：-求出函数 f（x）=cos2x+sinxcosx=sin（2x+），由2x+， ，能求出 f（x）在区间0， 上的最小 值本题考查 函数的最小 值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性 质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题10.【答案】 6【解析】解：2+i（i是虚数单位）是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，则 2-i 也是

15、方程的根，由韦达定理可得 -m=2+i+2-i=4 ，解得 m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲 线方程为：所以双曲线的焦距为：2=6故答案为：6利用实系数方程虚根成 对定理，结合韦达定理求出 m，n，然后求解椭圆的焦距即可第8页，共 16页本题考查实系数方程虚根成 对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及 计算能力11.【答案】 -2 a1且 a10【解析】解：无穷等比数列 an 的各项和等于公比 q，|q| 1，且=q，22a1=q（1-q）=-q +q=-（q-）+，2由二次函数可知a1=-（q-）+ ，又等比数列的 项和公比均不 为 0，由二次函数区 间的值域

16、可得：首项 a1 的取值范围为：-2 a1 且 a10故答案为 -2 a 且0：1a1由题意易得=q，可得 a1=-（q-2，由二次函数和等比数列的性 质可）+得本题考查等比数列的各 项和，涉及二次函数的最 值，属基础题12.【答案】 -2， 4【解析】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线 y=上一个动点，设 P（2cos，sin ），0 ，则=4-2，4故答案为：-2 ，4利用已知条件 设出 P 的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可本题考查向量的数量 积的应用，椭圆参数方程的 应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出 P的坐标是解题的关键13.【

17、答案】 0.75【解析】第9页，共 16页解：甲、乙两队进行排球决 赛，现在的情形是甲 队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠 军若两队在每局赢的概率都是 0.5，则甲队获得冠军的概率为 p=1-0.5 0.5=0.75故答案为：0.75利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题14.【答案】 6【解析】解：函数函数 f（x）=x+-1的导数为 f （x）=1-=，可得 f （x）在，2递减，在（2，4 递增，为值为值为f（ ）=，即有 f （2） 最小，且3；最

18、大f（xn）=f （x1）+f（x2）+ f（xn-1）3（n-1），故正整数 n 的最大值是 6故答案为：6求得 f （x）的导数，可得 f（x ）在，2 递减，在（2，4递增，求得 f （x）的最值，即可得到所求 n 的最大 值本题考查对勾函数的 单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题15.【答案】 -3， 3【解析】解：在上的投影：z=|?cosAOP=2cosAOP，AOP， ，当AOP=时，zmax=2cos=3，AOP=时，zcos=-3，当 min =2第10 页，共 16页z 的取值范围是-3，3故答案 为：-3 ，3 先根据约束条件画出可行域， 设 z 为在上的

19、投影，再利用 z 的几何意 义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦 值的取值范围即可，从而得到z 值即可本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意 义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括 线性的与非 线性，非线性问题的介入是 线性规划问题的拓展与延伸，使得 规划问题得以深化16.【答案】【解析】解：由x=k+ ，得x=，kZ，由题意得 x=， ，即 A 1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1） ，由 A 1A 2A 3 是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得，1=同理 A1A4A7是等腰直角三角形得=-1

20、，得2=A1A6A11是等腰直角三角形得?=-1，得同理 3= =，n则 =，2019第11 页，共 16页故答案为：由三角函数的 对称性求出 对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐 标，结合 A kA tA p 是等腰直角三角形， 归纳出满足条件的数列 n ，进行求解即可本题主要考查三角函数 对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形 归纳出 n 是解决本 题的关键综合性较强，难度较大17.【答案】 解：（ 1） 2cos2A+4cos（ B+C）+3=0,22（ 2cos A-1） +4cos（ -A） +3=0，可得： 4cos2A-4cosA+1=0 ，可得：（ 2c

21、osA-1） 2=0 ，解得： cosA= ，A（ 0， ），A= （ 2）由题意可得：b+c=3，可得： b=3- c，222222，又由 a =b +c -2bccosA，可得：（） =（ 3-c） +c -2 可得： c2-3c+2=0 ，解得：，或【解析】2（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（ 2cosA-1）=0，解得 cosA 的值 结围A （0，），可求A 的值， 合范（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求 c 的值，进而可求 b 的值本题主要考查了三角函数恒等 变换的应用，余弦定理在解三角形中的 应用，考查了计算能力和

22、方程思想，属于基 础题18.可知 N为【答案】 （ 1）证明：连接 BD 1，由BD 的中点，又 M 是 DD 1 的中点， MN D 1B，又 MN ? 平面 ABC1D1 ，BD1? 平面 ABC1D1，MN 平面 ABC1D1（ 2）解： CC1平面 ABCD ，C1BC 为直线 BC1 与底面 ABCD 所成的角，即第12 页，共 16页tanC1BC=2，CC 1=2BC=4，以 D 为原点，以 DA， DC， DD 1 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则 B（2， 2， 0）， C（0， 2， 0）， D（ 0， 0， 0）， M（ 0，0， 2）， =（ 2， 2， 0），

23、=（ -2， 0，0）， =（ -2， -2， 2） = =（ 2，2， 0），即 N（ 2，2， 0）， =（2， 2， -2），设平面 BCM 的法向量为=（ x， y， z），则，即，令 y=1 可得=（0， 1，1），设 MN 与平面 BCM 所成的角为，则 sin =|cos |=|=，N 到平面 BCM 的距离 d=|MN|sin=（ 1-）0 1， 0 d【解析】连则（1） 接 BD1， MN D1B，故MN 平面 ABC 1D1；（2）根据tanC1BC=2 得 CC1=4，建立空间坐标系，求出平面 BCM 的法向量，计算与的夹角正弦值得出 d 关于 的表达式本题考查了线面平行

24、的判定，空间向量与空 间距离的计算，属于中档题19.【答案】 解：（ 1）设机器鼠位置为点 P，由题意可得-= ，即 |PA|-|PB|=8 10，可得 P 的轨迹为双曲线的右支，且2c=10 ， 2a=8，即有 c=5， a=4，b=3 ，则 P 的轨迹方程为- =1（ x4），时刻 t0 时， |OP|=4，即 P（ 4， 0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（ 2）设直线 l 的平行线 l 1 的方程为 y=x+m，联立双曲线方程22- =1 （ x4），可得 7x +32mx+16m +144=0 ，即有 =（ 32m） 2-28（ 16m2+144）=0 ，且 x1+x2=-

25、 0，可得 m=-，即 l1 ：y=x- 与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l 最近的点，此时 l 与 l1 的距离为d=，即机器鼠距离l 最小的距离为1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险【解析】第13 页，共 16页（1）设机器鼠位置 为点 P，由双曲线的定义和方程可得 P 的轨迹和方程，及时刻 t0 时 P 的坐标；（2）设直线 l 的平行线 l1 的方程为 y=x+m ，联立双曲线方程，由判别式为 0，解得 m，再求平行线的距离，结合题意即可判断本题考查双曲线在实际问题 中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲 线方程，考查化简运算能力，

26、属于中档 题20.【答案】 （ 1）解：由题意，可知：数列 bn 若存在，则b1 1 b2 4 b3 8 b413 b5，可令 b1=0，d=3.5，则 b1=0 1 b2=3.5 4 b3=7 8 b4=10.5 13 b5=14，即数列 an ： 1， 4， 8， 13 为“等差分割数列”；（ 2）证明：当m5时，假设存在项数为m+1，公差为d 的等差数列 bn ，使得：bk ak bk+1，其中 k=1 ， 2， ， m即满足： b1 2 b2 4 b3 8 b4 16 b5 32 b6 ，由 b6 32， b12? b6-b1=5d 30? d 6，又由 2 b2 4， 4 b38?

27、0 b3-b2=d 6，矛盾，故不存在这样的等差数列 bn ，即数列 an 不是“等差分割数列”；（ 3）解：由题意，可设等差数列 bn 通项公式为： bn =3+（ n-1） d，则：b1=3 a1=7 b2=3+d a2=11 b3=3+2d bm=3+（ m-1）d am=4m+3 bm+1=3+ md，由 b1=3， b2 7? b2-b1=d 4，又由 b1=3，bm 4m+3? bm-b1=（ m-1） d 4m，即 d，则 4 d，此时， bk=3+ （ k-1）d 3+（ k-1）， ak=4k+3， bk+1=3+ kd 3+4m（=1 ， 2， ， m）ak-bk=4k-

28、（k-1）=0， bk+1 -ak 0，即 bk ak bk+1， k=1， 2， ， m 恒成立则公差 d 的取值范围为（4，）【解析】第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列b n ，使得b11b2 4b38 b413b5 成立可假设 b1=0，d=3.5 即可得到一个符合条件的等差数列 b n ；第（2）题可采用反 证法证明，即假设存在项数为 m+1，公差为 d 的等差数列 b n第14 页，共 16页满足条件，然后找出公差 d 的取值范围正好相反从而 产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列 b n 通项公式为：bn=3+（n-1）d，然后根据 b1=3

29、，b27 以及 b1=3，bm4m+3 得出公差 d 的取值范围本题第（1）题主要考查根据新定 义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定 义求出公差 d 的取值范围本题属较难题21.【答案】 解：（ l）注意到 f1（ 1）=f 2（ 1）=1，f1（ x） =在 0， +）上单调递增，f2（ x） =（ ） x-1 在 0， +）上单调递减，x f xfx =f x =01，当 0x1时， f1（ ） 2（ ），此时（） 1（） ，当 x 1 时， f1（ x） f 2（ x），此时 f（ x） =f 2（ x）=（ ） x-1（ 0， 1），综上所述，函数y=f（ x）的值域是 0， 1（ 2）由题意 f1（ x）f2（ x），即 lg（ |p-x|+l）lg在 0x恒成立， ? |p-x| -1? 1- x-p-1?在 0 x时恒成立，令 g（ x）=x+ -1，（ 0 x）， h