向列相液晶中呼吸子的多种解法

1、摘要本文主要介绍了光束在非局域非线性介质中传输时的情况，分别采用了变分法和泰勒展开法来求解向列相液晶中(1+1)维呼吸子解，并通过对数值模拟结果和理论解析 结果的比较，最后证实了结论的正确性。关键词：向列相液晶；非局域程度；变分法；泰勒展开法；呼吸子AbstractThis paper mainly in troduces the situati on of the beam propagati on in nonl ocal non li near medium. Variati onal method and Taylor series expa nsion method are resp

2、ectively used to solve a (1+1) dimensional breather solution in nematic liquid crystals. Then through the comparison of the results of numerical simulatio n and theoretical an alysis results, fin ally the correct ness of the con clusi on is con firmed.Keywords: nematic liquid crystal; the degree of

3、nonlocality; variational method;Taylor method; breathers目录摘要 1Abstract 1第一章绪论 31.1空间光孤子以及呼吸子介绍 31.2求解呼吸子解的方法 5121变分法5122泰勒展开法61.3本论文的目的及研究主要内容 6第二章 用变分发求呼吸子解 7 2.1液晶的简介72.2变分法求呼吸子解8第三章用泰勒展开法求呼吸子解 143.1泰勒法解呼吸子解14第四章 总结与研究展望 154.1本文总结154.1研究展望15参考文献 16致谢 17第一章绪论 1.1空间光孤子以及呼吸子介绍光孤子（Soliton, Solitons in

4、 optical fibres）是指经过长距离传输而保持形状不变的光脉冲。光脉冲在时域上的展宽式缘于介质的色散，在无色散介质中，脉冲的群速度等 于相速度，传播过程中不会展宽。但对于空域中有限尺寸的一束光，即使在真空中传播, 由于波动的固有特性一一衍射，随着传播距离的增加，光束会变得越来越宽，初始入射 光束越窄，其在横向展宽的就越快，如图1-1中间一排所示。但改变介质的折射率分布 可以补偿光束的这种横向扩展，光纤便是一例，中心的折射率高，四周的折射率低，在 其中稳定传播的光就是这种波的线性导模。如果介质对光强的响应是非线性的，那么光场就会引起介质光学性质（如折射率、吸收等）的改变。如克尔（ker

5、r）非线性响应介质，折射率的改变量正比于光强，当一 束高斯光在其中传播时，光束中心的强度大，因此折射率增量就大，光束边缘强度小， 折射率增量也小，这样，在介质中就形成了一个类似于光纤的中间折射率高边缘折射率 低的自生导波。Self-Trapped Soliton图1-1 :光束横截面的空间形状（实线）和波前相位（虚线）示意图上排：自聚焦；中排：自然衍射；末排：孤子形成由于光束总是向着折射率高的地方偏离，因此，边缘的光会向光束中心汇聚，致使 中心的光强增加，折射率进一步增加，进而边缘的光继续向光束中心会聚，这样便形成 了一个恶性循环，光束中心的折射率越来越高，光强越来越大，直至介质被烧毁。这便

6、是非线性克尔介质中的自聚焦效应。因此，衍射的抑制也可以通过介质的非线性效应局部改变折射率分布来实现。当光 束通过非线性改变介质的折射率形成一个自生导波并且是这个自生导波的导模时一一 即达到自洽，衍射发散效应和非线性自聚焦效应相互抵消，传播过程中，光束不再扩展,这种稳定的自限(Self-traping)光束被称为空间光孤子。图1-2强非局域介质中高斯光束的传输，只有当功率P与临界功率F0相等时，才会形成光孤子，否则束宽会做周期性“振荡”，即形成了呼吸子若非线性效应引起的光束的自聚焦与光的衍射效应不能相互抵消但又相差不大时，光束束宽就会作周期性的压缩或者展宽，这种束宽作周期性“振荡”的光束被称为呼

7、吸 子。 1.2求解呼吸子解的方法 1.2.1变分法变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函 可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得 泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降 线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的 极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是 找到了最大值或者最小值（或者都

8、不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子 力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。 它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数 中使用狄力克雷原理。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者 辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题122泰勒展开法在数学中，泰勒级数（Taylor series）用无限项连加式级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在

9、某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。通过函数在自变量零点的导数求 得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林麦克劳林的名字命名。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的 误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多 项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能 不相等。开区间（或复平面开片）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。 1.3本论文的目的及研究主要内容向列相液晶（NLCs）作为一种优质的非局

10、域非线性材料，可以实现空间光孤子在其 中稳定传输，禾I用传输时的相关性质可以制成全光控制器件。因此，对向列相液晶中空 间光束的性质和行为进行研究是很有必要的，通过研究，一方面有助于对光孤子或者呼 吸子这一特殊的物理现象加深理解，另一方面也是对将其付之实际应用的一个有益探 索。在这篇文章中，我们主要是对（1+1 ）维呼吸子在向列向液晶中的传输进行研究。 分别通过变分法和泰勒展开法对比着求解呼吸子解，结果发现两种方法最终得出的结果一致。并且通过将数值模拟与解析解的比较，在强非局域情况下，发现解析结果和数值 模拟结果符合很好第二章 用变分发求呼吸子解 2.1液晶的简介液晶的最早发现要追溯到1883年

11、，奥地利科学家莱尼茨尔，他在实验时观察到胆 固醇苯甲酸脂有两个熔点，把它的固态晶体加热到145 C时，便熔成液体，只不过是浑浊的，但一切纯净物质熔化时却是透明的。继续加热到175 C时，这种浑浊的液体再次熔化变成透明的液体。他发现在冷却过程中，一种蓝色短暂的出现在透明的液体变 得浑浊时，而一种蓝紫色则出现在浑浊的液体晶化之前的瞬间。后来，莱尼泽反复确定 他的发现后，向德国物理学家列曼请教。1989年，列曼把处于“中间地带”的浑浊液体 称为液晶。在不同的温度和压强条件下物体有三种不同的状态 ：固态、液态和气态。这三种状 态一般称为固相、液相和气相。给予适当外加条件处于某一相的物体可以变化到另一种

12、 不同的相，此种转变即为相变。液体具有很高的流动性，液体分子不具有长程有序，只 具有短程有序，且液体分子各向同性。而固体具有固定的形状，构成固体的分子或原子 规则排列，组成晶体点阵。晶体分子具有长程有序的特点，且固体分子各向异性。固相 与液相最大的差别即表现在各向异性上。固体在各个方向的物理性质不相同。液晶是固、液态之间的一种中间状态，所以同时具有固体的各向异性和液体的短程 有序性。液晶是一种有机化合物，在一定温度或浓度的溶液中，既具有液体的流动 性、粘度、形变等机械性质，又具有晶体的热（热效应）、光（光学各向异性）、电（电 光效应）、磁（磁光效应）等物理性质。在这些性质中，尤其是具有很强的光

13、学非线性。 人们以凝聚构造的不同，将液晶分为晶体颗粒粘土状的称为近晶相液晶（smectic）、类似细火柴棒的称为向列相液晶（nematic）、类似胆固醇状的称为胆甾相液晶（cholesteric）这三种由于向列相液晶（Nematic Liquid Crystals ）的长棒状分子传列结构能最好地说 明液晶兼具有液体流动性和晶体各向异性的双重特性，自从莱尼茨尔发现以来，大多数 科学家把研究重点放在了向列相液晶上，因此它是最为常见，也是应用最广泛的一种。 Peccianti等2、3在实验和理论上都证明了向列相液晶中的空间光孤子就是强非局域空 间光孤子，向列相液晶中的空间光孤子具有潜在的应用价值，因

14、此成为许多科学家研究的对象。 2.2变分法求呼吸子解本文中主要以预倾角为任意角度的模型来描述 NLC中（1+1）维空间光孤子的传输， 液晶盒的构造和文献中的一样。光场的包络A沿z轴传输，沿x轴偏振，用来控制液 晶分子预倾角的低频电场Erf加在x方向上。当输入的功率和临界功率不相等时，我们 就可以得到呼吸子，且呼吸子的束宽在传输过程中是呈现周期性变化的。光束传输方程 可以通过以下的非局域非线性薛定谔方程（NNLSE）表示：2 OP2ikAz 人拓 k。；a sin（2%）?A = 0,（1）?（x,z）的调制方程是由于形变而使 NLC的内能降低到最小之后得到的，满足以下方 程5:1 OP 24厂

15、？才 sin（2入）A =0.（2）w m4K两个方程中所有的物理量都和文献 中的定义一样，根据傍轴近似理论，方程（2） 中的T ；z已被忽略掉，并且（2）式中的特征长度Wm的表达式如下:1 r220 KT 1/2WEF ；。JFsin(2m)1-2mcot(2m)通过运用和文献相同的方法，得到非线性系数n2二；aOPwm2sin(2如/4n02cK。当低频电场Erf高于Freederichsz阈值电场时，入：二/ 21 -(Efr / Erf )1/3。因此，可以很 明显地知道Wm和n2都是由Erf (或偏压V)决定的。将方程(1)和归一化，令 X=x/0，Z=z/k02，a = A/Ag,

16、t -V/Ag2?。，其 222OP 2中Ao=1/(nn2kg.g)，养0二；0；a Wmsin(2“)/4K ,w。是初始束宽，因此我们可以得到以下两个无量纲的方程：1i：:Zaa” a =0,( 4)2屮 xx -G2屮 +a2 a? = 0,(5)R(X) =(/2)exp(- X)是归一化响应函数，：代表非局域程度，当:越小非局域程度越强。通过傅里叶变换，因此可以表示为2=JR(X X)a(X,Z) dX8那么方程(4)实际上可以表述成一个变分问题,其中的拉格朗日密度L可以写成7，,i * caEa、1 I caL (a a )-2: Z 江 221+ 一2JR(X -X)a(X,Z

17、)2dX,(6)其中星号表示的是复共轭，根据一般的变分原理,: : * * *)fL(a,a ,aZ，aZ ,ax，ax )dXdZ,光束在向列相液晶中无损耗传输时有咼斯型的近似解，在向列相液晶中，损耗因子:一般很小，在不是非常大的传输距离之内，光束的传输依然有高斯型的试探解:(8)ar：)1/2eXPZZ)eXP一怎 WXH其中，w(Z)，班Z)，c(Z)与文献9中的定义一样，Pg为输入功率，把以上的试探 解代入方程(7)中，我们得到简化的变分问题:其中LdZ(9)(10)L二：LdX,根据变分法的一般步骤可以求出光束试探解的四个参数，但是由于向列相液晶的非局域响应函数R（x）在原点处并不可

18、导，不能在原点处泰勒展开，因此难以得到拉格朗日的表达式。但是，在强非局域的条件下，非局域特征长度Wm远大于光束的束宽，也就是说，:X在光束范围内比较小。因此，归一化响应函数可以近似为:aR(X)u(1X +2a 2X2 *),2(11)(12) dP0w2、-2P0W 护一丁)PoW(13)现在把方程（6）和（8）以及方程（11）代入方程（10），经过一些数学计算，我 们得到L满足:L = - 424：3225 A W (2二Wm - 2 2 Wm W： ：HWm W ). 8Wm运用变分法的一般步骤，把方程（12）代入方程（9），我们得到光束的试探解a的各个参量所满足的欧拉方程:A ,ww2

19、 虫 2空-1、二 A2 (1 4c2w5 WE dZ)叱；7化简以上三个式子，可以得到:)2dZ dZ 4wW F (一2低Wm? + 2* 2WmW - 石W2)心1 MJ ；）叱；7(14)d v 1: PodZ 2W-VdcdZ2(W42 1 -4c )-(3Po2：Po)=o,比理w1 dww dZ2c = 0.将方程（18）代入方程（17）中，得到d2w 1 dZ2 _ w3=0,(17)(18)(19)在经典力学中，方程（19 ）类似于牛顿第二定律，质点的质量为1 ,F =1/w3 ：JP0w/2 -2P0/二等效于粒子受到的外力，F的前两项等效于衍射效应（使等效粒子加速），光束

20、将被展宽或者有被展宽的趋势，主要是由初始速度dw/dZzw0或0来决定。相反地，F的第三项即非线性效应，会使光束压缩（使等效粒子减速）。当非线性效应等价于衍射效应时，F=0,粒子的速度将不会改变，即形成了所谓的孤子态， 这时w =1，所以我们就可以得到此时孤子传输的临界功率:(20)图2-1中所示的是临界功率Pc与非局域特征长度 Wm的关系，从图中可以看出当 wm 3时，数值模拟结果（圆圈）和解析结果（实线）能很好地吻合，其中数值模拟是 从方程（4）出发的。当:-足够小时，方程（20）分母中的.二这一项可以舍掉，因此 在强非局域情况下，临界功率近似正比于 1八2，在归一化情况下即近似正比于 w

21、m2，此 结论和文献中的结论一样。图2-1 NLC中临界功率FC跟非局域特征长度 Wm的关系图接下来通过参考文献中相应的计算，可以得到3a 3P0 1/2w(Z) =w (1w)cos( 40) Z.(21)w 2图2-2所示的是呼吸子在液晶中传输的束宽变化图，实线(F0=O.73FC )和虚线(P。=1.36Pc )是根据方程(21)所画的曲线，方块和圆圈分别是数值模拟结果，且初 始条件分别是(a)a =0.1,(b)a =0.25,(c)G =0.45，从图中我们可以很明显地看到 当非局域程度越强时，解析结果和模拟结果吻合越好。在图2-2中，当上-1时，伴随着的逐渐增大，束宽的峰值会在传输

22、过程中发生较大的变化，主要原因是在这种情况 下前面的做二阶近似有点不太严格，所以呼吸子解的形式不是严格的Gauss型函数，是介于Gauss和 Sech之间的波形12。由此也说明了液晶的非局域程度并没有达到Snyder等人所指的那种强非局域程度9。另外，从方程(21)中，我们还可以很明显地观察到束宽是呈现周期性振荡的，这个近似解的振荡周期为匚=2二/Q，其中Q =3/w4先/21/2,最大(小)束宽是wm =2w-1，w是平衡位置。在这种近似条件下，归一化束宽w总是在wm和1之间振荡的。对于上=1,只有当w =1时，势函数V(w) =0 ；当- 1时，存在两个解，其中一个是1,另一个是w1。当输

23、入功率越接近临界功率时，w1就越接近于1,而此时我们所求得的抛物线势函数就能更好地替代原本的势函数。因此，方程（21）在临界功率附近适用，将此方程代入方程（16）和（18），就可以得到，(Z):PoZ2(1 _w)si n( QZ)2Q(2w1)w (1 一 w)cos(QZ)QrarctanL2w1tan(QZ)，(22)c(Z)二Q(w-1)s in (QZ)2w (1 -w)cos(QZ)(23)将所求得的w（Z）p（Z）,c（Z）代入方程（8），就是我们所要求的呼吸子解。图2-2（ 1+1）-D呼吸子在液晶中传输的束宽变化图第三章用泰勒展开法求呼吸子解 3.1泰勒法解呼吸子解其实，在强

24、非局域情况下，也可以将*做泰勒展开到二阶并将各项展开结果代入到 方程（4）中，通过另外一种方法来求解呼吸子解的，这样我们就可以得到以下非局域 非线性薛定谔方程：iza+1 axx +卩 a + 1 f P a 2 a（0） 2X2a = 0.（24）2 2 2 2方程（24）代表了 NLC的重取向非线性并且是我们呼吸子解的简化模型，将此模型与Snyder-Mitchell模型进行比较，比他们的模型多了： 3P0/2这一项，当：:1时，近似正比于轴上光强，但是Snyder-Mitchell模型的这一项却是正比于功率，所以我们这里 的模型不同于以前的工作。满足此模型的呼吸子解可以用高斯型函数（8）

25、式来描述，将以上试探解代入方程（24）中，X的零次方以及平方项的实部和虚部分别为零，因此也得到了等同于变分法 时的方程（16）、（17）和（18） o因为此方法即文献中的方法，所以在此只是作简单介绍， 通过文献11 中的计算方法最终可以求出相同的呼吸子解，并且将其与数值模拟结果进行 了相应的比较第四章总结与研究展望 4.1本文总结本文以预倾角为任意角度的模型来描述 NLC中（1+1）维空间光孤子的传输情况， 基于液晶的一些基本理论方程，通过相应的傅里叶变换，利用了变分法和泰勒展开法分 别求出了相同的呼吸子解，在使用泰勒展开法时得到了强非局域非线性薛定谔方程，并 对此模型作了定性的解释。通过将数

26、值模拟结果与解析结果进行比较，相互验证，分析 出了两结果存在差异的实质原因。 4.1研究展望由于空间光孤子在光开关、光逻辑、光子信息处理、全光网络等方面具有不可忽视的作用，以其巨大的应用潜力和发展前景令世人瞩目，尤其是EDFA技术的迅速发展使得几十至几百吉比特率，几千至几万公里的信息传输变得轻而易取。此项技术吸引了众 多科技人员为之努力贡献。所以这些理论研究都可以为其提供了可行性的参考参考文献1 Lve M.BIinov.History and Properties of Liquid CrystalsJ.Springer.2010,83(2):1,4572 Peccia nti M, Brz

27、dakiewicz K A, Assa nto G Opt. Lett. 27 1460.(2002)3 Conti C, Peccianti M, Assanto G Phys. Rev. Lett. 92 113902. (2004).4 M.Peccia nti, C.Co nti, G.Assa nto. In terplay betwee n nonl ocality and non li nearity in nematic liquid crystalsJ. Opt.Lett.2005, 30(4):415-7.5 M.Peccianti, C.Conti,G.Assanto,A

28、.D.Luca,C.Umeton. Nonlocal optical propagation in nonlin ear n ematic liquid crystalsJ. J. Opt.Phys.Mat2003, 12(4): 525-538.6 朱叶青、龙学文、胡巍等，非局域程度对向列相液晶中空间光孤子的影响J.物理学报2008, 57：22602264.7 Q. Guo, B.Luo, and S.Chi. Optical beams in sub-strongly non-Ioncal nonlinear media: A variatio nal solutio nJ. Opt.C

29、om mun .2006,259,336.8 D.A nderso n. High tran smissi on rate com muni catio n systems using lossy optical solit on sJ. Opt.Commu n.1983,48,107.9 Qi Guo, Boren Luo, Fahuai Yi et al. Large phase shift of nonlocal optical spatial soliton sJ. Phys. Rev. E.2004, 69(1): 016602-016602-8.10 S.Ouya ng, Q.Gu

30、o, W.Hu. Perturbative an alysis of gen erally nonl ocal spatial optical solit on sJ. Phys .R ev.E.2006 74(9): 036622-036622-8.11 朱叶青、曹龙贵、胡巍，向列相液晶中(1+1)-D呼吸子解J.光学学报,2010年(已 接受).12 G.I.Stegeman, M.Segev. Optical spatial solitons and their interactions: Universality and diversityJ. Scienee. 1999,286(5444): 15181530.致谢走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已近尾声。四年多的努力与付出，随 着本次论文的完成，将要划下完美的句号。本论文设计在朱叶青老师的悉心指导和严格要求下业已完成。从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着朱叶青老师的心血和汗水。 在我的毕业设计期间， 朱叶青老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，朱老师一丝不苟的作风、严谨求实的态度使我深受感动。没有这样的帮助和关怀和熏陶，我不会这么 顺利的完成毕业设计。在此向朱叶青老师表示深深的感谢和崇高的敬意！在临近毕业之际，我