勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

1、典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHC. AB、CD GHB. AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十尸 = Q +F二艮同理 HE = 2百* QH. =1 CD = 25计算发现 W 十血尸=（鸥31即血+曲=GH2 ,根据 勾股定理的逆宦理得到

2、UAAE、EF GH为辺的三角形是直毎三角形.故选 B. *縮題后KJ思专：*1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形因此辭题时一宦妾认真分析题目所蛤条件,看是否可用勾股定理来解口 *2. 在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就 其实，同样是S6不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3. 直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运 用是一个从卅形s个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪） 的过程，而直角三角形的判定是一从 嗦（一个三角形的三辺满足 X二护+酹的条件）

3、到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4在应用勾股定理解题叭 聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种 可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m 现将直角边AC沿直绘AD折蠡 便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/)禎B. 3cmG -Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在MQ中运用勾股定理是无法求得仞的 长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直 线KQ对称.因而ACDhAED进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设 UD=E2黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得 =（

4、+=83=100,得 AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl） 2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果 条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系， 这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求 线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。例3： 一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠

5、华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正

6、确的解答设直角三角形削三边长分别为久 亠 如图，则圧二了米10丿十 g又 c-b1 -a=U20 （米）*c -b c+B 1010 （米）.事解題后的慝曲这是一道圈读理解奚试蕊 这种题型特点鲜明、內容丰富、趙越常规， 源于谨本，高干课本*不彳貝考査阅谨能力，而且还综合考杳数学意识和数 学嫌合应用能打尤其着查薮字思缝能力和创新意込解题时一股是通 过阅满理解槪念，拿握方法硕悟思想、抓住本质，然后才能解答间题汀知识点二、构造直角三角形使用勾股定理例4；如图,一个长方体形的木柜談在墙角处（与墙面和地面均没有耀隙 有一只蚂蚊从柜阳丿处沿着木柜表面爬到柜角G处.“ 谜你画出蚂觀能够最快到达目的地的可能路

7、径，Q当 曲 ，C=4匚以 时.求蚂蚁爬过的震矩路径的长尹思路分析：屮1躍分析；卞题苇查勾股定理例应用.P23解题思路；解決此粪间题的关国是把立悴圈形间題转化丸平面图形 问题.从而制用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意养洛哪一 条路径是最短的.心解答过程：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩珈和屮r蚂秋能够最快到达目的地的可自囲径有如图的/q和蚂蛾沿着木柜表面经娃段禺到G,爬过的路径的桧是 押+(4 +对二坷” 蚂軾沿着木柜表贡经线段刀耳到爬过的路徑的长是 右二奸遍匚亨二J.,最短路径的长是耳=毘屮恥=坐 AA = = 5=作耳左丄肚吁码则够、89沖所求.4解題后的恿考转化的思想是将夏

8、朶问题特他分解次简单旳I可题，或将陌生的I可題 转化为熟悉的间題来处理的一种慝想右法。如在许多实际间题中.首先 将師习題转化为数学问题，另外，当间题中没有给出直甬三甬形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。脣一块直垢三用形的绿地，爲得两直角边长分别为皿 8m现在 妾将绿地扩充成等腰三角形!且扩充部分是以如为直角边的直角三角形 求扩充后等腰三甬形绿地的周长.亠思翳分析：此题如戶圈形将变得很简单，搔圈形解答同网但若没有 图彩，则需藝讨论几种可能的情况.这正是肚无图题前细恩考，分粪讨论 保周到二心解答5过程，在Rt曲C中，ZACB - 90a, AC- & BC-6 f由勾

9、 股定理育；AS = 10.犷充部分次RtMOD,扩充成等睡他氏应分旦 卩三种情况如图L当= .45=10时，可求得 屈Q的周长酋 伽1如图h AB = SD=W,可求CD=4t 由勾股定理島 应二4得朋D的周长刘20+40圈3)25当AB底时设二九则UD二;r-&由勾股走理得80分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是 5,求中

10、间小正方形的面积。(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形。(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)思路分析；屮1) 題意分析：本题考查利用勾股定理进行图形的拼剖剪接“2) 解题思路，注意拼接过程中面积是不变的“(1) 设直角三角形的较长直角边长为Q,较愆直甬边长为b,则小正 方彩的边长为a-ba由题意得存a + b = 5 a由勾股定理，得戸+沪=13 22必=12*-*所以(金2+沪-2於二13-12二1 卍即所求的中间4、正方形的面积为1门(2) 所拼成的正方彫的面积为6-5x2= 13(2),所以可按照图

11、甲制 作。“由得。-0 = 2由、组成方程组解得。，b = 2结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纟氏片6.5cm的长边上 截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13 x3x2x4 = 13 12 =)2,恰好等于中间的小正方形的面积.于是，得到以下分剧拼合方法：卩3 cm3cm 0.5cm|JTT少 /、解題后的思考二这是一道综合题，根据题目所扌是供的信息是不难解决 问题的，但是，要注意举握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问 题就不容易得到解决.P知识点四.妙应用勾股定理卩例二如图，以等腰三角形AOB的斜辺为直角辺向外作第2个等腰直角 三角财ABAp再以等Bf直角三角形AB山的

12、斜边为直角边向外作第3个等 樱直角三角形AiBBp，如此作下去，若0 A=OB=b则第n个等腰 直角三角形的酝积鼻=- 21) J意分析；本题若查利用勾股定理进行归纳推理2）解題思路：先在世ZAB0中，由OA=OB = 1求出AB=返：再 在R1AAB处中，由AB=A Ax= 2求出A山=2, ；再分别求出 AOB、AABAis AAiBBis的面积，从中发现规律，猜想出结论。“在 RtAAB0 中，由ZAOB = 90, OA=OB = 1 可求出SjT 2aob= 2 xx = 2 =y 在現 AB Ai 中，由Z直i占B=90, AB=AAi=1血，可求出AB=2, S2=2x72 x

13、= l=2；在妙知盹】中，由Z1AiBBi=90% AiB=BBi=2,可求出 AiBi=2血，S3=2 x2x 2=2=21.在 RtAAj B2Bi 中，由ZB2AlB1 = 90% A1B1=ALB2= 2,可2求出B1B2=4, S4= 2 x2庞x2庞=4=22；,由此可以犒想加严2.a解题后09思歩类比归纳法是囱种或种以上在某些关糸上表现相似 的对彖进行对比，作出归纳利断的一种科学研究方法.在中考数:学中考查 类比归纳法，旨衽引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线， 由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生拿握知识內在的规律。 P预习导学亠下一讲我们将讲解四边形的应用

14、，本讲内容是中考重点之一，如特殊 四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等膊梯形）的性质和判定， 以及运用这些知识解决实际间题.中考中常以选择题、坡空题、解答题和 证明题等彩式呈现，近年的中考中又出现了开啟题、应用题、阅凌理解题、 学科间综合题、动点问题、折蛊问题等，这些都是热点题型，应引起同学 们高度关注.3同步练习（答题吋间:60分钟）aD. 3叫在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文选择题卩1.如图，每个小正方形的边长为1, /、从C是小正方形的顶点，则厦 A5C的度数为（A. 902如图所示，盒、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米, AC=800

15、米，化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P处的 位貫应在（B. BC中电处 卩D. ZCffJ平分线与AB的交点处“A. AB中点处C. AC中点处3.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点鸟到点U的距离天5, 一只蚂瞅如果要沿着长方体册表面从点占爬到点 ,需要爬行的最愆距离 是（）卩二.塡空题4.某楼梯的侧酝视图如图所示，其中AB = 4米，ZC = 30* ,ZC=90,因某种活动要求铺设红色地毯，则在力$段楼梯所铺地毯的长 度应为O卩5. B5D RtAABC的周长是4亠牛疗.斜边上的中线长是2,则S顽=6如图，长方体的底面边长分别为lcm和3cm高为6cm

16、.如果用一根 细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点方，坯么所用细线最短需姜 cm；如果从点虫开始经过4个侧面缠绕乃圈到达点B,那么所用细线最短cm卩7.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直 角三角形围成的.在gtAABC cp,若直角边AC=6, BC=6,将四个直角三 垢形中边长为6的直毎辺分别向夕卜延长一倍，得到图乙所示的数学风车”, 则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是。卩&如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了建开拐角走“捷径3 在花圃內走出了一条“路他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.39. 如图所示的圆柱体中底而圆的半径是八 高为厶

17、若一只小虫从4点 出灰沿希圆柱体的侧面爬行到0点，则小虫爬行的最短路程是（结 果保笛根号人d三、解答题卩io.如图，a,万是公路r仃为东西走向）两旁的两个村庄，/村到公路？ 的距离AC=lkm, B村到公路?的距离BD=2km, 村在/村的南偏东4亍 方向上卩（1）求出九行两村之间的距离：a（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站F,要求该 车站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点卩的位苴（保笛淆晰的作 图痕迹，芥简要写明作法）.a你热爱生命回?liB么别浪费时间，医为时由是俎成生智命的材料-富兰克林,试题答案卩1. （2+2）米2. 加3. 10, 2辭十16/ （或也6十64/）【解析】由题意得：细线从点卫 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,其最愆长度为将长方体的四个侧面展 开即可构成一个直角辺分别为8cm和6cm的直角三角形，所以细线的最短 长度应为10cm；当细线经过四个侧面畴 n圈时，到达点B的最短长度为 2丁9+6川（或 J36 + 64）cm“风车的外围周长7% 13+6）=726. 2血卩7. 解析；（1）片法一：设ABCD的交点为