新第十三章弯曲变形

1、新第十三章弯曲变形 13-1 13-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 13-2 13-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 13-3 13-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 13-6 13-6 简单静不定梁简单静不定梁 13-5 13-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 13-4 13-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 第十三章第十三章 弯曲变形弯曲变形 新第十三章弯曲变形 13.1 13.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 新第十三章弯曲变形 新第十三章弯曲变形 新第十三章弯曲变形 13.2 13.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程

2、)( 1 xfw )( 2 xf 新第十三章弯曲变形 新第十三章弯曲变形 x y w d d tan tan tan d d x y w 新第十三章弯曲变形 z EI M 1 2/32 )1 ()( 1 w w x 1)1 ( 2 w z EI xM w )( 新第十三章弯曲变形 13.3 13.3 用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形 z EI xM w )( CxxMwEIEId)( z DCxxxxMwEI d)d)( z 新第十三章弯曲变形 DCxxxxMwEI d)d)( z 0 x0| 0 x w0| 0 x 0 x 0| 0 x w0| 0 x lx 0| lx w0|

3、lx 新第十三章弯曲变形 CxxMEId)( z DCxxxxMwEI d)d)( z 021 | xax ww 021 | xax 新第十三章弯曲变形 B B w 新第十三章弯曲变形 )()(lxFxM )()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI 2 )( 2 1 d)( DCxlxFDxCxlxFwEI 32 )( 6 1 d)( 2 1 新第十三章弯曲变形 ClxFCxlxFwEIEI 2 )( 2 1 d)( DCxlxFDxCxlxFwEI 32 )( 6 1 d)( 2 1 0 x0 A 0 A w 0 2 1 2 CFl0 6 1 3 DFl 2 2 1 FlC 3

4、6 1 FlD EI Fl EI lxF 22 )( 22 EI Fl EI xFl EI lxF w 626 )( 323 新第十三章弯曲变形 EI Fl EI lxF 22 )( 22 EI Fl EI xFl EI lxF w 626 )( 323 EI Fl B 2 2 EI Fl wB 3 3 新第十三章弯曲变形 新第十三章弯曲变形 l Fb FA l Fa FB 11 x l Fb M )0( 1 ax )( 222 axFx l Fb M)( 2 bxa 新第十三章弯曲变形 11 x l Fb wEI 1 2 11 2 Cx l Fb EI 111 3 11 6 DxCx l F

5、b EIw )( 222 axFx l Fb wEI 2 2 2 2 22 )( 22 Cax F x l Fb EI 222 3 2 3 22 )( 66 DxCax F x l Fb EIw 新第十三章弯曲变形 1 2 11 2 Cx l Fb EI 111 3 11 6 DxCx l Fb EIw 2 2 2 2 22 )( 22 Cax F x l Fb EI 222 3 2 3 22 )( 66 DxCax F x l Fb EIw 新第十三章弯曲变形 axax 21 | 21 axax ww 21 | 21 0 21 DD )( 6 22 21 bl l Fb CC 0 1 x0

6、A w lx 0 B w 得： 新第十三章弯曲变形 )3( 6 222 11 lbx l Fb EI 1 223 11 )( 6 xlbx l Fb wEI 2 2 222 12 )( 3 )3( 6 ax b l lbx l Fb EI 3 22 222 22 )()( 6 ax b l xlbx l Fb wEI lx 2 EIl alFab B 6 )( ba EI blFb wl 48 )43( 22 2 新第十三章弯曲变形 13.4 13.4 用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形 新第十三章弯曲变形 2/ 2 qlM 新第十三章弯曲变形 解：解： CMCqC www EI M

7、l 16 2 CM w EI ql 384 5 4 Cq w EI ql EI Ml EI ql 384 17 16384 5 424 AMAqA AM EI Ml 3 Aq EI ql 24 3 EI ql EI Ml EI ql 24 5 324 33 新第十三章弯曲变形 新第十三章弯曲变形 CCB l wwtan 2 CB CC tan CCB l ww 2 EI ql EI l q 1288 ) 2 ( 4 4 C w EI ql EI l q 486 ) 2 ( 3 3 C EI qll EI ql EI ql wB 384 7 248128 434 EI ql CB 48 3 解：

8、解： 新第十三章弯曲变形 新第十三章弯曲变形 2 ql F 8 2 ql M 新第十三章弯曲变形 EI ql EI Ml BC 243 3 12 EI ql EI l q C 486 ) 2 ( 3 3 1 1288 ) 2 ( 4 4 1 ql EI l q wC EI qll w BC 482 4 12 EI ql BC 24 3 23 EI qll w BC 482 4 23 新第十三章弯曲变形 EI ql EI ql EI ql EI ql CCCC 48 242448 3 333 321 EI ql EI ql EI ql EI ql wwww CCCC 128 4848128 4

9、444 321 新第十三章弯曲变形 思考题（限思考题（限2 2分钟）分钟） 求梁跨中挠度和转角，求梁跨中挠度和转角， AB l / 2 q l / 2 C 新第十三章弯曲变形 q/2 q/2 q/2 = + 考察两梁变形 中点挠度 EI ql EI lq wB 768 5 384 )2/( 5 44 中点转角 EI qll EI q B 384 ) 2 ( 24 )2/( 3 3 新第十三章弯曲变形 一一 梁的刚度条件梁的刚度条件 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为 保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应满足刚 度条件(stiffness condition)： 式中l为跨

10、长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨 比)，q为许可转角。上列刚度条件常称为梁的刚度条件。 l w l w l wmax max 13.5 13.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 新第十三章弯曲变形 例例13-6 13-6 桥式起重机大梁最大载荷桥式起重机大梁最大载荷F=20kNF=20kN，梁体为，梁体为32a32a工字钢工字钢 ，E=210GPaE=210GPa， 。规定。规定 。校核大梁的刚度。（。校核大梁的刚度。（ 课后课后13-513-5题）题） ml76. 8 500 l w F l 解：查表得梁最大 挠度位于跨中， 绝对值 EI Fl wMAX 48 3 EI Fl l w M

11、AX 48 2 89 2 10111001021048 76. 820000 002. 0 500 1 001372. 0刚度满足 新第十三章弯曲变形 二二 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 (1) 增大梁的抗弯刚度EI 由于不同牌号的钢材弹性模量E大致相同(E210 GPa)， 故从增大梁的抗弯刚度来说采用高强度钢并无明显好处。 为增大钢梁的抗弯刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积 尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性 轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 新第十三章弯曲变形 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯 矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 2 2

12、 max 125. 0 8 ql ql M EI ql EI ql w 44 max 0130. 0 384 5 (2) 调整跨长和改变结构的体系 新第十三章弯曲变形 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示 的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为 而且跨中挠度减小为 2 2 max 0214. 0 2 ql qa MMMM BAC EI ql EI al qa EI alq ww C 4 2 2 4 max 616000. 0 16 2 2 2 384 25 (a) EI ql EI ql 44 013021. 0 384 5 对比 新第十三章弯曲变形 而此时外伸端D和E

13、的挠度也仅为 )(207000. 0 2 )2( 2 24 )2( 8 4 2 34 EI ql a EI al qa a EI alq EI qa ww ED 新第十三章弯曲变形 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里指增加梁的 支座使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加 一个可动支座，又如在简支梁的跨中增加一个可动支座。 新第十三章弯曲变形 13-613-6 简单静不定梁简单静不定梁 一一 基本概念基本概念 超静定梁：梁的约束力个数大于独立平衡方程数。 多余约束：多余的维持梁变形必须的约束。 超静定次数：等于多余约束或多余约束力的数目。 二二 求解方法求解方法 1.解除多余约束，选

14、取静定基，列静力平衡方程。 2.比较变形，列变形协调条件。 3.由物理关系建立补充方程。 4.综合三类方程求解约束力。 静定基：将超静定结构变成静定结构时的相当系统。 新第十三章弯曲变形 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A 求梁的约束力，梁的抗弯刚度 为EI。 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A 1 1）判定超静定次数，选取静定基）判定超静定次数，选取静定基 在梁的在梁的A A和和B B处共有处共有3 3个未

15、知力，个未知力， 独立平衡方程数等于独立平衡方程数等于2 2，所以是一，所以是一 次超静定问题。选取静定基如图次超静定问题。选取静定基如图 (b)(b)所示。在去掉约束处用一未知所示。在去掉约束处用一未知 力力 代替，如图代替，如图(c)(c)所示。所示。 By F 2 2）进行变形比较，列协调条件）进行变形比较，列协调条件 将图将图(c)(c)等效如图等效如图(d)(d)所示。所示。 (d) AB C FBy AB F C 0)()( By FBFBB yyy 三、例题三、例题 例例13-713-7 为了使静定基的变形与原超静定为了使静定基的变形与原超静定 梁相同，梁相同，B B处挠度必须是

16、处挠度必须是0 0，即为，即为 变形协调条件变形协调条件 新第十三章弯曲变形 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A (d) AB C FBy AB F C 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A FAy A C F C BA FBy F C BA A 3 3）由物理关系列力补充方程）由物理关系列力补充方程 查表可得，查表可得， EI Fa aa EI aF y FB 3 14 )29( 6 )2( )( 32 EI aF y By FB By 3 8 )( 3 0 3 8 3 14 3 3 EI aF EI Fa By 所以所以 FFBy 4 7 4 4）由整体平衡条件求其他约束力）由整体平衡条件求其他约束力 FF Fa M AyA 4 3 , 2 新第十三章弯曲变形 例例13-8 13-8 房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的 双跨梁，试做梁的剪力