一元二次方程综合培优1.

1、一元二次方程提高题21、已知x5x 200022、已知a22004a10,则 2a24007 a2004a 193、若 ab 1，且 5a2005a270, 7ba2005b 50，则一b4、已知方程2x22ax 3a 4 0没有实数根，则代数式 -2C、-4D、不存在答案：B考点：根的判别式。专题：计算题；转化思想。分析：先把方程变形为关于x的一兀二次方程x21 2y x 2y23y 10，由于此方程有解，所以 0,这样得到y的不等式4y2 8y 3 0，解此不等式，得到y的取值范围，然后 找到最大值。解答：把 x2 2y22xy x 3y 10看作为关于x的x2 1 2y x 2y2 3y

2、 1 0,且此方程有解，所以20,即 1 2y4 2y2 3y 10 4y28y 3 0 ,2y 3 2y 10.13,y故3y的最大值疋-222点评：本题考查了一兀二次方程 ax2bx c 0 ( a0 , a, b, c为常数）根的判别式。当0 ,方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根。同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。4、方程2x x2 -的正根的个数为（）xA、3个B、2个C、1个D、0个答案：D考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。2分析：此题实质是求函数 y! 2x x2和函数y2的图象在一、四象限有没有交点，根据x两个已知函数的

3、图象的交点情况，直接判断。2解答：设函数y, 2x x2，函数yx函数y, 2x x2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1, 1）,对称轴x 12函数y 的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限x2即方程2x x2-的正根的个数为0个。xx 3x 11的所有整数解的个数是（归纳：此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同 学们应该熟记且灵活掌握。A、2B、3C、4D、5答案：C考点：零指数幕。专题：分类讨论。分析：方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为5、方程x2)第2种可能：底数为1 ;第3种

4、可能：底数为 1，指数为偶数。解答：(1 )当x 3 0 ,或 1 ； (3)当 x2 x 11因而原方程所有整数解是 点评：本题考查了： a0 漏第3种可能情况而导致误选26、关于x的方程ax1-和13BA、答案:考点:分析:bx2 2x x 1 0时，解得x 3; (2)当x x 1 1时，解得x 2x 3为偶数时，解得x 13 ,2 , 1,1 共 4个。1 (a是不为0的任意数)以及1的任何次方都等于1。本题容易遗B,需特别注意。B、0的两根分别为丄和1223和1，则方程bx1C、1 和 13exa 0的两根为(1 丄和12解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解.因为方程的两个根

5、为3和1,所以方程可以方程因式为x 10，用含式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答：T ax2 bx c 0的两根为 3和13a3ax a 0整理得：ax2 2ax 3a 0/. b 2a, cc代入方程bx2 cx a 0，得：2ax21 , X212本题考查的是用因式分解法解b和e,然后把a 2x归纳：的式子表示元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含b, c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。7、实数x、y满足x2xy y22，记ux xy y ,则u的取值范围是()22A、-u 6B、一u 2C、1 u 6D、1u 233答案：A考点：完全平方公

6、式。专题：综合题。分析：把原式的xy变为2xy xy,根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为2xy 3xy，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出22xy的范围，最后利用已知 x22xy y2表示出x22 y ,代入到u中得到u 22xy,2 2xy的范围即为u的范围。解答:由x2 xy y22 得：x22xyy2 22xy 0 即 x y2 xy0，则 xy2由x2xyy22 得：x2 2xyy2 23xy0即x2y2 3xy 0，则 xy222 xy33不等式两边冋时乘以2得：42xy43两边同时加

7、上2得：422 2xy4322，即 2232xy 6 x2xy y22/2 2.xy 2xy 2 u xxy y22 2xy则u的取值范围是2 u 63点评：此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的 式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出u关于xy的式子，从而求出u的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方 和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方.2009 0 mn1，则丄m18、已知实数m, n满足m m 2009 0 , n考点:元二次方程根与系数的关系。分析:根据题意：由m2 m 20

8、090 得：20092009 0 得:2009 n1又因为mn 1 ,即一mn，因此可以把n作为兀二次方程22009x0的两根,由根与系数的关系得:12009解答:m 20092009二 20092009-mn把丄，mn作为一元二次方程 2009x2x 10的两根12009归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了mn 1这个条件隐含的题意。9、已知方程x2 2k 1x k2 2 0的两实根的平方和等于 11, k的取值是（ ）A、 3 或 1B、 3C、1D、3答案：C考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；

9、根的判别式。分析：由题意设方程x2 2k 1 x k2 2 0两根为石,x2 ,得石 x22k 1 ,2X1X2 k 2，然后再根据两实根的平方和等于11,从而解出k值。解答：设方程x2 2k 1 x k2 2 0两根为Xt , x2得x1X22k 1 , x1 x2k22,222T X1X211. X1X22X1X 2k122k2211解得k9二 k41或32 112k 1 24 k22 4k 90/ k归纳：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平 方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。10、设a, b是整数，方程x2 ax b 0有一个实数根是$7

10、 43，则a b 答案：3考点：一兀二次方程的解；二次根式的化简求值。专题：方程思想。分析：一个根,7 4 3 2 .3代入方程，得到a，b等式，再由a，b是整数，可以求出 a， b的值。解答：,7 4“ 3 2 ,3，把 2 .3 代入方程有：7 4. 3 2 . 3 a b 07 2a b 4 a ,30/ a, b是整数7 2a b 04 a 0归纳：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程， 由a, b是整数就可以求出 a,b的值。11、已知函数y x2 b 1 x c , (b, c为常数)，这个函数的图象与 x轴交于两个不同的 两点A ( X! , 0)和B ( X2 ,

11、0)且满足X2石1.(1) 求证：b 2 b 2c(2) 若t x1，试比较t2 bt c与x1的大小，并加以证明。考点：抛物线与x轴的交点。专题：证明题；探究型。分析：(1 )首先利用求根公式求出 x的值，再由x2 xi 1求解；(2)已知x2b1 Xc Xx1XX2推出tX1 tx21 根据tX1推出答案。解答:证明：(1)：令y x2 b1 Xc中y0得到x2b 1 x c 0 Xb 1- b124c2又x2X11.b214c 1 b2 2b1 4c 1 b 2 b2c(2)由已知 x2bxc X X1XX2X tbtc tX! tX2t t2btc XttXttX2 tXxt X! t

12、x21 tX1 tx10T X2X11 tX1x21- tX21 0 tX12tx210即 t bt c X!归纳:综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。12、已知关于 x的方程a 2 x2 2ax a 0有两个不相等的实数根 X!和x?，并且抛物线 y x2 2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。（1）求实数a的取值范围；（2）当引卜22 . 2时，求a的值。考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。分析：（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出 a的取值范围。设抛物线y x2 2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点的坐标分别为（

13、，0）、（ ，0），且，二、是x2 2a 1 x 2a 5 0的两个不相等的实数根，再利用x2 2a 1 x 2a 5 0的根的判别式求a的取值范围，又抛物线y x2 2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点分别位于点 （2, 0） 的两旁，利用根与系数的关系确定；（2）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。解答：解:（1）：关于x的方程a 2 x22ax a 0有两个不相等的实数根a 20 22a 4a a 20解得：a 0 ,且a 2设抛物线y x2 2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点的坐标分别为 （，0）、（, 0）,且二、是x22a 1 x 2a 5 0的两个不相等的实数根2

14、a 1 24 1 2a 5 2a 1 2210 a为任意实数由根与系数关系得：2a 1 ,2a 5抛物线y x2 2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点分别位于点（2, 0）的两旁2 ,222 024 0 2a52 2a140解得：a332由、得a的取值范围是a02(2)v xi和x2是关于x的方程a 2 x2 2ax a 0的两个不相等的实数根二 X12aX1X2a2a2a 23caa 0a 20X1X202a 2不妨设x 0,X20I|X2X1X22、2 2 X!2xtX22X28，即Xx2 24片 x282a214a8解这个方程，得：a14, a21a2a 2经检验,a4a222 a1都

15、是方程-4a 8的根a 2 a 2a 4，舍去 a1为所求。2归纳：本题综合性强，考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用。13、已知方程ax4a 3x2 3a 0的一根小于2，另外三根皆大于1，求a的取值范围。解答：设ax4a 3 x2 3a 0的4个根分别为石，x，x?， x?，且 為即 x12 ；x2X1 ,X2为方程f y2aya3 y 3a10的两个根- 2 一 -23 6、33 6、3a 312a0,a0,解得a,a 01111(1)若 a 0 , f10,f 10 , f:2 03aa 3 3a 0a4aa 3 3a 0，解得a14a2a 6 3a06a5不符合

16、题意，舍去。(2)若 a 0 , f10,f 10 , f:2 01，即1X2aa 3 3a 0a34aa 3 3a 0 ，解得a14a2a 6 3a 06a55即 a 1 故a的取值范围为:614、已知关于x的方程x2 2x k 0有实数根Xi , X2且y x； x；，试问：y值是否有最 大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。考点：根与系数的关系；根的判别式。分析：若一元二次方程有实数根，则根的判别式0，由此可求出k的取值范围；依据根与系数的关系，可求出 人x；及XiX；的表达式；然后将y的表达式化为含两根之和与两根之积的形式，即可得到关于y、k的关系式,联立k的取值范围，即

17、可求得y的最小值。解答：/ x22x k 0实数根 224k 0 k1 X!X22 ,x/2k y X x；x12X2 X1X23x1x22 4 3k 86k，即 y8 6k k 16k 68 6k8 6 2即y有最小值为2.归纳：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，能够正确得出关于y、k的关系式是解答此题的关键。215、求所有有理数q,使得方程qx q 1 x q 10的所有根都是整数。考点：一元二次方程的整数根与有理根。专题：计算题；分类讨论。分析：对q 0和q 0进行讨论。q 0时，原方程是关于x的一次方程，可解得x 1 ； q 0 时，原方程是关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1 x2 -q1 1 -1，q qX1X2q1 11一，消q变形得x11 X213，利用整数的性质得到X14洛0或qqx22x21再由即可求出q -解答:解:当q 0时，原方程变为:X 10，解得x 1 ；当q0时，原方程是关于 X的一元1一次方程,设它的两个整数根为x1 ,X2