（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 2 证明不等式的基本方法课件 理 新人教A版选修4-5

1、第二节 证明不等式的基本方法 (全国卷5年5考) 1.1.比较法比较法 2.2.综合法综合法 一般地一般地, ,从从_出发出发, ,利用利用_、公理、公理、_、 性质等性质等, ,经过一系列的经过一系列的_、_而得出命题成立而得出命题成立, , 这种证明方法叫做综合法这种证明方法叫做综合法. .综合法又叫综合法又叫_或由或由 因导果法因导果法. . 已知条件已知条件定义定义定理定理 推理推理论证论证 顺推证法顺推证法 3.3.分析法分析法 证明命题时证明命题时, ,从从_出发出发, ,逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的 _,_,直至所需条件为直至所需条件为_或或_ _(_(定义、公理或已证明

2、的定理、性质等定义、公理或已证明的定理、性质等),),从而得从而得 出要证的命题成立出要证的命题成立, ,这种证明方法叫做分析法这种证明方法叫做分析法, ,这是一这是一 种执果索因的思考和证明方法种执果索因的思考和证明方法. . 要证的结论要证的结论 充分条件充分条件已知条件已知条件一个明显成立一个明显成立 的事实的事实 【常用结论常用结论】 1.1.重要不等式重要不等式 (1)a(1)a2 2+b+b2 22ab, ab,a2ab, ab,a2 2+b+b2 2 . . (2)a,bR(2)a,bR+ +,a+b2 ,a,bR, 2.,a+b2 ,a,bR, 2. (3)a(3)a2 2+b

3、+b2 2+c+c2 2ab+ac+bc.ab+ac+bc. 2 ab () 2 2 (ab) 2 ab ab ba 2.2.证明不等式的方法证明不等式的方法 (1)(1)比较法比较法: :包括作差、作商比较包括作差、作商比较. . (2)(2)分析法分析法: :执果索因执果索因. . (3)(3)综合法综合法: :由因导果由因导果. . (4)(4)反证法反证法: :否定结论否定结论, ,推出矛盾推出矛盾. . 考点一综合法证明不等式考点一综合法证明不等式 【题组练透题组练透】 1.(20181.(2018贵阳模拟贵阳模拟) )已知已知a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数. . (1)(

4、1)若若ab+bc+ca=3,ab+bc+ca=3,求证求证:a+b+c3.:a+b+c3. (2)(2)若若a+b=1,a+b=1,求证求证: 9.: 9. 22 11 (1)(1) ab 【证明证明】(1)(1)因为因为a a2 2+b+b2 22ab,b2ab,b2 2+c+c2 22bc,c2bc,c2 2+a+a2 22ca2ca三三 式相加可得式相加可得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca,ab+bc+ca, 所以所以(a+b+c)(a+b+c)2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca(ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca(

5、ab+bc+ca)+ 2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9,2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9, 又又a,b,ca,b,c均为正整数均为正整数, ,所以所以a+b+c3a+b+c3成立成立. . (2)(2)因为因为a,ba,b为正实数为正实数,a+b=1,a+b=1,所以所以a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=1,=1, 所以所以 当且仅当当且仅当 , ,即即a=b= a=b= 时时, ,“= =”成立成立. . 22 11 (1)(1) ab 2222 22 a2abba2abb (1)(1) ab 22 22 2bb2aa2a2b2a2b ()()5

6、529. aabbbaba 2a2b ba 1 2 2.2.求证求证: 2(a+b+c).: 2(a+b+c). 【证明证明】因为因为 +b2a, +b2c, +c2b,+b2a, +b2c, +c2b, +c2a, +a2c, +a2b; +c2a, +a2c, +a2b; 所以所以 4(a+b+c),4(a+b+c), 222222 acbacb bca 2 a b 2 c b 2 b c 2 a c 2 c a 2 b a 222222 acbacb bbccaa bbccaa 即即 +2(a+b+c)4(a+b+c), +2(a+b+c)4(a+b+c), 故故 2(a+b+c). 2

7、(a+b+c). 222222 acbcab bac 222222 acbcab bac 【规律方法规律方法】 综合法证明不等式的方法综合法证明不等式的方法 (1)(1)综合法证明不等式综合法证明不等式, ,要着力分析已知与求证之间要着力分析已知与求证之间, ,不不 等式的左右两端之间的差异与联系等式的左右两端之间的差异与联系. .合理进行转换合理进行转换, ,恰恰 当选择已知不等式当选择已知不等式, ,这是证明的关键这是证明的关键. . (2)(2)在用综合法证明不等式时在用综合法证明不等式时, ,不等式的性质和基本不不等式的性质和基本不 等式是最常用的等式是最常用的. .在运用这些性质时在

8、运用这些性质时, ,要注意性质成立要注意性质成立 的前提条件的前提条件. . 考点二分析法证明不等式考点二分析法证明不等式 【典例典例】(2019(2019洛阳模拟洛阳模拟) )已知已知m0,a,bR,m0,a,bR,用分析法用分析法 证明证明: .: . 22 2 ambamb () 1m1m 【证明证明】因为因为m0,m0,所以所以1+m0,1+m0, 要证要证: .: . 即证即证(a+mb)(a+mb)2 2(1+m)(a(1+m)(a2 2+mb+mb2 2),), 即证即证m(am(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)0,)0, 即证即证(a-b)(a-b)2 20,0,而而(

9、a-b)(a-b)2 20,0,显然成立显然成立, , 故故 . . 22 2 ambamb () 1m1m 22 2 ambamb () 1m1m 误区警示误区警示: :利用分析法证明不等式容易出现步骤格式错利用分析法证明不等式容易出现步骤格式错 误误, ,应严格按照分析法的步骤证明应严格按照分析法的步骤证明. . 【规律方法规律方法】 分析法证明不等式应注意的问题分析法证明不等式应注意的问题 (1)(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式 和逻辑推理的基本理论和逻辑推理的基本理论. . (2)(2)注意从要证不等式出发注意从要证不等式出

10、发, ,逐步寻求使它成立的充分逐步寻求使它成立的充分 条件条件, ,最后得到的充分条件是已知最后得到的充分条件是已知( (或已证或已证) )的不等式的不等式. . (3)(3)注意恰当地用好反推符号注意恰当地用好反推符号“ ”或或“要证明要证明”“”“只只 需证明需证明”“”“即证明即证明”等词语等词语. . 【对点训练对点训练】 若若aR,bRaR,bR且且a0,b0,2ca+b.a0,b0,2ca+b. (1)(1)综合法证明综合法证明:c:c2 2ab.ab. (2)(2)分析法证明分析法证明:c- ac+ .:c- a0,b0,a0,b0,所以所以2ca+b2 ,2ca+b2 , 所以

11、所以c 0.c 0.故故c c2 2ab.ab. ab ab (2)(2)要证明不等式成立要证明不等式成立, ,只要证只要证 即只要证明即只要证明|a-c| ,|a-c| , 即证即证(a-c)(a-c)2 2cc2 2-ab,-ab,只需证只需证a(a+b-2c)0.a(a+b-2c)0,2ca+b,a0,2ca+b, 所以所以a(a+b-2c)0a(a+b-2c)0,b0,a0,b0,求证求证: : ab ab. ba 【证明证明】因为因为 ab ()( ab) ba ab (b) (a) ba abba ba (ab)( ab) ab 所以原不等式成立所以原不等式成立. . 2 ( ab

12、)( ab) 0 ab ， 【状元笔记状元笔记】 1.1.作差法的一般步骤作差法的一般步骤 作差作差变形变形判号判号结论结论 2.2.对于较为复杂的证明问题对于较为复杂的证明问题, ,可以对要证明的式子适当可以对要证明的式子适当 变形后再作差变形后再作差, ,可以使作差变得简洁可以使作差变得简洁, ,但要注意变形的但要注意变形的 等价性等价性 命题角度命题角度2 2作商法证明不等式作商法证明不等式 【典例典例】已知已知a,bRa,bR+ +, ,证明证明:a:aa ab bb baab bb ba a. . 【证明证明】因为因为 当当abab时时, 1,a-b0, 1,a-b0, 故故 1;1; 当当a=ba=b时时, =1,a-b=0, =1,a-b=0, 故故 =1;=1; ab ab ba a ba ( ) a bb ， a b ab a ( ) b a b ab a ( ) b 当当abab时时, 1,a-b0, 1,a-b1.