（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 2.4 指数函数课件 理 新人教A版

1、第四节 指 数 函 数(全国卷5年5考) 【知识梳理知识梳理】 1.1.有理数指数幂有理数指数幂 (1)(1)幂的有关概念幂的有关概念: : 正分数指数幂正分数指数幂: = : = (a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1).n1). 负分数指数幂负分数指数幂: = = : = = (a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1).n1). 0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0,00,0的负的负分数指数幂分数指数幂_._. m n a mn a m n a m n 1 a mn 1 a 没有意义没有意义 (2)(2)有理数指数幂有理数指数幂的性质的性质: : a ar

2、 ra as s=_(a0,r,sQ);=_(a0,r,sQ); (a(ar r) )s s=_(a0,r,sQ);=_(a0,r,sQ); (ab)(ab)r r=_(a0,b0,rQ).=_(a0,b0,rQ). a ar+s r+s a ars rs a ar rb br r 2.2.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 函数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1) 图象图象 a1a10a10a0,(a0,且且a1)a1) 图象图象 特征特征 在在x x轴轴_,_,过定点过定点(0,1)(0,1) 当当x x逐渐增大时逐渐增大时, ,图图 象逐渐上升象逐渐上升 当当x

3、x逐渐增大时逐渐增大时, ,图图 象逐渐下降象逐渐下降 上方上方 函数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1) 性性 质质 定义域定义域R R 值域值域_ 单调性单调性_ 函数函数 值变值变 化规化规 律律 当当x=0 x=0时时,_,_ 当当x0 x0 x0时时,_,_ 当当x0 x0 x0时时,_,_ (0,+)(0,+) 单调递增单调递增单调递减单调递减 y=1y=1 0y10y1y1 y1y1 0y10y0,a1)(a0,a1)的图象越高的图象越高, , 底数越大底数越大. . (2)(2)指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)的图象和性质跟的图象

4、和性质跟a a的取值的取值 有关有关, ,要特别注意应分要特别注意应分a1a1与与0a10a1来研究来研究. . 【基础自测基础自测】 题组一题组一: :走出误区走出误区 1.1.判断正误判断正误( (正确的打正确的打“”“”错误的打错误的打“”)”) (1) (1) 与与( )( )n n都等于都等于a(nNa(nN* *).).( () ) (2)2(2)2a a22b b=2=2ab ab. . ( () ) n a nn a (3)(3)函数函数y=32y=32x x与与y=2y=2x+1 x+1都不是指数函数 都不是指数函数. .( () ) (4)(4)若若a am ma0,(a0

5、,且且a1),a1),则则mn.m0a0且且a1.a1. (4)(4). .当当a1a1时时, ,由由a am maan n, ,得得mn,mn, 当当0a10a1时时, ,由由a am man.mn. nnnn a ,n a( a)a. a,n 为偶数， 为奇数 2.2.化简化简 (x0,y0)(x0,y0)得得 ( () ) A.2xA.2x2 2y yB.2xyB.2xy C.4xC.4x2 2y yD.-2xD.-2x2 2y y 84 4 16x y 【解析解析】选选D.D.因为因为x0,y0,x0,y0,所以所以 =(16x=(16x8 8yy4 4 =2x=2x2 2|y|=-2

6、x|y|=-2x2 2y.y. 84 4 16x y 1 4 ) 11 1 84 44 4 16xy 3.3.若函数若函数y=(ay=(a2 2-1)-1)x x在在(-,+)(-,+)上为减函数上为减函数, ,则实数则实数a a 的取值范围是的取值范围是_._. 【解析解析】由题意知由题意知0a0a2 2-11,-11,即即1a1a2 22,2, 得得- a-1- a-1或或1a .1a . 答案答案: :(- ,-1)(1, )(- ,-1)(1, ) 2 2 22 题组二题组二: :走进教材走进教材 1.(1.(必修必修1P59A1P59A组组T7T7改编改编) )已知已知 则则a,b,

7、ca,b,c的大小关系是的大小关系是 ( () ) A.abcA.abcB.acbB.acb C.bacC.bacD.cbaD.cbb1,ab1, 又又c= c= =1,=1,所以所以cba.cb0,(a0,且且a1)a1)的的 图象经过点图象经过点P ,P ,则则f(-1)=_.f(-1)=_. 1 (2) 2 ， 【解析解析】由题意知由题意知 =a=a2 2, ,所以所以a= ,a= ,所以所以f(x)= ,f(x)= , 所以所以f(-1)= f(-1)= 答案答案: : 1 2 2 2 x 2 () 2 1 2 ()2. 2 2 考点一指数幂的化简与求值考点一指数幂的化简与求值 【题组

8、练透题组练透】 1.1.若实数若实数a0,a0,则下列等式成立的是则下列等式成立的是 ( () ) A.(-2)A.(-2)-2 -2=4 =4 B.2a B.2a-3 -3= = C.(-2)C.(-2)0 0=-1=-1 D. D. 3 1 2a 1 4 4 1 (a) a 【解析解析】选选D.D.对于对于A,(-2)A,(-2)-2 -2= , = ,故故A A错误错误; ;对于对于B,2aB,2a-3 -3 = ,= ,故故B B错误错误; ;对于对于C,(-2)C,(-2)0 0=1,=1,故故C C错误错误; ;对于对于D. D. 1 4 3 2 a 1 4 4 1 (a). a

9、2.2.计算计算: : =_.=_. 21 10 32 27 ()(0.002)105223 8 【解析解析】原式原式= = 答案答案: : 21 32 27110 ()()1 850052 21 32 8 ()50010521 27 4167 10 510 520 1. 99 167 9 3.3.化简化简: : 7 3 3331 2 aaaa. 【解析解析】原式原式= = 7331 33 2222 aaaa 224 3322 333 aaaaa . 【误区警示误区警示】(1)(1)分数指数幂中的指数不能随便约分分数指数幂中的指数不能随便约分, , 例如要将例如要将 时必须认真考察时必须认真考

10、察a a的取值才能决定的取值才能决定, , 如如 (2)(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂结果不能同时含有根式和分数指数幂, ,也不能既有也不能既有 分母又有负分数指数幂分母又有负分数指数幂. . 21 42 aa写成 21 2 4 42 11111.，而无意义 【规律方法规律方法】 指数幂运算的一般原则指数幂运算的一般原则 (1)(1)有括号的先算括号里的有括号的先算括号里的, ,无括号的先做指数运算无括号的先做指数运算. . (2)(2)先乘除后加减先乘除后加减, ,负指数幂化成正指数幂的倒数负指数幂化成正指数幂的倒数. . (3)(3)底数是负数底数是负数, ,先确定符号先确定符号;

11、 ;底数是小数底数是小数, ,先化成分数先化成分数; ; 底数是带分数的底数是带分数的, ,先化成假分数先化成假分数. . (4)(4)若是根式若是根式, ,应化为分数指数幂应化为分数指数幂, ,尽可能用幂的形式表尽可能用幂的形式表 示示, ,运用指数幂的运算性质来解答运用指数幂的运算性质来解答. . 考点二指数函数的图象及其应用考点二指数函数的图象及其应用 【典例典例】(1)(1)函数函数f(x)=af(x)=ax-b x-b的图象如图所示 的图象如图所示, ,其中其中a,ba,b为为 常数常数, ,则下列结论正确的是则下列结论正确的是 ( () ) A.a1,b1,b0A.a1,b1,b0

12、 C.0a0 D.0a1,b0C.0a0 D.0a1,b0 (2)(2)若函数若函数f(x)=|2f(x)=|2x x-2|-b-2|-b有两个零点有两个零点, ,则实数则实数b b的取值的取值 范围是范围是_._. 【解析解析】(1)(1)选选D.D.由由f(x)=af(x)=ax-b x-b的图象可以观察出 的图象可以观察出, ,函数函数 f(x)=af(x)=ax-b x-b在定义域上单调递减 在定义域上单调递减, ,所以所以0a1.0a1.函数函数 f(x)=af(x)=ax-b x-b的图象是在 的图象是在f(x)=af(x)=ax x的基础上向左平移得到的的基础上向左平移得到的,

13、, 所以所以b0.b0. (2)f(x)=|2(2)f(x)=|2x x-2|-b-2|-b有两个零点有两个零点, , 等价于等价于 有两个交点有两个交点( (如图如图),),可知可知0b2.0b0,a1)(a0,a1)的图象可能是的图象可能是 ( () ) 1 a 【解析解析】选选D.D.当当a1a1时函数单调递增时函数单调递增, ,且函数图象过点且函数图象过点 因为因为01- 1,01- 1,故故A,BA,B均不正确均不正确; ;当当0a10a1时时, , 函数单调递减函数单调递减, ,且函数恒过点且函数恒过点 因为因为1- 0,1- 0,a1)(a0,a1)的图象的图象, ,应抓住应抓住

14、 三个关键点三个关键点:(1,a),(0,1), :(1,a),(0,1), 1 ( 1). a ， (2)(2)与指数函数有关的函数的图象的研究与指数函数有关的函数的图象的研究, ,往往利用相往往利用相 应指数函数的图象应指数函数的图象, ,通过平移、对称变换得到其图象通过平移、对称变换得到其图象. . (3)(3)一些指数方程、不等式问题的求解一些指数方程、不等式问题的求解, ,往往利用相应往往利用相应 的指数型函数图象数形结合求解的指数型函数图象数形结合求解. . 【对点训练对点训练】 1.1.函数函数f(x)=af(x)=ax-1 x-1(a0,a1) (a0,a1)的图象恒过点的图象

15、恒过点A,A,下列函数下列函数 中图象不经过点中图象不经过点A A的是的是 ( () ) A.y= B.y=|x-2|A.y= B.y=|x-2| C.y=2C.y=2x x-1 D.y=log-1 D.y=log2 2(2x)(2x) 1x 【解析解析】选选A.A.易知易知A(1,1),A(1,1),经验证可得经验证可得y= y= 的图象的图象 不经过点不经过点A(1,1).A(1,1). 1x 2.2.方程方程2 2x x=2-x=2-x的解的个数是的解的个数是_._. 【解析解析】方程的解可看作函数方程的解可看作函数y=2y=2x x和和y=2-xy=2-x的图象交点的图象交点 的横坐标

16、的横坐标, ,分别作出这两个函数图象分别作出这两个函数图象( (如图如图).). 由图象得只有一个交点由图象得只有一个交点, ,因此该方程只有一个解因此该方程只有一个解. . 答案答案: :1 1 考点三指数函数的性质及其应用考点三指数函数的性质及其应用 【明考点明考点知考法知考法】 指数函数的性质是高考的重点指数函数的性质是高考的重点, ,主要考查利用函数主要考查利用函数 的单调性比较大小或求最值的单调性比较大小或求最值, ,主要以选择题或填空题的主要以选择题或填空题的 形式呈现形式呈现. .指数函数的单调性是由底数指数函数的单调性是由底数a a决定的决定的, ,因此解因此解 题时通常对底数

17、题时通常对底数a a按按0a10a1a1进行分类讨论进行分类讨论. . 命题角度命题角度1 1指数函数单调性的应用指数函数单调性的应用 【典例典例】(1)(1)已知已知f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x -x, , 则则f(a),f(b)f(a),f(b)的大小关系是的大小关系是_._. 11 54 79 a()b() 97 ， 【解析解析】易知易知f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x -x在 在R R上为增函数上为增函数, , 又又a= a= 所以所以f(a)f(b).f(a)f(b). 答案答案: :f(b)f(a)f(b)f(a) 111 544 799 ()()()b.

18、977 (2)(2)设函数设函数f(x)= f(x)= 若若f(a)1,f(a)1,则实则实 数数a a的取值范围是的取值范围是_._. x 1 ()7x0 2 xx0 ， ， 【解析解析】当当a0a0时时, ,不等式不等式f(a)1f(a)1可化为可化为 -71,-71, 即即 8,8,即即 因为因为0 1,0 -3,a-3, 所以所以-3a0;-3a0; 当当a0a0时时, ,不等式不等式f(a)1f(a)1可化为可化为 1,1,所以所以0a1.0a1. 故故a a的取值范围是的取值范围是(-3,1).(-3,1). 答案答案: :(-3,1)(-3,1) a 1 () 2 a 1 ()

19、2 a3 11 ()() 22 ， 1 2 a 【状元笔记状元笔记】 利用单调性比较幂值大小的关注点利用单调性比较幂值大小的关注点 (1)(1)比较指数幂的大小常利用指数函数的单调性及中间比较指数幂的大小常利用指数函数的单调性及中间 值值(0(0或或1).1). (2)(2)利用指数函数的单调性解不等式最重要的是利用指数函数的单调性解不等式最重要的是“同底同底” 原则原则. . 命题角度命题角度2 2探究指数型函数的性质探究指数型函数的性质 【典例典例】(1)(2017(1)(2017北京高考北京高考) )已知函数已知函数f(x)=3f(x)=3x x- - , , 则则f(x)f(x)( (

20、) ) A.A.是偶函数是偶函数, ,且在且在R R上是增函数上是增函数 B.B.是奇函数是奇函数, ,且在且在R R上是增函数上是增函数 C.C.是偶函数是偶函数, ,且在且在R R上是减函数上是减函数 D.D.是奇函数是奇函数, ,且在且在R R上是减函数上是减函数 x 1 () 3 【解析解析】选选B.B.因为函数因为函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R, f(-x)=3f(-x)=3-x -x- - 所以函数所以函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数. . 因为函数因为函数y= y= 在在R R上是减函数上是减函数, , xxx 11 ()()3f x 33 ， x 1 ()

21、3 所以函数所以函数y=- y=- 在在R R上是增函数上是增函数. . 又因为又因为y=3y=3x x在在R R上是增函数上是增函数, , 所以函数所以函数f(x)=3f(x)=3x x- - 在在R R上是增函数上是增函数. . x 1 () 3 x 1 () 3 (2)(2018(2)(2018潍坊模拟潍坊模拟) )函数函数f(x)= f(x)= 的单调减区的单调减区 间为间为_._. 2 x2x 1 1 () 2 【解析解析】设设u=-xu=-x2 2+2x+1,+2x+1, 因为因为y= y= 在在R R上为减函数上为减函数, ,所以函数所以函数f(x)= f(x)= 的减区间即为函

22、数的减区间即为函数u=-xu=-x2 2+2x+1+2x+1的增区间的增区间. .又又u=-xu=-x2 2+2x+1+2x+1 的增区间为的增区间为(-,1.(-,1. 所以所以f(x)f(x)的减区间为的减区间为(-,1.(-,1. 答案答案: :(-,1(-,1 2 x2x 1 1 () 2 u 1 () 2 【状元笔记状元笔记】 求解与指数函数有关的复合函数问题的策略求解与指数函数有关的复合函数问题的策略 (1)(1)明确复合函数的构成明确复合函数的构成. . (2)(2)涉及值域涉及值域, ,单调区间单调区间, ,最值等问题时最值等问题时, ,都要借助都要借助“同同 增异减增异减”这

23、一性质分析判断这一性质分析判断. . 【对点练对点练找规律找规律】 1.(20161.(2016全国卷全国卷)已知已知 则则( () ) A.bacA.bac B.abc B.abc C.bcaC.bca D.cab D.cab 421 353 a2b4c25， 【解析解析】选选A.A.因为因为 函数函数f(x)= f(x)= 在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,所以所以 所以所以 bac.bac. 4212 3333 a24 ,c255， 2 3 x 2222 3353 4544，又， 2.2.已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2|2x-m| |2x-m|(m (m为常数为

24、常数),),若若f(x)f(x)在区间在区间 2,+)2,+)上单调递增上单调递增, ,则则m m的取值范围是的取值范围是_._. 【解析解析】令令t=|2x-m|,t=|2x-m|,则则t=|2x-m|t=|2x-m|在区间在区间 上单上单 调递增调递增, ,在区间在区间 上单调递减上单调递减. .而而y=2y=2t t在在R R上单调上单调 递增递增, ,所以要使函数所以要使函数f(x)=2f(x)=2|2x-m| |2x-m|在 在2,+)2,+)上单调递增上单调递增, , 则有则有 2,2,即即m4,m4,所以所以m m的取值范围是的取值范围是(-,4.(-,4. 答案答案: :(-,

25、4(-,4 m ) 2 ， m ( 2 ， m 2 3.3.已知实数已知实数a1,a1,函数函数f(x)= f(x)= 若若f(1-a)=f(1-a)= f(a-1),f(a-1),则则a a的值为的值为_._. x a x 4x0 2x0 ， ， 【解析解析】当当a1a1a1时时, ,代入不代入不 成立成立. .故故a a的值为的值为 . . 答案答案: : 1 2 1 2 1 2 思想方法系列思想方法系列33指数函数中的分类与整合思想指数函数中的分类与整合思想 【思想诠释思想诠释】分类与整合就是所给变量不能进行统一分类与整合就是所给变量不能进行统一 研究时研究时, ,要分类研究要分类研究, ,再整合得到的结论再整合得到的结论. .指数函数的单指数函数的单 调性与底数的取值有关调性与底数的取值有关, ,如果底数是字母时如果底数是字母时, ,常分情况常分情况 讨论讨论. .解指数函数综合问题的两个注意点解指数函数综合问题的两个注意点: