2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)期中数学试卷(文科)

1、2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知集合 M=-1 ， 1 ，N=，则 MN=（）A. -1 ， 1B. -1C. 0D. -1 ， 02.已知=b+iab Ri为虚数单位，则a+b=（）（， ），其中A. -1B. 1C. 2D. 33. 已知向量 ( 1,1)， ( 2,2) 若 ( + )( - )，则 ()A. 4B. 3C. 2D. 14.要得到函数y=cos2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）（A. 向左平移1 个单位B. 向右平移 1个单位C. 向左

2、平移个单位D. 向右平移 个单位5.已知a=，b=，c=，则a b，c的大小关系为（），A.a B. cC. aD.c b cb ac ba b6.已知 F 1， F 2 是椭圆上的两个焦点，过F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A， B两点，若 ABF 2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A.B.C.D.7.执行程序框图，若输出的结果是，则输入的 a 为（）第1页，共 18页A.3B.6C.5D.48.若 y=aln x+bx2+x 在 x=1 和 x=2 处有极值，则a、 b 的值分别为（）A.B.C.D.9. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2

3、 ）（）A.B.C.D.10.ABC中，A=60 BC=，D是AB边上的一点，CD=CBD的面积为1，在 ， 则 BD 的长为（）A.B.4C. 2D. 111.已知sin（+ +cos -）=-，- 0cos +）等于（）（，则（A. -B.-C.D.12.定义在R上的函数y=fx，（x-f（x0（ ）满足） ，任意的x1 x2，都有 f （ x1） f（x2）是 x1+x2 5 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）第2页，共 18页13.设变量 x， y 满足约束条件则 z=3 x-2y 的

4、最大值为 _14.设双曲线=1（a 0， b 0）的渐近线与抛物线2y=x +1 相切，则该双曲线的渐近线方程为 _15.直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2 y-3=0 交于 A， B 两点，则 |AB|=_16.长方体 ABCD -A1B1C1D1 的各个顶点都在体积为的球 O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为 _三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17. 已知正项数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn， an， 成等差数列（ 1）证明数列 an 是等比数列；（ 2）若 bn=log 2an+3，求数列 的前 n 项和 Tn18. AB

5、C 中角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，且 b2+c2-a2 +bc=0 ，（ 1）求角 A 的大小；（ 2）若，求 ABC 面积 SABC 的最大值19. 如图，在四棱锥P-ABCDPAABCD AB=BC=2，中， 平面，AD=CD= ， PA =， ABC=120 ， G 为线段 PC 上的点，（ 1）证明： BD 平面 PAC（ 2）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值第3页，共 18页20.设椭圆 C：的左焦点为F ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线l 的倾斜角为60，（ 1）求椭圆 C 的离心率；（ 2）如果

6、 |AB|= ，求椭圆 C 的方程f x）=lnx- ax-1a R21. 已知函数 （）（ ）（ ）若 a=-2 ，求曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（1）处的切线方程；（ ）若不等式 f（ x）0 对任意 x（1， +）恒成立，求实数a 的取值范围22.在直角坐标系中，圆C1： x2+y2=1 经过伸缩变换后得到曲线C2 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos+2sin =（ 1）求曲线C2 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；（ 2）在 C2 上求一点M，使点 M 到直线 l 的距离最小，并求出最小距离

7、23. 已知函数 f（ x） =m-|x+4|（ m 0），且 f（ x-2） 0的解集为 -3 ， -1（ 1）求 m 的值；（ 2）若 a， b，c 都是正实数，且，求证： a+2b+3 c9第4页，共 18页第5页，共 18页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：? 2-1 2x+1 22?-1x+1 2-2x1，即N=-1 ，0?又 M=-1 ，1M N= -1 ，故选：BN 为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与 M 求交集求本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题2.【答案】 B【解析】解：由得 a+2i=bi-1 ，所以由复数相等的意 义知 a=-1，b=2

8、，所以a+b=1另解：由得-ai+2=b+i（a，bR），则 -a=1，b=2，a+b=1故选：B先化简复数，再利用复数相等，解出 a、b，可得结果本题考查复数相等的意 义、复数的基本运算，是基础题3.【答案】 B【解析】【分析】利用向量的运算法 则、向量垂直与数量积的关系即可得出熟练掌握向量的运算法 则、向量垂直与数量积的关系是解 题的关键【解答】解：，=（2 +3，3），=0，-（2 +3）-3=0，解得 =-3故选：B4.【答案】 C【解析】第6页，共 18页解：因为函数 y=cos（2x+1）=cos2（x+），所以要得到函数 y=cos（2x+1）的图象，只要将函数 y=cos2x

9、的图象向左平移个单位故选：C化简函数 y=cos（2x+1），然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可本题考查三角函数的 图象的平移 变换，注意平移时 x 的系数必 须是“1”5.【答案】 D【解析】【分析】本题考查指数函数与 对数函数的性 质，考查转化能力，属于基础题把 a，c 化为同底数，然后利用对数函数的 单调性及 1 的关系进行比较；判断b与 1 的大小关系即可得到 a、b、c 的大小排序【解答】解：a=，b=，c=，且5，b=，cab故选：D6.【答案】 B【解析】解：F1，F2 是椭圆上的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴 垂直的直 线交椭圆于 A，B 两点，若ABF 2 是正

10、三角形，可得，即，即：，解得 e=第7页，共 18页故选：B直接利用 椭圆的通经与焦距的关系，求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查7.【答案】 D【解析】解：第1 次循环，n=1，S=，第 2 次循环，n=2，S=，第 3 次循环，n=3，S=，第 4 次循环，n=4，S=，因为输出的结果为，所以判断框的条件 为 n 4?，所以输入的 a 为：4故选：D由题意按照循 环计算前几次 结果，判断最后循环时的 n 值，求出判断框的条件，即可得到输入的数值本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于中档题8.【答案】 D【解析】解：f （x）=+2bx+1，由已知得：

11、?，a=-，b=-，故选：D函数的极 值点处的导数值为 0，列出方程，求出 a，b 的值本题考查了导数的应用，考查函数极值的意义，是基本知识的考查9.【答案】 A【解析】第8页，共 18页解：由三视图可以看出，此几何体是一个 侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱 锥由图中数据知此两面皆 为等腰三角形，高为 2，底面边长为 2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两 侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为 ，将垂足与 顶点连接起来即得此两 侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为 2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两 侧面的面积皆为=，故此三棱 锥的全面

12、积为 2+2+=，故选：A由三视图可以看出，此几何体是一个 侧面与底面垂直的三棱 锥，垂直于底面的侧面是一个高 为 2，底边长也为 2 的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的 侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高 线，求出侧高与底面的 边长 ，用三角形面积公式求出此两 侧面的面积，将四个面的面积加起来即可本题考点是由三 视图求几何体的面 积、体积，考查对三视图的理解与 应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据 还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面 积与体积，本题求的是

13、三棱 锥的全面积，做本题时 要注意本 题中的规 律应用，即四个侧 面两两相等，注意到 这一点，可以大大降低运算量三 视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等10.【答案】 C【解析】第9页，共 18页【分析】根据三角形的面 积求出 sinBCD 和 cosBCD ，结合余弦定理 进行求解即可本题主要考查解三角形的 应用，根据余弦定理以及三角形的面 积公式进行求解是解决本 题的关键【解答】解：CBD 的面积为 1，S=CD?BCsinBCD=sinBCD=1，即 sinBCD=，A=60 ，cosBCD=，在三角形 BCD 中，BD 2=CD2+BC2-2CD?B

14、CcosBCD=2+10- 2?=12-8=4，则 BD=2，故ABD 错误，C 正确 .故选 C11.【答案】 C【解析】解：sin（+ ）+cos（-）=sin cos+cossin +sin = sin + cos = （ sin +cos ）= sin（+ ）=-，sin（+ ）=-又 cos（+ ）=cos（+ + ）=-sin（+ ），cos（+）=故选：C第10 页，共 18页利用和与差的正弦公式、 诱导公式对已知等式 进行变形转换，得到：sin（+ ）+cos（-）=sin（+ ），然后再利用诱导公式将 cos（+ ）转化为 -sin（+）的形式，即可解答本题考查了两角和与差的

15、三角函数， 诱导公式的应用，考查计算能力【答案】 C12.【解析】解：图线x=， f（x）=f （5-x），即函数y=f（x ）的 象关于直对称又因，故函数 y=f （x）在（，+）上是增函数再由对称性可得，函数 y=f （x）在（-， ）上是减函数任意的 x1x2，都有 f（x1）f（x2），故x1 和x2 在区间（-，）上，x1+x2 5反之，若 x则-x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近，1+x25， 有 x2由函数的 图象的对称性和单调性，可得 f（x1）f（x2）综上可得，“任意的x1x，都有 f（x）f（x ）”是“x5”的充要条件，2121+x2故选：C由题意可得 y=f

16、 （x）的图象关于直 线 x=对称，在（ ，+）上是增函数，在（-，）上是减函数根据任意的 x1 x2，都有 f（x1）f（x2），可得x1+x25由x1+x2 5 可得 x2 - -x1，即x1 离对称轴较远，故 f（x1）f（x2），由此得出结论 本题主要考查利用导数研究函数的 单调性，函数的图象的对称性的应用，充分条件、必要条件、充要条件的定 义，属于中档 题13.【答案】 4【解析】第11 页，共 18页解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数 z=3x-2y，当直线经过 A （0，-2）时，z 取到最大 值，Zmax=4故答案为：4先根据约束条件画出可行域， 设z=3x-2y

17、，再利用 z 的几何意 义求最值，只需求出直线 z=3x-2y 过可行域内的点 A 时，从而得到 z=3x-2y 的最大 值即可本题主要考查了用平面区域二元一次不等式 组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档 题目标 函数有唯一最 优 解是我 们最常 见的问题 ，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关 键点、定出最优解14.【答案】 y=2x【解析】解：双曲线的渐近线为 y= x，不妨取 y=x，代入抛物线得x=x2+1，即x2-x+1=0，渐线线2222要使近与抛物则，y=x +1 相切，=（ ）-4=0，即b =4a所以此双曲 线的渐近线方程是 y=2x，故答案为：y=2x求出双曲

18、 线的渐近线方程，代入抛物线，要使渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则 =0，即可得出结论 本题考查双曲线的几何性 质，考查直线与抛物线的位置关系，考查扇形的计算能力，正确设出双曲线的渐近线方程是关 键15.【答案】 2【解析】第12 页，共 18页圆 x2 2的圆心（0，-1为解：+y+2y-3=0），半径 ：2，圆心到直线的距离为：= ，所以 |AB|=2=2故答案为：2求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦 长的关系，求解即可本题考查直线与圆的位置关系的 应用，弦长的求法，考查计算能力16.【答案】 2【解析】设为则=，R=2，解： 球的半径R，从而长方体的对角线 d=2

19、R=4，设 AB=a ，BC=b，因为 AA 1=2则 a2+b2+22=16，a2+b2=12故=2，当且仅当时，四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 2故答案为：2利用体积求出 R，利用长方体的对角线 d=2R=4，得出 a2+b2=12，即可得出结论本题考查四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值，考查球的体积的计算，属于中档题17.【答案】 解：（ 1）证明：由Sn， an， 成等差数列，知2an=Sn+ ，当 n=1 时，有， ，当 n2时， Sn=2an- ， Sn-1=2an-1 - ，两式相减得 an=2 an-2an-1 （ n2），即 an=2an -1，由于 ann0=2n2

20、 为正项数列， a -1，于是有（），数列 an 从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，数列 an 是以 为首项，以2 为公比的等比数列第13 页，共 18页21=2n-2，（ ）解：由（）知 =log a +3=n+1，bn2n=，Tn=（） +（）+ +（） =【解析】题，易求，当 2时，两（1）由 意得 2a=2an-1-n=Sn+nSn=2an-Sn-1式相减得 an=2an-2an-1（n2），由递推式可得 结论；（2）由（1）可求=2n-2，从而可得 b ，进而有=，利n用裂项相消法可得 Tn；本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂 项相消法是高考考 查的重点

21、内容，应熟练掌握18.【答案】 解：（ 1） ABC 中， b2+c2-a2+bc=0 ， b2 +c2-a2=-bc因此 cosA=-A 为三角形的内角，A=；2 2 2（ 2） b +c -a +bc=0 ，a2=b2 +c2+bc=3，得 b2+c2=-bc+32bc解之得 bc1，当且仅当b=c=1 时等号成立ABC 面积 SABC= bcsinA=bc当且仅当b=c=1 时， ABC 面积 SABC 的最大值为【解析】（1）根据题中等式，利用余弦定理算出cosA=-，结合 A 为三角形的内角，可得A=；（2）利用基本不等式，算出 bc1，当且仅 当 b=c=1 时等号成立由此 结合正

22、弦定理的面 积公式，即可算出 ABC 面积 SABC 的最大值 本题给出三角形的 边之间的平方关系，求角的大小并依此求三角形面积的最第14 页，共 18页大值着重考查了正余弦定理解三角形、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题19.【答案】 证明：（ 1） 在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面ABCD ，PABD ，设 AC 与 BD 的交点为O，AB=BC=2， AD=CD =， PA=，BD 是 AC 的中垂线，故O 为 AC 的中点，且BD AC而 PAAC=A， BD平面 PAC解：（ 2）若 G 是 PC 的中点， O 为 AC 的中点，则 GO 平行且等于PA，故由 PA平面 A

23、BCD ，得 GO 面 ABCD ，GO OD，故 OD平面 PAC，故 DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角由题意可得GO= PA=，在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2=AB2+BC2-2AB ?BC?cosABC =4+4-2 22cos120 =12，AC=2， OC=，RtCOD 中， OD=2，RtGOD 中， tanDG 与平面 APC 所成的角的正切值为【解析】（1）推导出 PABD ，BD AC，由此能证明 BD 平面 PAC（2）由PA平面 ABCD ，得 GO面 ABCD ，DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角，由此能求出 DG 与平面 APC 所成的角的正

24、切 值本题考查线面垂直的 证明，考查线面角的正切 值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养A x1，y1）， B（ x2，y2），20.【答案】 解：设（由题意知 y1 0， y2 0（ 1）直线 l 的方程为，其中联立得第 15 页，共 18解得，因为，所以 -y1 =2y2即 -=2，解得离心率（ 6分）2， ?（ ）因为由得，所以，解得 a=3，故椭圆 C 的方程为（ 12 分）【解析】设线l 的方程，代入椭圆，得到A、B 的纵坐标，再由，（1）点斜式 出直求出离心率（2）利用弦长公式和离心率的 值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程本题考查椭圆的性质标和

25、准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，准确进行式子的 变形和求值，是解题的难点，属于中档题21.【答案】 解：（ ） 因为a=-2时， （），（）= +1f x=inx+x-1 fx所以切点为（ 1， 0）， k=f（ 1）=2 所以 a=-2 时，曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（ 1）处的切线方程为y=2x-2（ II ）（ i）由 f（ x） =ln x- a（ x-1），所以 f（ x）= - ，当 a0时， x（ 1， +）， f（ x） 0，f（x）在（ 1，+）上单调递增，f（ x） f（ 1）=0，a0不合题意当 a2即 01时， f（ x） = - 0，在（ 1， +）上恒成立，f（x）在（ 1，+）上单调递减，有f（ x） f （1） =0，a2满足题意若 0 a 2 即时，由 f（ x） 0，可得 1 x ，由 f（ x） 0，可得 x，第16 页，共 18页f（x）在上单调递增，在上单调递减，f（ ） f （1） =0 ，0 a 2 不合题意综上所述，实数a 的取值范围是 2， +）【解析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数 f（x ）在区间1，+）上的最大值即可