2019高数下试题及答案

1、第二学期期末考试试卷一、 填空题 （每空 3 分，共 15 分）1. 已知向量 arrb13,4,0 ,则以 ar ,br为边的平行四边形的面积等于 .12. 曲面 z sin xcosy 在点 , , 处442的切平面方程是 .223. 交换积分次序 0dx x f x,y dy .14. 对于级数1n （a 0），当 a 满足条件时收敛 .n 1a15. 函数 y 展开成 x 的幂级数为 .2x二、 单项选择题 （每小题 3 分,共 15 分）1. 平面 x 2z 0的位置是（ ）（A）通过 y轴（ B）通过 x 轴（C）垂直于 y轴（D）平行于 xoz 平面2. 函数 z f x, y

2、在点 x0,y0 处具有偏导数fx x0,y0 ， f y x0,y0 , 是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（）（ A）充要条件（ B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3. 设 z ex cosy xsin y ，则 dz x 1 （ ）A)ey0B) e(dx dy)C) e 1(dx dy)D) ex (dx dy)4. 若级数 an x 1 在 x n11处收敛，则此级数在 x 2 处（B）发散A）敛散性不确定C）条件收敛D）绝对收敛5. 微分方程 y xyx 的通解是（12xA) y e2 11xB) y e 212xC) y Ce 21xD) y

3、 Ce2三、 （本题满分8分)设平面通过点3,1, 2，而且通过直线 x5求该平面方程四、 （本题满分8分)设 z f xy,x yz2z试求 z 和 z x x y五、(本题满分 8 分 )，其中 f u,v具有二阶连续偏导数，计算三重积分 yzdxdydz ，其中 x,y,z 0 x 1, 1 y 1,1 z 2 六、（本题满分 8 分 ）22计算对弧长的曲线积分 L e x2 y2ds，其中 L 是圆周 x2 y2 R2在第一象限的部分七、（本题满分 9 分 ）计算曲面积分 xdydz zdzdx 3dxdy ，其中 是柱面x2 y2 1与平面 z 0和 z 1所围成的边界曲面外侧八、（

4、本题满分 9 分 ）求幂级数 nxn 1 的收敛域及和函数n1九、（本题满分 9 分 ） 求微分方程 y 4y ex 的通解十、 （本题满分 11 分）设 L 是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线， 其起点为 1,2 ，终点为 2,3 ，记 I L xy2 1 dx x2 y x2 dy L y y21证明曲线积分 I 与路径 L 无关；2求 I 的值 第二学期期 末考试试卷及答案 一、 填空题 （每空 3 分，共 15 分）1. 已知向量 arrb13,4,0 ,则以 ar ,br为边的平行四边形的面积等于 4492. 曲面 zsin xcosy 在点, ,1 处442的切平面方程是 x

5、 y 2z 1 02ydy f x,y dx .004. 对于级数1n 1ana 0），当 a 满足条件 a 1 时收敛 .223. 交换积分次序 0dx x f x,y dy0x15. 函数 y 1 展开成 x 的幂级数2xnxn1n 0 22x2二、 单项选择题 （每小题 3分,共 15 分）1. 平面 x 2z 0的位置是 （A）通过 y 轴B）通过 x 轴C）垂直于 y 轴D）平行于 xoz 平面2. 函数 z f x, y 在点 x0,y0处具有偏导数x x0,y0 ， f y x0,y0 ,数在该点可微分的A）充要条件B）充分但非必要条件C）必要但非充分条件D）既非充分又非必要条件

6、3. 设 z ex cosy xsin y ，则 dzx 1 ( B ) y0A)eB) e(dx dy)C) e 1(dx dy)D) ex (dx dy)4. 若级数 an x 1 在 x n11处收敛，则此级数在 x 2 处（A）敛散性不确定B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5. 微分方程 y xyx 的通解是（ D ）1x2( A) y e211x2( B) y e 2 11x2(C) y Ce 21x2(D) y Ce21三、 （本题满分 8 分 ）设平面通过点 3,1, 2，而且通过直线x5 4 y2 3 1z，求该平面方程解 : 由于平面通过点 A 3,1, 2 及直线上的点

7、B 4, 3,0 ，因而向量 AB1, 4,2 平行于该平面。该平面的法向量为 : nr (5,2,1) (1, 4,2) (8, 9, 22).则平面方程为 :8(x 4) 9(y 3) 22(z 0) 0.或：8(x 3) 9(y 1) 22(z 2) 0.即：8x 9y 22z 59 0.四、（本题满分 8 分 ）设 z f xy,x y ，其中 fu,v 具有二阶连续偏导数，解:试求 z 和2zf1 y f2f1y f211 x f12y f1f 21x f22xyf 11 x12 122五、（本题满分 8 分 ）计算三重积分 yzdxdydz ，其中 x, y, z 01, 1 y1

8、,1 z 2 1解 : zdxdydz dx0z22 dy zdz 1g2g12六、（本题满分 8 分 ）计算对弧长的曲线积分其中 L 是圆周 x2 y222L e x2 y2ds， R2在第一象限的部分22解法一 : Le x2 y2 dsR R R0 e R2 解法二 : Le x2 y2 dsdx2xReR arcsin xRRReR02eRds eRgL（ L的弧长）ReR2解法三 : 令 x Rcos ， y Rsin ， 022Le x y ds2 eRRdReR02七、（本题满分 9 分 ）计算曲面积分 xdydz zdzdx 3dxdy ，其中 是柱面x2y2 1与平面 z 0

9、和 z 1所围成的边界曲面外侧解:P x ,Q z,R 3,由高斯公式： xdydzzdzdx3dxdyRdvzdv八、（本题满分 9 分 ）求幂级数 nxn 1 的收敛域及和函数 n1解 : 收敛半径：limnana n 1易判断当1时，原级数发散。于是收敛域为1,1s x nx n n1xn1x1x九、 （本题满分 9 分 ）求微分方程 y 4 yex的通解解:特征方程为： r 2 4 0特征根为： r 2, ry 4 y 0的通解为：Y C1e2x C2e 2 x设原方程的一个特解为：yAex ,A 4 A ex e x3 A 1A13原方程的一个特解为：1x ye x3故原方程的一个通解为：y Y y C1e2 xC e 2x 1 exC 2 e e 23十、 （本题满分 11 分 ）设 L 是上半平面 y 0 内的有向分段光滑曲线， 其起点为 1,2 ，终点为 2,3 ，记 I L xy 2 1 dx x 2 y x2 dyL y y21证明曲线积分 I 与路径 L 无关；2求 I 的值证明 1:因为上半平面 G 是单连通域，在 G 内：P x , yxy2 1P x , y xy，Q x, y2xx y 2yy2有连续偏导数，且：P1Q1 P Q2 xy 2 ，2xy2 ， 。y y2xy2 y x所以曲线积分 I