3第三章(应变分析)[教资优择]

1、材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 变形的基本概念 a) 均匀拉伸 PP1 拉长变细 Q Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了 b) 金属在有 摩擦的平板间 压缩成鼓形 PP1 沿中心线压扁 Q Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了 R R1 成鼓形后有明显的角度偏转 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 c) 理想剪切 PP1 剪斜了 Q Q1 平移到Q1 ，未变形 d) 弯曲工序 PP1 缩短且转动一角度 Q Q1转动一角度，但未变形 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 由以上实例可以得到以下概

2、念： 1、变形 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短 切变形（角变形）：单元体发生畸变 纯变形 2、同一质点的不同方位，有不同的变形值点的应变状态 3、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。 4、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。 5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向 上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态” 的 概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相 似的性质。 6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-310-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变

3、形是大变形的基础。 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 3.1 、位移和应变、位移和应变 一、 位移及其分量 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 x x x r r 3.1 、位移和应变、位移和应变 二、 应变及其分量 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 (二) 应变及其分量 真实应变 变形体由 l0ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。 1 1 2 23 1 12 0 01 n nn l ll l ll l ll l ll 应用微分的概念 0 ln n l n l o ldl ll 自然应变（对数应

4、变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 对数应变的优点：对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况 将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开： 234 0 lnln(1) 234 n l l 只有当变形程度很小时，才 能近似等于 ，变形程度愈大， 误差也愈大 。 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 对数应变的优点： 2、具有可叠加性：总应变为各阶段应变之和。 0 l 拉伸 1 l 拉伸 2 l 拉伸 3 l 则： 0 03 03 l ll 2 23 23 1 12 12 0 01 01 ;

5、 l ll l ll l ll 而： 显然 23120103 对数应变 2 3 23 1 2 12 0 1 01 ln;ln;ln l l l l l l 03 0 3 2 3 1 2 0 1 231201 lnlnlnln l l l l l l l l 3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。 l 拉伸 l2l2 压缩 l和 %50 2 2 %;100 2 l ll l ll 则： %69 2 1 ln 2 ln%;692ln 2 ln l l l l 而： 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 x x x r r 3.1 、位移和应变、位

6、移和应变 二、二、 应变及其分量应变及其分量 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 体积不变条件： 0 zyx 对数应变表示的体积不变条件： 0ln lnlnln 000 111 0 1 0 1 0 1 hbl hbl h h b b l l hbl 塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。 3.2 塑性变形时的体积不变条件塑性变形时的体积不变条件 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析

7、zzyzx yzyyx xzxyx ij z yzy xzxyx ij 3.3 点的应变状态和应变张量点的应变状态和应变张量 jiijzxyzxyzyx l lnlmnlmnml)(2 222 jiijzxyzxyzyxr l lnlmnlmnml)(2 222 222 S 2 2 2 2 2 )()( rjijrir dxu 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的量来表示。与应力状态相似，如果

8、当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即张量之定义，即) , , ,;,(zyxrkzyxjill rjkiijkr ij为二阶对称张量为二阶对称张量 zzyzx yzyyx xzxyx ij z yzy xzxyx ij 3.3 点的应变状态和应变张量点的应变状态和应变张量 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 一、主应变及应变张量不变量一、主应变及应变张量不变量 过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向应变主方向（也称应 变主轴），

9、该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变主应变。 在主轴坐标系统中，应变张量为 3 2 1 00 00 00 ij 对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力 主方向重合。主方向重合。 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 应变张量不变量（应变张量不变量（多用多用 J 表示表示） 应变状态特征方程 0 32 2 1 3 JJJ 321 222 3 133221 222 2 3211 )(2 )()( xyzzxyyzxzxyzxyzyx zxyzxyxzzyyx zyx J J J 材料科学与工程学院 塑性成形力学

10、 塑性成形力学 应变分析应变分析 二、主切应变和最大切应变二、主切应变和最大切应变 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 1331 3223 2112 )( 2 1 31max 若123,则 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图。 a)压缩类变形 1321 ,0 b)剪切类变形(平面变形) 312 ,0 c)伸长类变形 特征应变特征应变为负应变， 另外两个应变为正应 变。 一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。 特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。 1321 ,0 三、主应变简图三、主应变简图

11、 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 八面体线应变 3 )( 3 1 )( 3 1 1 3218 J mzyx 八面体切应变 )(6)()()( 3 1 )()()( 3 1 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx 四、八面体应变四、八面体应变 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 mijij m m m mzzyzx yzmyyx xzxymx zzyzx yzyyx xzxyx ij 00 00 00 五、应变偏张量和应变球张量五、应变偏张量和应变球张量 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学

12、 应变分析应变分析 取八面体切应变绝对值的倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。 2 )(6)()()( 3 2 )()()( 3 2 2 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx 六、等效应变六、等效应变 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 4) 等效应力在等效应力在数值上数值上等于单向均匀拉伸等于单向均匀拉伸(或压缩或压缩)时的拉伸时的拉伸(或压缩或压缩) 应力应力1 ，即，即 2)等效应力没有特定的作用面；等效应力没有特定的作用面； 等效应力的特点等效应力的特点 1 1)等效应力是一个不变量；等效应力是一个不变量；

13、 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 )(6)()()( 2 1 )()()( 2 1 2 3 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx 比较： 等效应变的特点： 1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。 )(6)()()( 3 2 )()()( 3 2 2 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑

14、性成形力学 应变分析应变分析 (位移场和应变场之间的关系) 3.4 小应变几何方程小应变几何方程 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 (位移场和应变场之间的关系) 单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1 设ac=dx, acox轴，则 ab=dy, aboy轴 dy y v vdy y u u dx x v vdx x u u bb cc , , a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为： j j i i dx x u u 3.4 小应变几何方程小应变几何方程 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学

15、应变分析应变分析 几何关系：棱边ac 在 x 方向的线应变： () c c x dxuudx u dxdxx uu 棱边ab在y方向的线应变： () b b y dyvvdy v dyv dydyy dyy vv , , cc bb uv udxvdx xx uv udyvdy yy 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 由几何关系可得： 1 2 1 2 tan (1)1 b yx b uuubb abdyvvv uu dy yy vv dy yy x v xyxy tan同理： 因：1 y y v y u yxyx tan则 , , cc bb uv udxvdx

16、 xx uv udyvdy yy 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 工程切应变： x v y u yxxyyxxy 切应变： )( 2 1 x v y u yxxy 综合可得： )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx x v xyxy tan y u yxyx tan 简记为 )( 2 1 i j j i ij x u x u 即小应变几何方程即小应变几何方程 因： 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 )( 2 1 )( 2

17、 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx 简记为 )( 2 1 i j j i ij x u x u 即小应变几何方程即小应变几何方程 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为： u=(10+0.1xy+0.05z)10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)10-3 w=(10-0.1xyz)10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形

18、力学 应变分析应变分析 （应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程） 相加可得 yxx v y u yxx v yxy u yxxy xyy x 2 222 2 2 2 2 2 x u x 对y求两次偏导得 22 2 () x u x yy y y v y 对x求两次偏导得 )( 2 2 2 x v yx x y 3.5 应变连续方程程应变连续方程程 2 2 2 2 2 2 1 xyyx y x xy 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 （应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程） 同理 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

19、1 zxxz yzzy xyyx xzzx z yyz y x xy 每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系： 两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。 3.5 应变连续方程程应变连续方程程 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 用同样的方法 zyxzyx yxzyxz xzyxzy x yzxy zx z xy zx yz y zx yzxy 2 2 2 不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系： 在三维空间内三个切线应变分

20、量一经确定，则线应变分量随之被确定。在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定。 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量 自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有 当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。 应变连续方程位移分量（位移场） 需先满足 自然满足 才可用几何方程 用几何方程求解 ij 材料科学与

21、工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 一、速度分量和速度场一、速度分量和速度场 位移速度：位移速度：质点在单位时间内的位移。 t w w t v v t u u 位移速度位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数，故 ),( ),( ),( tzyxww tzyxvv tzyxuu 或 ),(tzyxuu ii 3.6 应变增量和应变速率张量应变增量和应变速率张量 位速度分量：位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量， 简称速度分量速度分量。 速度场 材料科学与工程学院 塑性成形力学 塑性成形力学 应变分析应变分析 二、位移增量和应变增量二、位移增量和应变增量 位移增量位移增量: 物体在变形过程中，在一个极短的 时间dt内，其质点产生极小的位移 变化量称为位移增量。 如图中的 矢量，记