弹塑性力学浙大

1、工程弹塑性力学工程弹塑性力学 绪论 0.1 课程研究对象、研究任务课程研究对象、研究任务 0.2 基本假定基本假定 0.3 几个基本概念几个基本概念 0.4 参考书目参考书目 0.1 弹塑性力学的研究对象和任弹塑性力学的研究对象和任 务务 弹塑性力学弹塑性力学: :研究可变形固体受到外荷载、温度研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。塑性变形和应力状态的科学。 固体力学的一个分支学科固体力学的一个分支学科 研究对象研究对象: : 对实体结构、板壳结构、杆件的进对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。一步分析。 P

2、 P P 研究方法研究方法: : 材料力学、结构力学材料力学、结构力学: :简化的数学模型简化的数学模型 研究任务研究任务: : 弹塑性力学弹塑性力学: :较精确的数学模型较精确的数学模型 建立并给出用材料力学、结构力学方建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。法无法求解的问题的理论和方法。 给出初等理论可靠性与精确度的度量。给出初等理论可靠性与精确度的度量。 学习目的学习目的: : 确定一般工程结构的弹塑性变形与内确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。力的分布规律。 确定一般工程结构的承载能力。确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、为

3、研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。稳定性打下理论基础。 0.2 基本假定基本假定 1).1).假定固体材料是连续介质假定固体材料是连续介质连续性假定连续性假定 2).2).物体为均匀的物体为均匀的各向同性各向同性的的 3).3).物体的变形属于物体的变形属于小变形小变形 4).4).物体原来是处于一种物体原来是处于一种无应力无应力的自然状态的自然状态 0.3 几个基本概念几个基本概念 张量的概念张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量

4、和矢量的概念是不够不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等 张量张量 关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=rn=3n 标量标量:n=0,:n=0,零阶张量零阶张量 矢量矢量:n=1,:n=1,一阶张量一阶张量 应力应力, ,应变等应变等:n=2,:n=2,二阶张量二阶张量 二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。 0.3 几个基本概念几个基本概念 为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区 别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法下标记号法。 123 ( , , )( ,(1,)2,3 i x y zx

5、 x xx i 下标记号法下标记号法: : ,(, ), xxxyxzyxyyyzzxijzyzz i jx y z 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N3) 内分别取数1，2，3，N 重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。 自由标号自由标号: : 哑标号哑标号: : 0.3 几个基本概念几个基本概念 当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程 N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定求和约定。 求和约定求和约定: : 1 12233 112233 1 12 23 3 ( :1,2,3 ( :,1,2,

6、3 ii ii Niij jiii a xa xa xa x ii Sllll iji j 哑标，） 自由下标，哑标，） d dij记号记号：Kroneker-delta记号记号 100 1, 010 0, 001 ijij ij ij dd 张量表示： 0.3 几个基本概念几个基本概念 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为： 张量的计算张量的计算: : ijkijkijk ABC 1 、张量的加减 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。 2 、张量的乘法 ijkl

7、ijkl a bC 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 3 、张量函数的求导 312 , 123 i i i i uuuu u xxxx 2 222 , , y ixz i jk jkjkjkjk u uuu u xxxxxxxx 0.4 主要参考书目主要参考书目 Foundations of Solid Mechanics 1 、Y.C.Fung(冯元桢) 2 、杨桂通 3 、徐秉业 A first course in continuum mechanics 固体力学导论固体力学导论 连续介质力学导论连续介质力学导论 弹塑性力学弹塑性力学 应用弹塑性力学应用弹塑性力学 第一章第

8、一章 弹塑性力学基础弹塑性力学基础 1.1 应力张量应力张量 1.2 偏量应力张量偏量应力张量 1.3 应变张量应变张量 1.4 应变速率张量应变速率张量 1.5 应力、应变应力、应变 Lode参数参数 0 lim n n A p A 1.1 应力张量力学的语言力学的语言 y x z O n n A 0 lim s n A p A C 过过C点可以做无点可以做无 穷多个平面穷多个平面K 不同的面上的应不同的面上的应 力是不同的力是不同的 到底如何描绘一到底如何描绘一 点处的应力状态点处的应力状态? ? 1).1).一点的应力状态一点的应力状态 一点的应力状态一点的应力状态 y x z O yx

9、 yz y yx yz y zx zy z xy xz x xy xz x zx zy z P A B C xxyxz ijyxyyz zxzyz 1.1 应力张量 一点的应力状态一点的应力状态可由过该点的微小可由过该点的微小 正平行六面体上的应力分量来确定。正平行六面体上的应力分量来确定。 应力张量应力张量 数学上，在坐标变换时，服从一数学上，在坐标变换时，服从一 定坐标变换式的九个数所定义的定坐标变换式的九个数所定义的 量叫做量叫做。 111213 212223 313233 ij 用张量下标记号法 下标下标1、2、3表示坐标表示坐标x1、 、x2、x3 即即x、y、z方向方向 (1.1)

10、 (1.2) 1.1 应力张量 2).2).一点斜面上的应力一点斜面上的应力( (不计体力不计体力) ) 11 22 33 cos( ,) cos( ,) cos( ,) n xl n xl n xl i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。 3 111 112 213 31 1 3 221 122 223 32 1 3 331 132 233 33 1 Nj j j Nj j j Nj j j Sllll Sllll Sllll 斜截面外法线斜截面外法线n n的方向余弦的方向余弦: : Niij j Sl 令斜截面令斜截面ABCABC 的面积为的面积为1 1 11 22 33 1

11、 cos( ,) 1 cos( ,) 1 cos( ,) OBC OAC OAB Sn xl Sn xl Sn xl (1.3)(1.4) 1.1 应力张量 斜截面斜截面OABC上的正应力上的正应力: 1 12 23 3 222 11 122 233 312 1 223 2 331 3 1 222 NNNN S lSlSl llll ll ll l 斜截面斜截面OABC上的剪应力上的剪应力: 2222 123NNNNN SSS (1.5) (1.6) 1.1 应力张量 3).3).主应力及其不变量主应力及其不变量 11 22 33 N N N Sl Sl Sl 主平面主平面: :剪应力等于零的

12、截面剪应力等于零的截面 主应力主应力-: :主平面上的正应力主平面上的正应力 111 112 213 3 221 122 223 3 331 132 233 3 N N N Slll Slll Slll 代入代入 11112 213 3 21 122223 3 31 132 2333 ()0 ()0 ()0 lll lll lll 采用张量下标记号采用张量下标记号 ()0 iijjj ld Kroneker delta记号 (1.7) (1.8)(1.9) 1.1 应力张量 d dij记号：记号：Kroneker-delta记号记号 1, 0, ij ij ij d 方向余弦满足条件：方向余弦

13、满足条件： 222 123 1lll 100 010 001 ij d 采用张量表示采用张量表示 1 i i ll 联合求解联合求解 l1,l2,l3： 11112 213 3 21 122223 3 31 132 2333 222 123 ()0 ()0 ()0 1 lll lll lll lll l1,l2,l3不全等于不全等于0 0 111213 212223 313233 0 (1.10) (1.11)(1.12) (1.13) 1.1 应力张量 联合求解联合求解 l1,l2,l3： 行列式展开后得：行列式展开后得： 1112233kk J 1122331223312132131331

14、22 233211122133 ()()()() ()()0 简化后得简化后得 32 123 0JJJ (1.14) 222333311112 2 212232331311 1 () 2 iikkikki J 111213 3212223 313233 ij J (1.15) 式中式中: 是关于是关于的三次方程，它的三个根，即为三个主的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。 主应力大小与坐标选择无关，故主应力大小与坐标选择无关，故 J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必与坐标选择无关。也必与坐标选择无关。

15、 123 ,:JJJ应力不变量 1.1 应力张量 若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：若坐标轴选择恰与三个主坐标重合： 1123 J 2122331 ()J 3123 J (1.16) 233112 123 , 222 主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为： (1.17) 主剪应力面主剪应力面( 1 ) 2 1 3 1 2 1 3 1 1.1 应力张量 最大最小剪应力：最大最小剪应力： 取取主方向为坐标轴取向主方向为坐标轴取向, ,则一点处任一截面上的剪应力的计算式则一点处任一截面上的剪应力的计算式: : 222222222222 1231 12

16、23 31 12 23 3 ()()()() NNNNN SSSllllll 222 123 1lll 消去消去l3： 22222222222 13123231312323 ()()()() N llll 22 11313123213 1 ()()()()0 2 lll 22 22313123223 1 ()()()()0 2 lll 由极值条件由极值条件 12 00 nn ll 及 1.1 应力张量 最大最小剪应力：最大最小剪应力： 22 11313123213 1 ()()()()0 2 lll 22 22313123223 1 ()()()()0 2 lll 12 00ll及 123 2

17、2 ;0; 22 lll 第一组解：第一组解： 12 00ll及 第二组解：第二组解： 2 l消去 第三组解：第三组解： 13 13 2 23 23 2 12 12 2 123 22 0 ; 22 lll 123 22 ;0 22 lll 它们分别作用它们分别作用 在与相应主方在与相应主方 向成向成4545的斜截的斜截 面上面上 123 max 13 min 2 因为：因为： 1.1 应力张量 4).4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3 沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八个面组成的图形，称为八面体八面体。 123 1

18、/3lll (1.19) 八面体的法线方向余弦：八面体的法线方向余弦： 八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为： 123 lll 222 123 1lll 八面体（每个坐标象限1个面） 123 arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll或或 11 1122 2233 33 /3,/3,/3PlPlPl (1.20) 1.1 应力张量 4).4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3 八面体面上八面体面上的正应力的正应力为为: 222 81 12 23 31 12 23 3 1231 11 () 33 PlPlPll

19、ll J 八面体面上的剪应力为：八面体面上的剪应力为： 八面体（每个坐标象限1个面） 2 22222 888123123 2222 12233112 11 ()() 39 12 ()()()3 33 F JJ (1.23) (1.21) 八面体面上的应力矢量为：八面体面上的应力矢量为： 2 222222 81231 12 23 3 222 123 ()()() 1 () 3 FPPPlll (1.22) 平均正应力平均正应力 1.1 应力张量 例题例题: :已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2

20、, zx 1, 应力单位为应力单位为MPa。试求该点的主应力值。试求该点的主应力值。 代入式(1.14)后得: 解解: : 1112233 3003J 222333311112 2 212232331311 (3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6 J 111213 3212223 313233 3 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 32 3680(4)(1)(2)0 解得主应力为解得主应力为: 123 4;1;2; 1.2 应力偏量张量 1).1).应力张量分解应力张量分解 物体的变形物体的变形 ij (1.32) 体积改变体积改变 形状改变形

21、状改变 由各向相等的应力状态引起的由各向相等的应力状态引起的 材料晶格间的移动引起材料晶格间的移动引起的的 球应力状态球应力状态/静水压力静水压力 弹性性质弹性性质 塑性性质塑性性质 ij d ij S 球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量 1.2 应力偏量张量 1).1).应力张量分解应力张量分解 00 00 00 xxyxz ijijijyxyyz zxzyz S d (1.31) 球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量 1122331 111 () 333 kk J 其中其中:平均正应力平均正应力/静水压力静水压力 1.2 应力偏量张量 2).2).主偏量应力和不变

22、量主偏量应力和不变量 00 00 00 xxyxz ijijijyxyyz zxzyz S d (1.31) 二阶对称张量二阶对称张量 123 11 2 3 S 其中其中: 剪应力分量始剪应力分量始 终没有变化终没有变化 1 2 3 00 00 00 xxyxz ijyxyyz zxzyz SS SSS SS 主偏量应力主偏量应力 213 22 2 3 S 312 33 2 3 S (1.33) 1.2 应力偏量张量 ij S ij 例例: 设原应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：证明： ij 123 123 123 ()0 ()0 ()0 xnxyxz yx

23、ynyz zxzyzn lll lll lll 显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中 的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。 (a) 若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)同样得： ij S 123 123 123 ()0 ()0 ()0 xnxyxz yxynyz zxzyzn SS lS lS l S lSS lS l S lS lSS l 显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中 的任意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。 (b) ()() xnxmnmxn SS 由于: ()() ynymnmyn SS ()() znzmnmzn

24、 SS l1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=1 1.2 应力偏量张量 2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量 11 ;S 22 ;S 33 S (1.33) ij S ij 满足三次代数方程式：满足三次代数方程式： 32 123 0JJJ 1112233 222 2112222333311122331 222 123 3123 0 () 1 () 1 22 ii ijij ij JSSS JS SS SS SSSS SSS JS S S S S S S (1.34) 式中式中J1

25、,J2,J3为不变量为不变量 (1.35) 1.2 应力偏量张量 (1.40) 利用利用J1=0，不变量不变量J2还可写为还可写为: 222222 2112233122331 1 (222) 2 1 2 1 2 ijijii JSSSSSS S SS S (1.38) 222 2112222333311 222 122331 222 222 222 122331 1 ()()() 6 6() 1 () 1 ()()( ()() 6 6( ) ) 6 xyyzzx xyyzzx JSSSSSS SSS 1.2 应力偏量张量 (1.43) 3).3).等效应力等效应力( (应力强度应力强度) )

26、222 8122331 1 ()()() 3 222 2122331 1 ()()() 6 J 82 2 3 J 在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力等效应力 8 3/2 123 ,0, 故 222 81223312 31 ()()()3 22 J (1.41) 简单拉伸时简单拉伸时: : “等效等效”的命名由此而来。 各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的 数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关 1.2 应力偏量张量 (1.42) 4).4).等效剪应力等效剪应力( (剪应力强度剪应力强度) ) 222 2122331 11 ()()() 26 ijij T

27、JS S 123 0,0, T 例：纯剪时， “等效等效”的命名由此而来。 例题：例题：已知结构内某点的应力张量已知结构内某点的应力张量 如右式，试求该点的球形应力张量、如右式，试求该点的球形应力张量、 偏量应力张量、等效应力及主应力偏量应力张量、等效应力及主应力 数值。数值。 10010 0100MPa 10010 ij 101010 / 310 / 3 10 / 300 010 / 30MPa 0010 / 3 20 / 3010 040 / 3 : : :0MPa 10020 / 3 m ij S 平均正应力 球形应力张量 量 （） 偏量应力张 1.2 应力偏量张量 2 222222 1

28、12222333311122331 3 1( )()()6() 2 1400 400 0 6(0 0 100) 70010 7 MPa 2 J 1112233 222 2112222333311122331 222 3112233122331112322133312 10 () ( 100 100 100)0 0 100200 |2 1000 1000 0 00 ij J J J 等效应力等效应力: : 1.2 应力偏量张量 关于主应力的方程为关于主应力的方程为: : 1 32 23 102000 (20) 20,0,10 (10)0 222 122331 1 ()()() 2 1 400 1

29、0090070010 7 MPa 2 由主应力求等效应力由主应力求等效应力: : 1.2 应力偏量张量 1.3 应变张量 1).1).一点应变状态一点应变状态 位移位移 刚性位移刚性位移 变形位移变形位移 物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两 点之间的距离却保持不变。点之间的距离却保持不变。 物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。 要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各 点的相对位置变动情况，也即研究点的相对位置变动情况，也即研究变形位移变形位移

30、位移函数位移函数 ( , , ) ( , , ) ( , , ) uu x y z vv x y z ww x y z 位置坐标的单值连续函数 1.3 应变张量 微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形 当物体在一点处有变形时，小单元体的当物体在一点处有变形时，小单元体的 尺寸尺寸(即单元体各棱边的长度即单元体各棱边的长度)及形状及形状(即即 单元体各面之间所夹直角单元体各面之间所夹直角)将发生改变。将发生改变。 由于变形很微小，可以认为两由于变形很微小，可以认为两 个平行面在坐标面上的投影只个平行面在坐标面上的投影只 相差高阶微量，可忽略不计。相差高阶微量，可忽略不计。 1.3 应变张量 微

31、小六面体单元的变形微小六面体单元的变形 B点位移分量点位移分量 u udx x dx x D点位移分量点位移分量 u udy y dy y A点位移分量点位移分量 u xOy的改变量的改变量: xy 1.3 应变张量 变形后变形后AB边长度的平方边长度的平方: 222 ()() u A Bdxdxdx xx M点沿点沿X方向上的方向上的线应变线应变: x A BAB AB (1)(1) xx A BABdx (a) (b) 22 2 22 xx uu xxx (c) 代入代入(a)得得: x u x 略去高阶微量略去高阶微量 y y 同理，同理，M点沿点沿Y方向方向 上的上的线应变线应变: 1

32、.3 应变张量 tan 1 dx xx uu dxdx xx 同理同理: 1, u x 略去 x u y xOy的改变量，即的改变量，即剪应变剪应变: xy u yx 1.3 应变张量 1 22 z u y , uv yx 同时存在 1 2 z u xy 对角线对角线AC线的线的转角转角: 1 22 z v x 刚性转动刚性转动 1.3 应变张量 (1.44) 1).1).一点应变状态一点应变状态 工程应变分量：工程应变分量： xy x yyz zzx uv u yx x vvw yzy wwu zxz (几何方程几何方程/柯西几何关系柯西几何关系) 1.3 应变张量 (1.45) 1).1)

33、.一点应变状态一点应变状态 受力物体内某点处所取无限多方向上的受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变线应变与与剪应变剪应变( (任意两相任意两相 互垂直方向所夹直角的改变量互垂直方向所夹直角的改变量) )的的总和总和，就表示了该点的应变状态。，就表示了该点的应变状态。 定义定义: : , 1 2 iji jj i uu（） 111213 212223 313233 11 22 11 22 11 22 xxyxz ijyxyyz zxzyz 应变张量应变张量: : 123 , ,u v wu uu 1 111,1 1 xx u u x 21 122,11,2 12 11 ()() 22 xy

34、uu uu xx (1.46) 1.3 应变张量 2).2).主应变及其不变量主应变及其不变量 由全微分公式由全微分公式: : , ,u v w uuu dudxdydz xyz M点的位移分量点的位移分量 ,udu vdv wdwN点的位移分量点的位移分量 vvv dvdxdydz xyz www dwdxdydz xyz 11 22 11 22 uvuw dydz yxz uuvuw dxdydz x x yxzx 表示刚性转动，不引起应表示刚性转动，不引起应 变，计算应变时可忽略。变，计算应变时可忽略。 1.3 应变张量 xxyxz dudxdydz 在主应变空间中在主应变空间中: :

35、yxyyz dvdxdydz zxzyz dwdxdydz iijj dudx rxxyxz dudxdxdydz ryxyyz dvdydxdydz rzxzyz dwdzdxdydz ()0 xrxyxz dxdydz ()0 yxyryz dxdydz ()0 zxzyzr dxdydz r drdudvdw rdxdydz ; rrr dudx dvdy dwdz 主平面法线方主平面法线方 向的线应变向的线应变 主应变主应变: : 1.3 应变张量 类似于应力张量类似于应力张量: : 1112233123 222 2112222333311122331 111213 3212223 3

36、13233 ij I I I 其中其中: : (1.47) (1.48) 112233 11 33 kk （）平均正应变平均正应变: : 1.3 应变张量 偏量应变张量偏量应变张量: : (1.52) 1 3 ijijijijkkij ed d eij 的主轴方向与ij 的主方向一致，主值为: e1 1 ， e2 2 ， e3 3 满足三次代数方程式： 32 123 123 1112233123 222 211 2222 3333 11122331 222 123 31 2 3 0 , 0 () 1 () 2 iii ij ij eI eIeI IIIe Ieeeeee Ie ee ee ee

37、ee eee Iee e e 式中为 的三个不变量， (1.50) (1.51) 222 2122331 11 ()()() 26 ijij Ie e I I2 2应用较广应用较广, ,又可表达为又可表达为: : 1.3 应变张量 等效应变等效应变( (应变强度应变强度):): (1.54) 222 2122331 123 222 ()()() 933 1 , 2 ijij Ie e 例：简单拉伸时，故 等效剪应变等效剪应变( (剪应变强度剪应变强度):): 222 2122331 132 2 2()()()2 3 1 0,0, 2 ijij Ie e 例：纯剪时，故 (1.55) 1.4 应

38、变速率张量 一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关， 而且与时间也有关。如以而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则表示质点的位移分量，则: ; xyz dudvdw VVV dtdtdt 设设应变速率分量应变速率分量为为: : ; ; ; x x y y z z V x V y V z ; ; ; y x xy y z yz xz zx V V yx V V zy VV xz ii duvdt 质点的运动速度分量质点的运动速度分量 1.4 应变速率张量 x x y y z zz x y Vdudu xx dtdtx

39、 V dvdv yy dtdty Vdwdw zzdtdtz u x v y w z y x xy y z yz xz z xy yz x V Vdudvduv yxy dtx dtdtyx V Vdvdwdvw zyz dtydtdtzy VVdwdu xzxd uv yx vw y tz dt z zx dwu dtxz wu xz 线应变速率线应变速率 在在小变形情况小变形情况下，下，应变速率分量应变速率分量与与应变分量应变分量之间存在有简单关系之间存在有简单关系: : 剪剪 应应 变变 速速 率率 1.4 应变速率张量 11 22 11 22 11 22 xxyxz ijyzyyz z

40、xzyz 在在小变形情况小变形情况下的下的应变速率张量应变速率张量: : , 1 () 2 iji jj i uu , 1 () 2 iji jj i VV (1.56) 可缩写为可缩写为 在一般情况下，应变速率主在一般情况下，应变速率主 方向与应变主方向不重合，方向与应变主方向不重合， 且在加载过程中发生变化。且在加载过程中发生变化。 1.4 应变速率张量 应变增量应变增量: : , 1 () 2 iji jj i ddudu 应变增量应变增量由位由位 移增量微分得：移增量微分得： 由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代可不代 表真

41、实时间，而是代表一个加载过程。因而表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张用应变增量张 量来代替应变率张量量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。更能表示不受时间参数选择的特点。 (1.57) 应变微分应变微分由两由两 时刻应变差得：时刻应变差得： , , ()()( ) 1 ()( )()( ) 2 ijijij iijj j i dttt u ttu tu ttu t 22 , , 22 , 1( ) 111 () 222 1 ()() 22 ) ijiijj ji iii jjjji ddudududu dudududu 泰勒级数展开泰勒级数展开 高阶微量高阶微量 (

42、) ijij dd 忽略高阶微量忽略高阶微量 1.5 应力和应变的Lode参数 一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : : 任一斜面上应力任一斜面上应力 位于阴影线内位于阴影线内 m=Q2A/Q1A =(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3 A O 3 1 2 O3 O2 O1 Q3Q2Q1 如果介质中某点的三个主应如果介质中某点的三个主应 力的大小为已知，便可以在力的大小为已知，便可以在 - - 平面内绘出相应的应力圆。平面内绘出相应的应力圆。 1.5 应力和应变的Lode参数 一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形

43、） : : A O 3 1 2 O3 O2 O1 Q3 Q2Q1 222 1 12 23 3 lll 222 23 22 2 1 12 23 3 lll 222 123 1lll 2 2 23 1 1213 ()() ()() l 2 2 31 2 2321 ()() ()() l 2 2 12 3 3132 ()() ()() l (1.61) 2 23 ()()0 2 31 ()()0 2 12 ()()0 123 1.5 应力和应变的Lode参数 一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : : A O 3 1 2 O3 O2 O1 Q3 Q2Q1

44、222 2323 11 ()() 24 (1.63) 222 3131 11 ()() 24 222 1212 11 ()() 24 式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一 对应力分量、一定落在分别以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2为半 径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。 1.5 应力和应变的Lode参数 若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压各向等拉或各向等压)，则应力，则应力 圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴

45、发生平移。 应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径直径)则则 取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力分量的大小有改变，但 应力状态的形式不变应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即 应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏

46、量应力张量的 各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 1.5 应力和应变的Lode参数 二、二、应力应力Lode参数参数: : 几何意义几何意义: :应力圆上应力圆上Q Q2 2A A与与Q Q1 1A A之比，或两内圆直径之比，或两内圆直径 之差与外圆直径之比。之差与外圆直径之比。 球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常 把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。 为此，引进参数为此，引进参数Lode参数参数： 13 2 232312 13 1313

47、()() 2 21 2 m Lode参数：表征参数：表征Q2在在Q1与与Q3之间的相对位置，反之间的相对位置，反 映中间主应力对屈服的贡献。映中间主应力对屈服的贡献。 A O 3 1 2 O3 O2 O1 Q3 Q2Q1 (1.64) 1.5 应力和应变的Lode参数 应力应力Lode参数的参数的物理意义物理意义： 1、与、与平均应力无关；平均应力无关； 2 2、其、其值确定了应力圆的三个直径之比；值确定了应力圆的三个直径之比； 3 3、如果两个应力状态的如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态参数相等，就说明两个应力状态 对应的应力圆是相似的，即对应的应力圆是相似的，即偏量应力

48、张量的形式相同偏量应力张量的形式相同； Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状 态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。 11 m (1.65) 1.5 应力和应变的Lode参数 简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数： Q3 O Q1Q2 A Q1 O Q2Q3 A 单向压缩(1=2=0, 30, 2=3=0) m=1 m=1 1.5 应力和应变的Lode参数 简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数： Q2 O Q1Q3 纯剪(10, 2=0, 3=1): m=0 1.5 应

49、力和应变的Lode参数 为表征偏量应变张量的形式，引入为表征偏量应变张量的形式，引入应变应变Lode参数参数： 三、三、应变应变Lode参数参数: : 如果两种应变状态的如果两种应变状态的m m 相等，则表明它们所对应的应变相等，则表明它们所对应的应变 莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。 23 13 21 m 几何意义：应变莫尔圆上几何意义：应变莫尔圆上Q2A与与Q1A之比之比 (1.66) 1.6 弹性力学的基本方程 应力分量满足平衡方程：应力分量满足平衡方程： 一、平衡方程一、平衡方程 0 yx xzx X xyz (1.6

50、7) 0 xyyzy Y xyz 0 yz xzz Z xyz , 0 ij ji F 1.6 弹性力学的基本方程 弹性体的应力弹性体的应力-应变关系服从虎克定律应变关系服从虎克定律 二、物理方程二、物理方程 11 ; xxyzyzyz v EG (1.72) 11 ; yyzxzxzx v EG 11 ; zzxyxyxy v EG 1.6 弹性力学的基本方程 x对对y， y对对x求两次偏导，有：求两次偏导，有： 三、应变协调方程三、应变协调方程 ; xy uv xy 22 2332 2222 yxy x uvuv yxx yy xx yyxx y 22 2 22 0 yxy x yxx y

51、 保证物体在变形后不会出现保证物体在变形后不会出现撕裂撕裂，套叠套叠的现象的现象 1.6 弹性力学的基本方程 类似可得三维问题的类似可得三维问题的应变协调方程应变协调方程： 22 2 22 0 yyz z zyy z 222 22 0 xxzz xzx z 22 2 22 0 yxy x yxx y 2 1 0 2 yzxy xxz y zxxyz 2 1 0 2 yxyyz zx z xyyzx 2 1 0 2 xyyz zxz x yzzxy , 0 ij klkl ijlj kiki lj (1.82) 1.6 弹性力学的基本方程 例题：例题： 22 2 22 0 yxy x yxx y

52、 设有应变分量如右式，其余的应变 分量均为零。若它们是一种可能的 应变状态试确定各常数之间的关系。 2244 01 2244 01 222 01 ()() ()() () x y xy aa xyxy bb xyxy cc xy xyc 解：解： 如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程。 根据给定的应变分量，式(1.82) 中的五个式子均恒满足、余下必 须满足的应变协调方程为: 代入给定的应变分量有: 2222 111 211 21221233aybxc cc xc y 比较两边对应项系数有: 1111 2 312, 22cabc c 1211 1 4,() 2 ccab所以解

53、为：所以解为： 第五章第五章 简单应力状态的弹塑性问题简单应力状态的弹塑性问题 5.1 基本实验资料基本实验资料 5.2 应力应变的简化模型应力应变的简化模型 5.3 应变的表示法应变的表示法 5.4 理想弹塑性材料的简单桁架理想弹塑性材料的简单桁架 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架线性强化弹塑性材料的简单桁架 5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响加载路径对桁架内应力和应变的影响 5.1 基本实验资料 一一、应力应力-应变曲线应变曲线 （1）单向拉伸曲线）单向拉伸曲线 12 3 AB D O s a D p e epp E （a）有明显屈服流动阶段有明显屈服流动阶段 拉伸试验拉伸试验和

54、和静水压力试验静水压力试验是塑性力学是塑性力学 中的两个基本试验，塑性应力应变关中的两个基本试验，塑性应力应变关 系的建立是以这些实验资料为基础。系的建立是以这些实验资料为基础。 屈服应力屈服应力 （b）无明显屈服流动阶段无明显屈服流动阶段 O 0.2 D p e C A B 0.2% 屈服应力屈服应力 如如:低碳钢低碳钢,铸铁铸铁,合金钢等合金钢等如如:中碳钢中碳钢,高强度合金钢高强度合金钢, 有色金属等有色金属等 0 00 lll ll 0 P A 5.1 基本实验资料 一一、应力应力-应变曲线应变曲线 经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中， 弹性系数仍保持不变，

55、但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与 塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的 应变强化应变强化(或加工硬化加工硬化)。 材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从 不同的规律： 0d 0d 加载 卸载 t dE d dEd 简单拉伸试验 的塑性阶段： 5.1 基本实验资料 一一、应力应力-应变曲线应变曲线 （2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料） O 拉 压 应变应变10%时，基本一致；时，基本一致； 应变应变 10%时，较大差异。时，较大差异。 一般金属的拉伸与压缩曲线比较 用简单拉伸试验代替简单压

56、缩试 验进行塑性分析是偏于安全的。 5.1 基本实验资料 一一、应力应力-应变曲线应变曲线 （3）反向加载反向加载 卸载后反向加载，卸载后反向加载， s sBauschinger效应效应 O B A s s s B B O 拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。 5.1 基本实验资料 一一、应力应力-应变曲线应变曲线 (4) 断裂特性断裂特性 伸长率伸长率: 标志材料的塑性 特性，其值越大 则材料破坏后的 残余变形越大。 0 100% k k l l d 0 0 100% k k FF F 截面收缩率截面收缩率: d dk 5%：塑性材料；低碳钢塑性材料；低碳钢d

57、 dk=20% 30% d dk 5%：脆性材料。脆性材料。 5.1 基本实验资料 塑性变形有以下特点：塑性变形有以下特点： (2)、由于应力应变关系的非线性，应力与应变应力与应变间不存在单值对 应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种 非单值性非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。 (1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功塑性功具有不可逆 性，或称为耗散性耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零， 这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。 (3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的 弹性区域弹性区域和产生塑性变形的塑性区域塑性区域。并且

58、随着载荷的变化，两 区域的分界面也会产生变化分界面也会产生变化。 5.1 基本实验资料 二、静水压力二、静水压力( (各向均匀受压各向均匀受压) )试验试验 (1)、体积变化、体积变化 2 010 11 (1) m VV ppapbp VKKV 或 体积应变与压力的关系体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式实验公式) 体积压缩模量体积压缩模量派生模量派生模量 铜铜铝铝铅铅 a7.31x10-713.34x10-723.73x10-7 b2.7x10-123.5x10-1217.25x10-12 铜：铜：当p1000MPa时，ap 7.3110-4，而bp22.710-6。说明 第二项

59、远小于第一项，可以略去不 计。因此根据上述试验结果，在塑 性理论中常认为体积变形是弹性的。 因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力 的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服 应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。 5.1 基本实验资料 二、静水压力二、静水压力( (各向均匀受压各向均匀受压) )试验试验 (2)、静水压力对屈服极限的影响静水压力对屈服极限的影响 BridgmanBridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性 强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。强化效应增加不明显，但颈缩和破坏

60、时的塑性变形增加了。 静水压力对屈服极限的影响常可忽略。静水压力对屈服极限的影响常可忽略。 5.2 应力应变简化模型 一般应力一般应力-应变曲线：应变曲线： =E ， s (屈服后屈服后) 选取模型的标准：选取模型的标准： 1 1、必须符合材料的实际性质、必须符合材料的实际性质 2 2、数学上必须是足够地简单、数学上必须是足够地简单 5.2 应力应变简化模型 1. 理想弹塑性模型理想弹塑性模型 |, / s E 1,0 sign0,0 1,0 符号函数符号函数: （软钢或强化率较低的材料）（软钢或强化率较低的材料） 加载加载: 卸载卸载: O s s E 0, /signdE 0, /dddE