四川省成都市五校协作体高二数学上学期期中试卷理(含解析)

1、一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. （ 5分）如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行 线的位置关系是（）甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图，甲、5.（ 5分）如图所示,长方体 圆锥三棱锥乙、丙对应的标号正丙A. B. C. D. 6. （ 5分）右m, n是两条不同的直线，a,B, 丫命题是（）A.若 m? 3,a3，贝U miLaC.若 aLY,aL3，贝V B 丄丫是三个不同的平面，则下列命题中的真B.若 mLB, ma，贝U aLBD.若 门丫 =m, By =n, mi/ n,则 a/B7. （ 5分）设实数X、+2y- 50y满足不

2、等式组* 2x-Fy - 70若x、y为整数，则3x+4y的最小值A.都平行B.都相交C.一个相交，一个平行D.都异面2.（5分）在x、y轴上的截距分别是-3、4的直线方程是（）A. +”=1B. =1C.-=1D.-+ =1_彳43-4-3 44 -33.（5分）在正方体ABC- A1B1CD中，异面直线BA与CC所成的角为（）A.30B. 45C.60D. 904.（5 分）圆（x+2）+y =5关于坐标原点（0, 0）对称的圆的方程是()A.2 2x + (y - 2) =529B. x + (y+2) =5C.2 2(x - 2) +y =52D.(x - 2) + (y- 2)2=5

3、是（）A. 14B. 16C. 17D. 19& （ 5分）设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面， 对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：有12个顶点；有24条棱；有12个面；表面积为 3a2;体积为*a3.b其中正确的结论是（）A.B.C.D.2 2 2 2 2 29. （ 5 分）若圆 C1： x +y - 2tx+t - 4=0 与圆 C2: x +y +2x - 4ty+4t - 8=0 相交，则 t 的取值 范围是（）A. -B.-二=v t v 05558D._i丄或 Ov t v2C.

4、-丄 v t v 2510. （5分）已知E为不等式组x+y2，表示区域内的一点，过点E的直线I与圆M (x2 2-1） +y =9相交于A, C两点，过点E与I 时，四边形A. 12二、填空题11. （5 分）12. （5 分）ABCD的面积为（）B. 6/7（每小题 5分，共25分）过点P （- 1, 3）且垂直于直线垂直的直线交圆 M于B、D两点，当AC取最小值C. 12；x - 2y+3=0的直线方程为.其中俯视图是顶角为120的等腰OAL 0B（其中0为坐标原点），已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,，S为等腰梯形当14. （ 5分）如图，四棱锥 P- ABCD中，四边形 ABC

5、D是矩形，PAL平面 ABCD且AP西,AB=4, BC=2点M为PC中点，若PD上存在一点 N使得BM/平面 ACN求PN长度.ABC-4BQ D的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC上的动 点，过点A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.当1时，S的面积为 当一k CX 1时，S为六边形4当CQ弓时，S与m的交点R满足CR=|当Ov cy时，S为四边形.三、解答题(本大题共 6小题，共75分)16. (12 分)已知直线 11： 2x+ (m+1 y- 2=0;直线 12： mx+y- 1=0.(I) 若I 1丄l求实数m的值.(n

6、)若I 1/l,求实数m的值.17. (12分)如图，在正方体 ABC- AB1C1D中，E、F分别为 AD, AB的中点.(1) 求证：EF/平面CBD;(2) 求证：平面 CAAC丄平面 CBD.U18. (12分)已知一圆C的圆心为(2, - 1),且该圆被直线I : x - y -仁0截得的弦长为2 :,(I)求该圆的方程(n)求过点P (4, 3)的该圆的切线方程.19. (12分)如图，正方形 ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面相交于 CD AE!平面CDE且 AE=3, AB=6(1) 求证：AB!平面ADE(2) 求凸多面体 ABCDE勺体积.20. (13分)如图，在四

7、棱锥 P- ABCD中,则面PADL底面 ABCD侧棱PA=PD=二,底面ABCD 为直角梯形，其中 BC/ AD AB丄AD AD=2AB=2BC=2 O为AD中点.(I)求证：PC丄平面 ABCD(n)求异面直线 PB与CD所成角的大小；(2段AD上是否存在点Q使得它到平面PCD的距离为J若存在，求出号值；若21. (14分)已知圆A过点 | 且与圆 B: (x+2) 2+ (y - 2) 2=r2 (r 0)关 于直线x - y+2=0对称.(1) 求圆A的方程；(2) 若HE HF是圆A的两条切线，E、F是切点，求 伍“因的最小值.(3) 过平面上一点 Q(xo, yo)向圆A和圆B各

8、引一条切线，切点分别为 C、D,L=：,求证：平面上存在一定点 M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值.四川省成都市五校协作体 2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分)1. ( 5分)如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是()A.都平行B.都相交C. 一个相交，一个平行D.都异面考点：空间中直线与直线之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：利用线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键.解答： 解：如图所示：已知：aB =m a/ b, a? a, b? B.则a/

9、 b/ m证明： a / b,.a与b可确定一个平面 丫. I b /a,由/aHB =m b? b,/ b / m/ a / b / m点评：熟练掌握线面平行的性质定理和判定定理是解题的关键.2. ( 5分)在x、y轴上的截距分别是-3、4的直线方程是()A.*=1B.=1C.- =1D. 2 + =1-彳43-41 -3 44 -3考点：直线的截距式方程.专题：直线与圆.分析：由直线的截距可得截距式方程.解答： 解：直线在x、y轴上的截距分别是-3、4,故选：A点评：本题考查直线的截距式方程，属基础题.3. （ 5分）在正方体 ABCt ABiCD中，异面直线 BA与CG所成的角为（）A.

10、 30B. 45C. 60D. 90考点： 异面直线及其所成的角.专题：计算题.分析： 将CC平移到BB,从而ZA i BB为直线BA与CC所成角，在三角形ABB中求出此角 即可.解答： 解：T CC1/B1B,ZAiBBi为直线BA与CC所成角，因为是在正方体 ABC A1B1CD中，所以ZA iBB=45.故选B.点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.4. （ 5分）圆（x+2） 2+y2=5关于坐标原点（0, 0）对称的圆的方程是（）2 2 2 2 2 2 2A. x+ （y 2） =5 B. x + （y+2） =5C. （x

11、- 2） +y =5 D. （x - 2） +（y 2）2=5考点： 圆的标准方程.分析：求出已知圆的圆心和半径，求出圆心A关于原点对称的圆的圆心 B的坐标，即可得到对称的圆的标准方程.解答： 解：圆（x+2） 2+y2=5的圆心A （- 2, 0）,半径等于拆，圆心A关于原点（0, 0）对称的圆的圆心 B （2, 0）,所求对称圆的方程为（x - 2） 2+y2=5,故选：C点评：本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心A关于原点（0,0）对称的圆的圆心 B的坐标，是解题的关键.本题是一个基础题.5. （ 5分）如图所示，甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的

12、标号正长方体 圆锥三棱锥丙A.B.C.D.考点：简单空间图形的三视图.专题：空间位置关系与距离.分析：根据甲、乙、丙的三视图，得出甲、乙、丙各个几何体几何特征，进而可得答案.解答：解：根据甲、乙、丙的三视图，得出甲是圆柱体，乙是三棱锥，丙是圆锥；甲乙丙对应的标号应是.点评：本题考查了空间几何体的三视图的知识,解题时应根据几何体的三视图能判断该几故选：D.何体是什么，是基础题.3,y是三个不同的平面，则下列命题中的真B.若 mL3,，贝U a3D.若 ocAy =m, 3y =n, mi/ n,则 a/B6. （ 5分）若m, n是两条不同的直线，a, 命题是（）A.若 m? 3,a3，贝U m

13、iLaC. 若丄丫，丄3，贝V B丄丫 考点：平面与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离.分析：可以通过空间想象的方法， 想象每个选项中的图形， 并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项.解答：解：A.错误，由 卩丄，得不出 B内的直线垂直于 a；B.正确，m/a，根据线面平行的性质定理知，a内存在直线n/ m, / mLB,. nLB, n? a,.a 丄 B;C. 错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到B丄丫；D. 错误，可以想象两个平面都和丫相交，交线平行，这两个平面不一定平行. 故选B.点评：考查空间想象能力，以及线面平行、线

14、面垂直、面面垂直、面面平行的概念.+2y-507. （ 5分）设实数x、y满足不等式组*,若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A. 14B. 16C. 17D. 19考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件- 503x+4y中，求出3x+4y的最小值.解答：解：依题意作出可行性区域了0的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入x+2y -如图，目标函数z=3x+4y在点（4, 1）处取到最小值z=16.16-J-2 -卜* f | 1故选B.其步骤为：由约束条件画出可行域点评：在解决线性规划的小题时， 常

15、用“角点法”，?求出可行域各个角点的坐标 ？将坐标逐一代入目标函数 ？验证，求出最优解.& （ 5分）设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面， 对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论： 有12个顶点；有24条棱；有12个面；表面积为 3a2;体积为卫a3.其中正确的结论是（）A.B.C.D.考点：命题的真假判断与应用.专题：空间位置关系与距离.分析：先根据题意画出图形，如图，原来的六个面仍然在，但是却变成了一个小正方形,再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，计算或数一数它的顶点数目、棱数及面数，可判断、；

16、再结合割补法求出它的表面积及体积，可判断与.解答：解：如图，对于，由于所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是12,所以现在的顶点的数目是 12,故正确；对于，每个正方形4条边，每个三角形3条边，4X 6+3X 8=48,考虑到每条边对应两个面，所以实际只有一;X 48=24 （从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以棱数为X 48=24个），故正确;29对于，原来的六个面仍在， 却是变成了一个小正方形， 且添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计 6+8=14个面，故错；对于，三角形和四边形的边长都是为 8X X a2sin60 :；a2,2

17、 2a,所以正方形总面积为6X a=3a ,三角形总面积8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为表面积(3+ 7;) a2,故错；对于，体积为原正方形体积减去 剩余总体积为a3- a3=!：a3.6 6故正确.故选：B.15点评：本题主要考查棱柱的结构特征，多面体的表面积与体积等基础知识，考查化归思想 与空间想象能力、运算求解能力，属于难题.范围是()9. ( 5 分)若圆 Ci： x2+y2-2tx+t 2 - 4=0 与圆 C2: x2+y2+2x - 4ty+4t 2- 8=0 相交，则 t 的取值B.-丄 v t v 05二或 0v t v2 55考点：圆与圆的位置关系及其判定.专题：直线与圆

18、.分析：根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得3-2 vJ (t+l) 莓(Q-v 3+2，即0 v 5t 2+2t v 24，由此求得t的取值范围.解答： 解：圆 C: x2+y2- 2tx+t 2- 4=0 即 (x - t ) 2+y2=4，表示以 C (t , 0)为圆心、半 径等于2的圆；圆 G: x +y +2x - 4ty+4t - 8=0 即 (x+1) + ( y-2t) =9,表示以 C (- 1 , 2t )为圆心、 半径等于3的圆.再根据这两个圆相交，可得圆心距大于半径之差而小于半径之和，即 3 - 2v (t+1) 莓(0- 盘3+2, 即 卩

19、0v 5t 2+2t v 24,t (5t+2) X)5t2+2t-240，解得-或0v t v 2,55故选：D.点评：本题主要考查圆的标准方程， 两圆的位置关系的判定方法， 两点间的距离公式的应用，属于基础题.r x+y210. （5分）已知E为不等式组J x42yl. 2 2 .圆M （x - 1） +y =9的圆心为 M（ 1 , 0）,半径为3.E为图中阴影三角形及其内部一动点，由图可知，当E点位于直线x+y=2与y轴交点时，E为可行域内距离圆心 M最远的点. 此时当AC过E且与ME垂直时最短.与 AC垂直的直线交圆得到直径 BD.|ME|= .|AC|=2 二 -=4,S四边形AB

20、C= -X 6X 4=12.2故选：A点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，关键是确定使AC最短时的E的位置，是中档题.二、填空题（每小题 5分，共25分）11. （5分）过点P （- 1, 3）且垂直于直线 x - 2y+3=0的直线方程为2x+y -仁0.考点：直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.专题：计算题.分析： 设与直线x- 2y+3=0垂直的直线的方程为 2x+y+c=0，把点P （- 1, 3）的坐标代 入求出c值，即得所求的直线的方程.解答： 解：设所求的直线方程为2x+y+c=0,把点P （- 1 , 3）的坐标代入得-2+3+c=0, c

21、= - 1,故所求的直线的方程为 2x+y - 1=0,故答案为2x+y -仁0.点评：本题考查利用待定系数法求直线的方程，与ax+by+c=0垂直的直线的方程为 bx-ay+m=0的形式.12. （ 5分）已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为1 .考点：由三视图求面积、体积.专题：规律型.分析：根据三视图的原则，高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可.解答：解：根据三棱锥的俯视图是顶角为120。的等腰三角形，且底边长为2 ;,三棱锥的底面三角形的高为tan30 =1，即，侧视图的宽为 1,由正视图的高为2?侧视图的高

22、为2,其面积S=1.故答案是：1.点评：本题考查简单几何体的三视图，属基础题.13. （5分）已知直线 x+y=a与圆x2+y2=4交于A, B两点，且 OALOB （其中O为坐标原点）， 则实数a等于2.考点：直线与圆相交的性质.专题： 计算题；直线与圆.分析： 利用OALOB OA=OB可得出三角形 AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到 圆心坐标与半径 R,可得出AB,求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用 点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值.解答： 解：OAL OB OA=OB AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0, 0）,半

23、径R=2, AB=QR=2 一：:,圆心到直线 y=x+a的距离dAB=：.,2 V2 |a|=2 , a= 2.故答案为：土 2.点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出 AOB为等腰直角三角形是解本题的关键.14. （ 5分）如图，四棱锥 P- ABCD中，四边形 ABCD是矩形，PAL平面 ABCD且AP质,AB=4, BC=2点M为PC中点，若PD上存在一点 N使得BM/平面 ACN求PN长度2.考点：点、线、面间的距离计算.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：连接AC,BDAon BD=O取MD中点E,

24、连接CN与 PD交于N,取PN中点F,连接MF,贝U BM/平面ACN证明F, N为PD的三等分点，即可得出结论.解答： 解：如图所示，连接 AC, BD, ACH BD=O取MD中点E,连接CN与 PD交于N,取PN中点F,连接MF,贝U/ BIM/0 E, BM?平面 ACN OE?平面 ACN BM/平面 ACNM为PC中点，F为PN中点， MF/ CNE为MD中点，N为DF中点, PA=. 1, BC=2 四边形 ABCD是矩形，PA!平面 ABCD PD= ! i =3 , PN=2故答案为：2.点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查学生的计算能力， 确定F , N为PD的三等分点

25、是关键.15. （ 5分）如图，正方体 ABCD- AiBGD的棱长为1 , P为BC的中点，Q为线段CC上的动 点，过点A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号） 当CQ=1时，S的面积为 .2 当一k CQc 1时，S为六边形4 当CQ时，S与m的交点R满足CR=i43当S为等腰梯形当0 CX时，S为四边形.考点：命题的真假判断与应用.专题： 空间位置关 系与距离.分析：，当CQ=1时，点Q与点Ci重合，如图知，截面 S为菱形，易求其面积为,可判断；取AD的中点 M 在DD上取点N,使得 DN=CQ贝U MN PQ 作 AT/ MN交直线

26、DD于点T,则A P、Q T四点共面； ，当主v CQC 1时，空V DN 1?DT=2DNE(W, 2), T在DD的延长线上，设 TQ与CD交442于点E, AT与AiD交于点F,贝U S为五边形APQEF可判断； ，当CQ时，贝U DN戈？ DT=2DN=? DT；由DR: TD=BC DT可求得 DR公，继而可得4222C R)，可判断；3 ，当CQ时，则DN=-，易知点T与D重合，从而知S为等腰梯形APQD可判断；2 ，当0 v CCV丄时，则Ov DN J ，故正确；Z取AD的中点 M 在DD上取点N,使得 DN=CQ贝U MIN/ PQ作AT/ MN交直线 DD于点T, 则A P

27、、Q T四点共面；对于，当空v CQc 1时，空v DW 1? DT=2DhE （空，2） , T在DD的延长线上，设 TQ与CiD 442|交于点E, AT与AD交于点F,则S为五边形APQEF故错误；对于，当 CQ=时，贝U DN=? DT=2DN=? DT=l;由 DR: TD=BC DT? DR士？ CR丄，故442223正确；对于，当CQ-时，贝U DN-? DT=2DN=?点T与D重合？ S为等腰梯形 APQD故正确； 冈 2对于，当0 v CCV丄时，则Ov DN 0),贝U弦长P=2-，由此能求出圆的方程.(n)设切线方程为y - 3=k (x - 4),|k (2-4) +4

28、|=2,得k=-;当切线斜率不存在4的时候，切线方程为：x=4 .由此能求出圆的切线方程.解答： 解：(I)设圆 C 的方程是(x - 2) 2+ (y+1) 2=r2 (r 0),则弦长P=2 J,其中d为圆心到直线x- y-仁0的距离， P=2f 打r2=4,圆的方程为(x 2) 2+ (y+1) 2=4(4分)(H)设切线方程为 y - 3=k (x 4)|k C2- 4) +4|=2,得 k=24所以切线方程为 3x- 4y=0( 10分)当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4 .故圆的切线方程为 3x- 4y=0或x=4 (12分) 点评：本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法，的

29、性质的合理运用.19. (12分)如图，正方形 ABCD所在平面与三角形且 AE=3, AB=6(1) 求证：AB!平面ADE(2) 求凸多面体 ABCDE勺体积.是中档题，解题时要认真审题， 注意圆CDE所在平面相交于 CD AE!平面CDE考点：直线与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题.专题：证明题；转化思想.分析：(1)根据AE!平面CDE的性质可知 AE! CD而CDLAD ADA AE=A根据线面垂直的判定定理可知 CDL平面 ADE而AB/ CD ,从而 AB!平面 ADE(2)在Rt ADE中，求出 AE AD, DE过点E作EF丄AD于点F,根据AB丄平面 ADE EF

30、? 平面 ADE 可知EF丄AB 而 ADA AB=A从而 EF丄平面 ABCD因AD?EF=AE?DE可求出 EF, 又正方形ABCD勺面积Sabc=36 ,则 恤巩二叽呃妻时/卫吗心宓琴冊, 得到结论.解答：(1)证明：T AE!平面 CDE CD?平面CDE AE1 CD在正方形 ABCD中 , CDL AD/ ADA AE=A - CDL平面 ADE/ AB/ CD AB丄平面ADE(2)解：在 Rt ADE中，AE=3 AD=6呼7肿時二如.过点E作EF丄AD于点F,/ AB丄平面 ADE EF?平面 ADE EF丄 AB/ ADA AB=A EF 平面 ABCD叶曲血护巫皿 Hr

31、/ AD?EF=AE?DEAD 62=_!又正方形ABCC的面积Sabc=36,VABCDE AECD-g SZBCD故所求凸多面体ABCDE勺体积为 1：_： 7.E22兰的值;考点： 专题： 分析： 内的直线直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算. 计算题；证明题；综合题.法一：（I）证明直线 POL平面ABCD因为平面PADL底面ABCD只需证明面 P0垂直这两个平面的交线即可即；PAD（n）连接B0说明/ PBC是异面直线PB与CD所成的角，然后解三角形，求异面直线 与CD所成角的大小；（川）线段AD上存在点Q设QD=x利用等体积方法，求出比值.PD法二：建

32、立空间直角坐标系，求出向量二一，一匚 1 , J -:点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识， 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.20 . （13分）如图，在四棱锥 P- ABCD中,则面PADL底面 ABCD侧棱PA=PD=,底面ABCD 为直角梯形，其中 BC/ AD AB丄AD AD=2AB=2BC=2 0为AD中点.（I）求证：P0丄平面 ABCD（n）求异面直线 PB与CD所成角的大小；（川）线段AD上是否存在点Q使得它到平面PCD的距离为-若存在，求出利用向量数量积解答（n）；利用平面的法向量和数量积解答（川）即可.

33、解答： 解：（I）证明：在厶PAD中，PA=PD O为AD的中点，所以 POLAD又侧面 PADL底面 ABCD平面 PADT平面 ABCD=AD PO?平面PAD所以POL平面ABCD（n）连接 BQ 在直角梯形 ABCD中 , BC/ AD AD=2AB=2BC=2l OD/ BC且OD=BC所以四边形 OBC是平行四边形，所以 OB/ DC由（I）知 POL OB / PBC是锐角，所以/ PBC是异面直线PB与CD所成的角因为 AD=2AB=2BC=2 在 Rt AOB中，AB=1, AO=1,所以 OB=匚在 Rt AOP中 因为 AP= :AO=1 ,所以 OP=1在 Rt AOP中 tan / PBC二2所以：异面直线 PB与CD所成角的大小（川）假设存在点 Q使得它到平面 PCD的距离为立设QD=x则2；二亍-，由（n）得 CD=OB=t ,在 Rt POC中，- 一 ,所以 PC=CD=D,P由 Vi - DQ=Vq -PCD所以存在点Q满足题意，此时解法二：（I）同解法一.（n）以o为坐标原点,、 |的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O- xyz ,依题意，易得 A (0, - 1 , 0), B ( 1 , - 1 , 0) , C (1 ,0，0), D( 0, 1, 0), P (0 ,0, 1),所以 Cl5=1,