曲柄摇杆机构优化设计说明

1、课程作业曲柄摇杆优化设计： 宋 *学号： 2012138229班级： 20121057三峡大学机械与动力学院得分目录1. 曲柄摇杆机构优化设计题目要求 1.2. 课题描述 2. .3. 数学模型的建立 3. .3.1 设计变量的确定 3.3.2 约束条件的建立 3.3.3 目标函数的建立 6.4. 数学模型的建立 8. .5. 用 matlab 优化计算程序及分析讨论 8.5.1 讨论及结果分析 9.5.2.程序代码过程 116. 参考文献 1.0.小结1.2.1. 曲柄摇杆机构优化设计题目要求要求设计一曲柄摇杆机构， 当曲柄由 0 转到 0 +90时，摇杆的输出角实现如下给定的函数关系：32

2、(0)2式中 0 和 0 分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角，它们是机架杆l4为原线逆时针度量的角度，见图 1。 要求在该区间的运动过程中的最小传动角不 得小于 45，即：min 45通常把曲柄的长度当成单位长度，即1）l1=1。另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架杆的长度，现取l4 =5。2. 课题描述在曲柄输入角从 0到 0 2 的过程中，使摇杆输出角尽量满足一个给定的函数f0（ ）即公式（ 1）。对此我将 0 到 0 等分为 m分，当然输出角也将对应的 02分为 m 分，然后我将输出角对应的数值与期望函数进行拟合，如果误差降到最 小，那么得到的结果将会是优化的

3、解，这是将连续型函数转化为离散型的问题， 利用 matalab 编程计算，从而求解。运动模型如图（ 1）所示图（ 1）曲柄摇杆机构运动模型图3. 数学模型的建立3.1 设计变量的确定定义：设计变量是除设计常数之外的基本参数， 在优化设计过程中不断地进行修改、调整、一直处于变化的状态，这些基本参数都叫做设计变量。对于本课题，设计常量为 l1,l2长度，分别为 1和 5。决定机构部分杆长尺寸 l2,l3，0 应该列为设计变量以及摇杆按照已知运动规律开始运动时曲柄所处的位置角即为X= x1 x2x3 T= l2l3由于整个机构的杆长都是按比例来设计的， 他们都是 1 的倍数，按照题目要求曲 柄的初始

4、位置为极位角， 即 0 。则可以根据曲柄摇杆机构各杆长度关系得到 0和相应的摇杆 l3 位置角 0 的函数，关系式为222arccos2）(l1 l 2)2 l42 l322(l1 l2 )l4arccos(l1 l 2) 2 l42 l322l3l43）由已知条件可知 l1,l2长度分别为 1和5，而根据公式（ 2）（3）可知， 0 0是由 l2,l3的长度来决定，所以 l2,l3为独立变量，则可以确定本课题的设计变量X= x1 x2 T l 2 l3 T ,这是一个二维优化问题3.2 约束条件的建立定义：如果一个设计满足所有对它提出的要求， 成为可行设计； 一个可行设计必 须满足某些设计限

5、制条件，这些限制条件做为约束条件。 对本题分析可知机构要满足两个约束条件即杆长条件满足曲柄摇杆机构存在条件 传动角满足最小传动角大于 45 度 min 454）（1）杆长条件满足曲柄摇杆机构存在条件则有 a.最短杆与最长杆长度之和应小于或等于其余两杆之和 b.连架杆与机架中至少有一杆是最短杆 当最短杆为曲柄时即满足曲柄摇杆存在条件，得到以下约束条件g1 (x) l2 0x1 0 45 （ 注：以本机构为例， 传动g2(x)l3 0x2 0（5）g3(x)l1l4l 2 l3 06x1x20（6）g4(x)l2l1l3 l4 0x1x240（7）g5(x)l 3 l1l2 l 4 0x2x140

6、（8）1）传动角满足最小传动角大于45度min角为 l2,l3之间所夹的锐角；机械原理，西工大版）当曲柄在 0, ）时，如图（ 2）所示(3)图（ 2）左极限最小传动角示意图 相应的传动角约束条件为g6(x)1800arccosl2222l32 (l1 l4 )22l2l30 （ 9）当曲柄在 （ ,2 区间上运动时，相应的传动角约束条件为，如图g7(x)arccos2 2 2l22 l32 (l4 l1)2 2l2l3010)这是一个具有 2 个设计变量， 7 个不等式约束条件的优化设计问题，可以选用约 束优化方程成语来计算。3.3 目标函数的建立定义：满足所有约束条件的设计方案是可行设计方

7、案， 优化设计的任务就是要对 各个设计方案进行比较， 从而找出那个最佳的设计方案。 而对设计方案进行优劣 比较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。 针对本课题，目标函数可根据已知的运动规律和机构实际运动规律之间的偏差最小作为指标来建立，即取机构的期望输出角f0( 0 )和实际输出角 i fi ( 0)的平方误差积分最小作为目标函数， 表达式为 0 2 ( Ei i)2 d ，而这时一个连 续型函数，为了方便计算，我们将这个问题转化为离散型的问题。把输入角度 取 m个点进行数值计算，它可以化约( 4) 表达式最小来求解。mf (x) f (x1,x2)( Eii )2i1Ei期望输出角

8、， Ei = E( i)；m 输入角的等分数；实际输出角，由公式( 1) 可知；由曲柄的运动情况， 可以分成三种运动模型， 一种是在曲柄在机架之上运动， 另 一种是曲柄在机架下面运动， 最后一种是二者都满足。 我将分别对此讨论， 写出 相应的目标函数并分析前两种结果对最终结果的影响。(1) 当0 i 时，如图 (4)4)曲柄在 0区间模型图实际输出角为(0i)12)2iarccosl322 i l3l222i x2arccos2 ix22 x1(13)arccos i2 l42 l122 il4arccos i 2410 i(14)l12 l422l1l4 cos i26 10cos i(15

9、)由于我们将 00 2等分为 m分，则实际的输入角i 可以用函数表示出来为ii02m这里我将输出角的等分数设置成 30，则 可以表示出实际输入角的函数为i0i6016)2)当2 时，如图 (5)实际输出角为 i 2 ) (17)i, i, i, i表达式如（ 13）（14）（15）（ 16）所示。3）当（ 1）（ 2）两种情况都综合考虑进去时，则应该表示为i i i 0 i )i iii 2 )i, i, i, i表达式如( 13)(14)（15）（18）（ 16）所示。4. 数学模型的建立 通过上面的分析后，将输入角分成 30 等分（ m=30）， 经过转化为标准形式 得到曲柄摇杆机构优化设

10、计标准数学模型为目标函数：mf (x) f (x1,x2)( Eii )2 mini1设计变量：TT x1 x2l2 l3约束条件：见公式（ 4）（ 5）（6）（ 7）（ 8）（9）（10） 机械优化设计中的问题， 大多数属于约束优化问题， 此为非线性约束优化问 题，运用 MATLAB 优化工具箱的命令函数 fmincon 来处理有约束的非线性多元 函数最小化优化问题。5. 用 matlab 优化计算程序及分析讨论5.1 讨论及结果分析（1） 当曲柄在 0 i 运动时猜想 1.由于曲柄的实际输出角 i 的围不完整，会使 （0 i ）结果拉长到整个 2 区间，从而产生较大偏差。连杆机构实现函数优

11、化设计最优解连杆相对长度 a=4.1286摇杆相对长度 b=2.3226 输出角平方误差之和 f*=0.0076最优点的性能约束函数值最小 BCD夹角约束函数值 g1*=-7.1214最大 BCD夹角约束函数值 g2*=-0.0000图（6）当 （0 i ） 时迭代拟合图结论：通过对比第三种情况，发现二者结果相同，猜想不成立。（ 2）当曲柄i 2 运动时猜想 2. 由于第一种情况下得到的结论对第三种没有影响，可以猜测在区间 i 2 ） 不存在，或者和第三种结果一样。结论： Matlab 显示结果运行错误。则可以说，第二种情况是不存在的，对结果 不产生影响。（3）当（ 1）（ 2）两种情况都综合

12、考虑进去时 连杆机构实现函数优化设计最优解 连杆相对长度 a=4.1286摇杆相对长度 b=2.3226 输出角平方误差之和 f*=0.0076最优点的性能约束函数值最小 BCD夹角约束函数值 g1*=-7.1214最大 BCD夹角约束函数值 g2*=-0.0000图（7） 0 i 2 时迭代你拟合图将连杆长度带入计算，则可以得到传动角的变化规律图（ 8）传动角随输入角变化的规律图结论：经过 matlab 优化的曲线跟期望曲线存在细微的差别，输出角平方误差之 和 f*=0.0076 ，传动角波动围符合要求，所以此优化方程的解符合要求。5.2. 程序代码过程(1)优化设计主程序 M 文件clc;

13、clear;% 铰链四杆机构实现函数的优化设计的主程序% 调用目标函数 optimfun 和非线性约束函数 confunx0 = 6;4;%设计变量的初始值qb = 1;jj = 5;% 设计变量的下界与上界lb = 1;1;ub = ;a = -1 -1;1 -1;-1 1;b = -6;4;4;% 使用多维约束优化命令 fminconx,fn = fmincon(optimfun,x0,a,b,lb,ub,confun);disp 连杆机构实现函数优化设计最优解 fprintf( 连杆相对长度 a=%3.4f n,x(1)fprintf( 摇杆相对长度 b=%3.4f n,x(2)fpri

14、ntf( 输出角平方误差之和 f*=%3.4f n ,fn) % 计算最优点 x* 的性能约束函数值 g = confun(x);disp 最优点的性能约束函数值 fprintf( 最小 BCD 夹角约束函数值 g1*=%3.4fn ,g(1) %fprintf( 最大 BCD 夹角约束函数值 g2*=%3.4fn,g(2)%曲柄初始角%摇杆初始角(2) 调用目标函数及画图 function f=optimfun(x) s=30;qb=1;jj=5;fx=0;fa0=acos(qb+x(1)2-x(2)2+jj2)/(2*(qb+x(1)*jj); pu0=acos(qb+x(1)2-x(2)

15、2-jj2)/(2*x(2)*jj);for i=1:sfai=fa0+0.5*pi*i/s;pu(i)=pu0+2*(fai-fa0)2/(3*pi);%摇杆期望角ri=sqrt(qb2+jj2-2*qb*jj*cos(fai);alfi=acos(ri2+x(2)2-x(1)2)/(2*ri*x(2); bati=acos(ri2+jj2-qb2)/(2*ri*jj);if fai0 & faipi & fai=2pi%ps(i)=pi-alfi+bati;endfx=fx+(pu(i)-ps(i)2;end i=1:30;f=fx; %输出角平分误差之和plot(i,ps(i), r-.

16、 ,i,pu(i), b-* );legend( 期望曲线 , 实际曲线 );grid on(3) 调用约束条件function c,ceq=confun(x) qb=1;jj=5;m=45*pi/180;n=135*pi/180;%c(1)=x(1)2+x(2)2-(jj-qb)2-2*x(1)*x(2)*cos(m);%最小 BCD 夹角传动角约束c(2)=-x(1)2-x(2)2+(jj+qb)2+2*x(1)*x(2)*cos(n);%最大 BCD 夹角约束ceq=;(4) 传动角与输入角关系代码%曲柄摇杆机构运动过程中传动角变化曲线图源代码l2=4.0483 ;l3=2.6550;l

17、4=5; a1=acos(1+l2)2+l42-l32)/(2*l4*(1+l2);a2=pi-acos(l32+l42-(1+l2)2)/(2*l4*l3);for i=1:360;fai(i)=a1+(pi/2)*(i/360);rou(i)=sqrt(1+l42-2*l4*cos(fai(i);if rad2deg(acos(l22+l32-rou(i)2)/(2*l2*l3)=90CDJ(i)=acos(l22+l32-rou(i)2)/(2*l2*l3);elseCDJ(i)=pi-acos(l22+l32-rou(i)2)/(2*l2*l3);endendx=fai;y=CDJ;p

18、lot(x,y)xlabel( 曲柄输入角 /rad,fontsize,12,fontname,宋体 );ylabel( 传动角 /rad,fontsize,12,fontname,宋体 );title( 给定区间的传动角变化曲线图 ,fontsize,12,fontname, 宋体 ); grid on6. 参考文献【1】机械原理第七版； 西北工业大学机械原理及机械零件教研室编； 主编 桓 做 模 文杰【 2】机械优化设计；工业大学 靖民 主编7. 小结通过对工程优化与 matlab 实现的学习， 我初步了解了 matlab 软件的的使用 方法，接触了相关的规准则及设计方法， 最主要的，我学习了一种新的思维方式， 对我产生了不小的影响。初次上这个课程的时候， 对我来说有一定的难度， 上课老师所讲述的容我也是 似懂非懂，但是通过逐渐深入的了解， 慢慢地了解原理， 真的让我觉得受益匪浅。 首先，老师在给出题目的时候曾说过三个要求， 其中当提到否真正的看过一篇文 献，是否真正的完成一篇论文的时候， 再加上他提起自己第一次发表论文时， 他 的导师很认真