动点问题题型方法归纳

1、。动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、（ 2009 年齐齐哈尔市） 直线 y3 x 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点， 动点 P、 Q 同时4从 O 点出发，同时到达A 点，运动停止点Q 沿线段 OA运动，速度为每秒1 个单

2、位长度，点 P沿路线 O B A运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S48P 的坐标，并直接写出以点O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第时，求出点5四个顶点 M 的坐标yBPO QA x提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（ 3）问是分类讨论：已知三定点O、 P、 Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类- OP为边、 OQ为边， OP为边、 OQ为对角线， OP为对角线、 OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。精选资料，

3、欢迎下载。2、（ 2009 年衡阳市）如图，AB 是 O的直径，弦BC=2cm， ABC=60o（ 1）求 O的直径；（ 2）若 D是 AB延长线上一点，连结 CD，当 BD长为多少时， CD与 O相切；（ 3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB方向运动， 同时动点F 以 1cm/s 的速度从B 点出发沿BC方向运动，设运动时间为t (s)(0t2) ，连结 EF，当 t 为何值时， BEF为直角三角形注意：第（ 3）问按直角位置分类讨论CCCFFADAEBAOEBOBO图（ 1）图（ 2）图（ 3）3、（ 2009 重庆綦江）如图，已知抛物线y a( x 1)2 3 3(

4、 a0) 经过点 A(2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过 O 作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C ， B 在 x 轴正半轴上，连结BC （ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P 运动的时间为 t( s) 问当 t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运

5、动M的时间为 t ( s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时， 四边形 BCPQ 的yDCP精选资料，欢迎下载AOQB x。面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长注意：发现并充分运用特殊角DAB=60当 OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。二、特殊四边形边上动点4、（ 2009 年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为 6 厘米，B60从初始时刻开始，点 P 、Q 同时从 A点出发，点 P 以 1厘米 / 秒的速度沿 ACB 的方向运动， 点 Q以 2厘米/秒的速度沿 A BCD 的方向运动，当点Q 运动到D点时， P、Q两点同时停止运动，设P、 Q 运动的时间为x秒时， APQ 与

6、ABCy平重叠部分 的面积为方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是秒；（ 2）点 P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时x 的值是秒；（ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式DCPBA Q提示：第 (3) 问按点 Q到拐点时间B、C 所有时间分段分类；提醒 -高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、（ 2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，ABCO点 A 的坐标为（ 3 ，4），点 C在 x 轴的正半轴上，直线AC交 y 轴于点 M，AB边交 y 轴于点精

7、选资料，欢迎下载。H（ 1）求直线AC的解析式；（ 2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点C匀速运动，设 PMB的面积为 S（ S0 ），点 P 的运动时间为t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（ 3）在（ 2）的条件下，当t为何值时， 与 互为余角，并求此时直线与直MPBBCOOP线 AC所夹锐角的正切值yAH BAyH BMOCxMOCx图（ 1）2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；注意：第（图（ 2）第（ 3）问发现 MBC=90， BCO与 ABM互余，画出点P 运动过程中， MP

8、B= ABM的两种情况，求出 t 值。利用 OB AC,再求 OP与 AC夹角正切值 .6、 (2009 年温州 ) 如图，在平面直角坐标系中，点A( 3 ，0) ，B(33 ，2) ，C（ 0，2) 动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点0 出发沿 OC向终点 C 运动，同时动点E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB向终点 B 运动过点 E 作 EF上 AB，交 BC于点 F，连结 DA、 DF设运动时间为 t 秒(1)求 ABC的度数；(2)当 t 为何值时， AB DF；(3)设四边形 AEFD的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式； 若一抛物线y=x 2+mx经过动点

9、E，当 S23 时，求 m的取值范围 ( 写出答案即可 ) 注意：发现特殊性， DE OA精选资料，欢迎下载。7、（ 07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且 AOC=60，点 B 的坐标是 (0,83) ，点 P 从点 C开始以每秒1 个单位长度的速度在线段CB上向点 B 移动，同时，点Q从点 O开始以每秒a（ 1 a 3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设 t (0t8) 秒后，直线PQ交 OB于点 D.（ 1）求 AOB的度数及线段 OA的长；（ 2）求经过 A， B，C 三点的抛物线的解析式；43 时，求 t 的值及此时直线 PQ的解析式；（ 3）当 a

10、 3, OD3OAB 相似？当 a 为何值时，以（ 4）当 a 为何值时，以O，P，Q， D为顶点的三角形与O，P， Q， D 为顶点的三角形与OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明.yBPCDAQxO8、（ 08 黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中， OC AB ，以 O 为原点建立平面直角坐标系， A， B，C 三点的坐标分别为A(8，0)， B(810)， C (0，4) ，点 D 为线段 BC 的中点，动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度， 沿折线 OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒（ 1）求直线 BC 的解析式；（ 2）若动点 P 在线段 OA 上移动，

11、 当 t 为何值时， 四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB 面积的 2 ？7（ 3）动点 P 从点 O 出发， 沿折线 OABD 的路线移动过程中，设 OPD 的面积为 S ，请直精选资料，欢迎下载。接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；（ 4）当动点 P 在线段 AB 上移动时， 能否在线段OA 上找到一点 Q ，使四边形 CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由BByyDDCCOPAx OAx（此题备用）9、 (09年黄冈市 ) 如图 , 在平面直角坐标系xoy中 , 抛物线 y1 x2 4 x 10 与 x 轴的交点为18 9点 A, 与

12、 y 轴的交点为点 B. 过点 B 作 x 轴的平行线 BC, 交抛物线于点C, 连结 AC现有两动点P,Q 分别从 O,C 两点同时出发 , 点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点 A移动 , 点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点 B移动 , 点 P 停止运动时 ,点 Q也同时停止运动 , 线段 OC,PQ相交于点 D, 过点 D作 DE OA, 交 CA于点 E, 射线 QE交 x 轴于点F设动点 P,Q 移动的时间为t ( 单位 : 秒 )(1) 求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2) 当 t 为何值时 , 四边形 PQCA为平行四边形 ?请写出计算过程 ;(3

13、) 当 0t 9 时 , PQF 的面积是否总为定值?若是 , 求出此定值 ,若不是 , 请说明理由 ;2(4) 当 t 为何值时 , PQF为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA（定值）。第（ 4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.精选资料，欢迎下载。三、直线上动点8、（2009 年湖南长沙）如图，二次函数yax2bxc（ a0 ）的图象与 x 轴交于 A、 B两点，与 y 轴相交于点 C 连结 AC、 BC，A、C 两点的坐标分别为A( 3，0) 、 C (0， 3) ，且当 x4 和 x2 时二次函数的函数值y 相等（ 1

14、）求实数 a， b，c 的值；（ 2）若点 M 、 N 同时从 B 点出发， 均以每秒1 个单位长度的速度分别沿BA、 BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t 秒时，连结MN ，将 BMN 沿 MN 翻折， B点恰好落在 AC 边上的 P 处，求 t 的值及点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以 B， N， Q 为项点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yPCN提示：第（ 2）问发现AM O B特殊角 CAB=30 , CBA=60xBNPM为菱形；特殊图形四边形第(3)

15、 问注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC相似的 BNQ ，再判断是否在对称轴上。9 、（ 2009眉山）如图，已知直线1yx1与y轴交于点Ax 轴交于点D2，与，抛物线yxbx c与直线交于A EB C两点，且B点坐标为(1，0)。12、两点，与 x 轴交于、2求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M的坐标。提示：第（ 2）问按直角位置分类讨论后画出图形-P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE精选资料，欢迎下载。为直径画圆与x 轴交点即为所求点P，

16、 A 为直角顶点时，过点A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P， E 为直角顶点时，作法同；第（ 3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009 年兰州）如图，正方形 ABCD中，点 A、B 的坐标分别为（ 0，10），（ 8，4）， 点C在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD的边上， 从点 A 出发沿 A B CD匀速运动， 同时动点 Q以相同速度在 x 轴正半轴上运动， 当 P 点到达 D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为 t 秒(1) 当 P 点在边 AB上运动时，点 Q的横坐标 x （长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q

17、开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2) 求正方形边长及顶点 C的坐标；(3) 在（ 1）中当t为何值时，的面积最大，并求此时P点的坐标；OPQ(4) 如果点 P、 Q保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D匀速运动时， OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由注意：第（ 4）问按点 P 分别在 AB、 BC、CD边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。11、（ 2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中， ABC三个顶点的坐标分别为A 6,0 ，B 6,0 ，C 0,413 ，延长 AC到点 D, 使 CD= AC , 过

18、点 D 作 DE AB 交 BC的延长线于点 E.2（ 1）求 D点的坐标；（ 2）作 C 点关于直线 DE的对称点 F, 分别连结 DF、 EF，若过 B 点的直线 y kxb 将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3）设 G为 y 轴上一点， 点 P 从直线 ykx b 与y轴的交点出发， 先沿 y 轴到达 G点，再沿 GA到达 A点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA上精选资料，欢迎下载。运动速度的 2 倍，试确定 G点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分

19、周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为. 见“最短路线问题”专题。12、 (2009 年上海市 )ADADADPPP已知 ABC=90，QBCB（Q）图 2图 1段 BD上的动点，点 Q在射线 AB 上，且满足AB=2，BC=3，ADCBC BC，P为线PQAD图 3所示）PCAB Q（如图 1（ 1）当 AD=2，且点 Q 与点 B重合时（如图2 所示），求线段 PC 的长；（ 2）在图 8 中，联结当AD3QABB、QxAP，且点在线段上时，设点，2之间的距离为SAPQ表示 APQ的面积， S PBC 表示 PBC 的面积，

20、求 y 关于 x 的函数y ，其中 S APQSPBC解析式，并写出函数定义域；（ 3）当 AD AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图3 所示），求QPC 的大小注意：第（ 2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值， 然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PC BD时，点Q、 B 重合， x 获得最小值；当 P 与 D 重合时， x 获得最大值。第（ 3）问，灵活运用 SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQP BCP，得 B、 Q、 C、 P 四点共圆

21、也可求解。13、（08 宜昌）如图，在 RtABC中， ABAC，P 是边 AB（含端点）上的动点过 P 作 BC 的垂线 PR，R为垂足， PRB的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS上存在一点 T，若以线段 PT为一边作正方形 PTEF，其顶点 E，F 恰好分别在边 BC，AC上（1）ABC与 SBR是否相似，说明理由；（2）请你探索线段 TS与 PA的长度之间的关系；精选资料，欢迎下载。（ 3）设边 AB1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF的面积 y 的最小值和最大值BBRTSRTSEEPPCFACFA(第 13 题)(第 13 题)提示：第（ 3）问

22、，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使 T 与 R 重合时， PA=TS为最大；当P 与 A 重合时， PA最小。此问与上题中求取值范围类似。14、 (2009 年河北 ) 如图，在Rt ABC中， C=90， AC = 3 ， AB = 5 点 P从点 C出发沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC返回；点 Q从点 A 出发沿 AB以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q的运动， DE保持垂直平分 PQ，且交 PQ于点 D，交折线 QB- BC- CP于点 E点 P、Q同时出发，当点 Q到达点 B 时停止运动

23、，点 P 也随之停止设点 P、 Q运动的时间是 t 秒（ t 0）（ 1）当 t= 2 时， AP =，点 Q到 AC的距离是；（ 2）在点 P 从 C向 A 运动的过程中，求 APQ的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围）（ 3）在点 E从 B 向 C运动的过程中，四边形 QBED能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（ 4）当 DE经过点 C时，请直接 写出 t 的值BEQDAPC提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，；（）按点 P 运动方向分类， 按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形

24、，t 时，时精选资料，欢迎下载。15、（2009 年包头） 已知二次函数y ax2bx c（ a0 ）的图象经过点A(1，0) ， B(2，0) ，C (0， 2) ，直线 x m （ m 2）与 x 轴交于点 D （ 1）求二次函数的解析式；（ 2）在直线 xm （ m2 ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E、 D、B 为顶点的三角形与以 A、 O、C 为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示） ；（ 3）在（ 2）成立的条件下， 抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由提示：第

25、（ 2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（ 3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（ 2）问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点16、（ 2009 年湖北十堰市） 如图， 已知抛物线y ax2bx3（ a ）与 x 轴交于点A，0(10) 和点 B ( 3， 0) ，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角PCMP形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、 CE，求四边形B

26、OCE面积的最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标 - C 为顶点时，以C为圆心 CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， M为顶点时，以M为圆心 MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， P 为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。精选资料，欢迎下载。17、（ 2009 年黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在 x 轴正半轴上，D 在 y 轴的负半轴上，AB 交 y 轴正半轴于 E， BC 交 x 轴负半轴于 F ， OE1 ，抛物线yax2bx4 过 A、D、F 三点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）Q 是抛物线上 D、F 间的一点， 过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ，交 BC 所在直线于N，若3，则判断四边形 AFQM的形状；S四边形AFQMSF