最新人教部编版九年级数学上册《22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式》精品PPT优质课件

1、22.1.4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的图象和性质 第第2课时课时 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 R九年级上册九年级上册 问题：如果一个二次函数的图象经过问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？三点，能求出这个二次函数的解析式吗？ 会用待定系数法求二次函数的解析式会用待定系数法求二次函数的解析式. . 思考思考 回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的 一般步骤求二次函数一般步骤求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是的解析式

2、的关键是 什么？什么？ 知识点1 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行） 的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数 的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定 二次函数？二次函数？ 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这，求这 个函数的解析式个函数的解析式. 第一步第一步: :设出解析式的形式；设出解析式的形式； 第二步第二步: :代入已知点的坐标；代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。第三步：解方

3、程组。 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 三个未知数，两个三个未知数，两个 等量关系，这个方等量关系，这个方 程组能解吗？程组能解吗？ 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式求这个函数的解析式. 第一步第一步: :设出解析式的形式；设出解析式的形式； 第二步第二步: :代入已知点的坐标；代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。第三步：解方程组。 解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：由已知得

4、： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 三个未知数，三个三个未知数，三个 等量关系，这个方等量关系，这个方 程组能解吗？程组能解吗？ a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 ? 由由-可得：可得：2b=-6b=-3 由由-可得：可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2 将将a=2，b=-3代入代入可得：可得：2+3+c=10c=5 解方程组得：解方程组得： a=2, b=-3, c=5 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式求这个函数的解析式. 第一步第一步: :设出解析式的形式；设出解

5、析式的形式； 第二步第二步: :代入已知点的坐标；代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。第三步：解方程组。 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得：解方程组得： 因此，所求二次函数是：因此，所求二次函数是： a=2, b= -3, c=5 y=2x2-3x+5. 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定的解析式，关键是求出待定 系数系数a，b，c的值。的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标） 列出关于列

6、出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就可以，就可以 写出二次函数的解析式。写出二次函数的解析式。 归纳归纳 任意两点的连任意两点的连 线不与线不与y轴平行轴平行 已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式三点，求这个函数的解析式. 第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式； 第二步第二步:代入已知点的坐标；代入已知点的坐标； 第三步第三步:解方程组。解方程组。 解：设所求抛物线的解析式为解：设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c. 抛物线经过点抛物线经过点A(-1，0), B

7、(4，5), C(0，-3). 解得解得a1，b-2，c-3. 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx2-2x-3. 0 1645 3. ab c ab c c ， ， 练习练习 图象顶点为图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是的二次函数的解析式是 y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式，如果顶点坐标已知，那么求解析式 的关键是什么？的关键是什么？ 知识点2 已知抛物线顶点为已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点，且又过点(2,-3)，求其解析式，求其解析式. 解：解：抛物线顶点为抛物线顶点为(1,-4) 设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又又抛物线过点抛物线过

8、点(2,-3)， 则则-3=a(2-1)2-4，则，则a=1. 其解析式为其解析式为y=(x-1)2-4x2-2x-3. 已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般 步骤步骤: 第一步：第一步：设解析式为设解析式为y=a(x-h)2+k. 第二步：第二步：将已知点坐标代入求将已知点坐标代入求a值得出解析式值得出解析式. 归纳归纳 知识点3 一个二次函数，当自变量一个二次函数，当自变量x0时，函数值时，函数值y-1，当，当 x-2与与 时，时，y0，求这个二次函数的解析式，求这个二次函数的解析式. 1 2 1 2,0()1)( 2 1ya xxxy a

9、， 方方法法 ： 的值. 设设再再把把代代入入其其中中, , 求求出出 yaxbxcxyx yabc 2 1 012 2 0 2， ， ， 方方法法 ：，由“ ”，列方程组求出 设设时时，与与 时时， 的的值值. . 两种方法的结果一两种方法的结果一 样吗？两种方法哪样吗？两种方法哪 一个更简捷？一个更简捷？ 已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴交于轴交于A(1,0)， B(3,0)两点两点(两点的纵坐标都为两点的纵坐标都为0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0,3)， 求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式. 解解: : 图象与图象与x轴交于轴交于A(1,0)

10、，B(3,0) 设函数解析式为设函数解析式为ya(x-1)(x-3) 图象过点图象过点C(0,3) 3=a(0-1)(0-3)，解得，解得a=1. 二次函数解析式为二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤： 设出合适的函数解析式；设出合适的函数解析式； 把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方 程或方程组；程或方程组； 解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式. . 知识点4 已知二次函数已知

11、二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴交于轴交于A(1，1)， B(3，1)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，求这个二次函数，求这个二次函数 的解析式的解析式. 方法方法1：设设y=a(x-1)(x-3)+1,把把C(0，3)代入其中求出代入其中求出 a的值的值. 方法方法2：设设y=ax2+bx+c，把把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求代入其中列方程组求a，b，c的值的值. 两种方法的结果两种方法的结果 一样吗？哪种方一样吗？哪种方 法更简捷？法更简捷？ 已知二次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6)

12、,求这个求这个 二次函数的解析式二次函数的解析式. 解：设其解析式为解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3, 又又图象经过点图象经过点(2,6), 6=a(2-1)(2+1)+3, 解得解得a=1. 二次函数解析式为二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2. 基础巩固基础巩固 1.如图所示如图所示,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象 顶点为顶点为A(-2,-2),且过点且过点B(0,2),则则y与与x的函数关系式为的函数关系式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2

13、)2-2 2. 抛物线抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过经过(1,2) 和和(-1,-6)两点，则两点，则a+c= 3.已知二次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4,则则 其解析式为其解析式为 . D -2 y=-7(x-3)2+4. 4. 11, 10, 2( )(),() 1,1,( 21,03,01, ); ( )(),(),().5 已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： 2 22yxx 25 15 4 yx 解：解： （1）选用一般式求解析式：）选用一般式求解析式： （2）选用交点式求解析式：）选用交点式求解析式： 根

14、据已知条件选设函数解析式：根据已知条件选设函数解析式： 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择 适当的形式，才能使解题简便适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：一般来说，有如下几种情况： 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶 点式；点式； 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式； 已知抛物线上纵坐标相

15、同的两点，常选用顶点式（可求出对已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对 称轴）称轴）. 综合应用综合应用 5. 如图所示如图所示,已知抛物线的对称轴是直线已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与它与x轴交轴交 于于A、B两点两点,与与y轴交于轴交于C点点,点点A、C的坐标分别是的坐标分别是(8,0)、 (0,4),求这个抛物线的解析式求这个抛物线的解析式. 解：由抛物线过解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为及对称轴为x=3, 知抛物线一定过点知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), 抛物线过点抛物线过点(0,4), 2 1 (2)(8) 4 13 4. 42 yxx yxx 这个抛物线的解析式为 即 4=a(0+2)(0-8), 1 . 4 a解解得得 拓展延伸拓展延伸 6.已知抛物线顶点已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与且抛物线与x轴的两交点间的轴的两交点间的 距离为距离为8，求其解析式求其解析式.