大学高等数学上册：8-3(2)

1、间接展开法 3.函数展开为幂级数举例，间接展开法 ., ;, 积分收敛半径不变微分乘 加减收敛域不变一般 .,尽可能用加减间接法展开 .的敛散性否则需重新讨论端点处 ) ( ! 2 ) 1( 2 0 xx n n n n n .)( 2 2 的幂级数为展开xexf x ) 2 ( 2! 1 )( : 22 0 xx n xf n n 解 例: .arctan)(的幂级数为xxxf例:展开 2 1 1 )(: x xf 解 0 2 n n x 1 2 x dxxfxf x )()( 0 dxx x n nn 0 0 2 ) 1( 12 0 12 ) 1( n n n x n ) 11(x .,

2、12 ) 1( 12 ) 1( ,1 00 1 都收敛与级数成为时当 nn nn nn x ) 11( 12 ) 1( arctan 0 12 xx n x n n n . 1 1 ln)(的幂级数为x x x xf 例:展开 2 1 1 )(: x xf 解法一 0 2 n n x 1 2 x dxxfxf x )()( 0 x n ndx x 0 0 2 12 0 12 1 n n x n ) 11(x ?1x为什么不讨论点 )1ln( 2 1 )1ln( 2 1 )(:xxxf解法二 1 1 1 1 )( ) 1( 2 1) 1( 2 1 n n n n n n x n x n ) 11

3、, 11(xx n n n x n 1 1 1) 1( 2 1 ) 11(x . ) 4 ( sin)(的幂级数为 xxxf例:展开 44 sin)(: xxf解 4 cos 4 sin 2 1 xx 0 2 0 12 4)!2( ) 1( 4)!12( ) 1( 2 1 n n n n n n x n x n 4 x 4! 4 1 4! 3 1 4! 2 1 4 1 2 1 43 2 xx xx )(x .1 5 1 )(处展开为泰勒级数在点 x x xf例:将 ) 1(4 1 )(: x xf解 4 1 1 1 4 1 x 0 4 1 4 1 n n x 1 4 1x 0 1 ) 1( 4

4、 1 n n n x)53(x .1)2ln( 2 的泰勒级数在基点 xxx例:求函数 ) 12ln(ln)2ln(: 2 xxxx解 )22(1ln) 1(1lnxx n nn n n n x n x n ) 1(2 ) 1( ) 1( ) 1( 11 11 ) 1) 1(21, 111(xx n n nn x n ) 1( )21 () 1( 1 1 2 3 2 1 x . ) 1( 1 ln )( 1 的幂级数为 xdt t t xf x 例:展开 1 ln )(: x x xf解) 1(1ln 1 1 x x n n n x nx ) 1( ) 1( 1 1 1 1 ) 111(x 1

5、 1 1 ) 1( ) 1( n n n x n )20( x ) 1 ()()(fxfxf dxxf x 1 )( x n n n dxx n 1 1 1 1 ) 1( ) 1( n n n x n xf) 1( ) 1( )( 1 2 1 )20( x 1 2 1 , 0 n n x级数成为时当 1 2 1 ) 1( , 2 n n n x级数成为时当 两个数项级数都收敛 n n n x x n dt t t xf)1( )1( 1 ln )( 1 2 1 1 )20( x . 1 1 )( 0 的形式为级数 n n n x x cxxf 例:展开函数 1 1 )( : x x xg设解

6、g g x 1 1 则 0 )1 ( n n gg) 1 (g 10n n n n gg 1 21 n n g 1 1 1 21)( n n x x xf 0 1 1 1 x x x 得由 求数项级数之和).1 ( 4.函数幂级数展开式的应用 . 2 ! 1 ),( ! : 1 1 1 的和并计算数项级数 在收敛域内的和函数求幂级数例 n n n n n n xsx n n ),( ! : 1 1 收敛域幂级数解 n n x n n ) ( ! )( 1 1 xx n n xs n n 令 1 1 )!1( 1 )( n n x n xs则 0 2 ! 1 n n x n 0 2 ! 1 n

7、n x n x x ex 2 )(x n n n n n n nn n n n 2 ! 1 2 ! 2 ! 1 111 0 1 1 12 ! 1 2 ! 2 1 n nn n nn n ) 1()2( 2 1 2 es1 2 e n n n n 2 1 1 1 例:求收敛数项级数 的和 1 1 )(: n n x n n xs令解 ) 11(x 1 1 1 )( n n x n n x xs 则 1 0 1 1 )( n n x x n dx x xs 1 1 0 1 1)( n n x x n dx x xs x 1n n x x x 1 dx x x dx x xs x xx 1 )( 0

8、0 )1ln(xx )1 ( )1ln()1 ()1ln()( 2 xx xxx x xx x xs )1 ( )1ln()1 ( )( xx xxx xs )0, 11(xx 2 1 2 1 1 1 s n n n n )2ln1 (2 n n x n n xs 1 1 )( 0, 0 011, )1 ( )1ln()1 ( x xx xx xxx 且 1 )!12( ) 1( n n n n 例:求收敛数项级数 的和 1 12 )!12( ) 1( )(: n n n x n n xs令解 )(x n x n n dxxs n n n x 2)!12( ) 1( )( 2 1 0 则 0

9、12 0 )!12( ) 1( 2 1 )( n n n x xx n dxxsx)(sin 2 1 xx x xx xs 2 sin )( 2 2 sincos x xxx )0,(xx ) 1 ( )!12( ) 1( 1 s n n n n ) 1sin1(cos 2 1 12 1 )!12( ) 1( )( n n n x n n xs 0, 0 0, 2 sincos 2 x xx x xxx 且 (2).求函数的高阶导数值 ).0( )0( ,sin)( : )101()100(3 ffxxf与求设例 xxxxf3sin 4 1 sin 4 3 sin)(: 3 解 12 0 12

10、 0 )3( )!12( ) 1( 4 1 )!12( ) 1( 4 3 n n n n n n x n x n )3,(xx )( )!12( )31 () 1( 4 3 )( 12 0 2 xx n xf n n nn k k k x k f 0 )( ! )0( 0 !100 )0( )100( f 0)0( )100( f !101 )31 () 1( 4 3 !101 )0( 10050)101( f )31 ( 4 3 )0( 100)101( f ).1 ( ),2ln()( )(2n fxxxf求设例: ) 1(1ln)(: 2 xxf解 ) 1) 1(1() 1( ) 1(

11、22 1 1 xx m m m m )20() 1( 1 1 2 xx m m m k k k x k f ) 1( ! ) 1 ( 0 )( nn f n 1 )!2( ) 1 ( )2( n n f n )!2( ) 1 ( )2( ) , 2 , 1 (n 0 )!12( ) 1 ( )12( n f n 0) 1 ( )12( n f ) , 2 , 1 , 0 (n .问题是估计误差近似计算中的一个重要 (3).近似计算 .10 , sin ,245 : 4 1 0 1005 要求误差不超过 的近似值计算例dxxx 555 23245).1 ( :解 5 5 3 2 13 5 1 5 ) 3 2 1 ( 3 3 5 2 55 3 2 ! 3 )2 5 1 )(1 5 1 ( 5 1 3 2 ! 2 ) 1 5 1 ( 5 1 3 2 5 1 13 ,莱布尼兹型级数上述级数从第二项起成 估计误差 2 5 2 3 2 5 4 5 1 2 1 3 r 92 35 8 4 10 5 5 3 2 5 1 132450049. 3 dxxx sin ).2( 1 0 100 dxx n x n n n 12 1 0 0 100 )!12( ) 1( 0 )1022()!12( ) 1( n n nn 0082. 0 104! 3 1 102 1 4 2 10 106