不可压缩理想流体的平面规律运动

1、7 7不可压缩理想流体的平面运动 基本内容基本内容： l掌握有旋运动与无旋运动掌握有旋运动与无旋运动 l掌握势函数与流函数及其存在的条件掌握势函数与流函数及其存在的条件 l熟悉势函数和流函数的求法熟悉势函数和流函数的求法 平面运动平面运动是指整个流场中流体速度都平行于某一 平面，且流体各物理量在与该平面垂直的方向上没有 变化的流动。例如空气横向绕过塔设备、高楼等的流。例如空气横向绕过塔设备、高楼等的流 动动, ,可视为垂直于柱体的平面流动。在工程实际中，可视为垂直于柱体的平面流动。在工程实际中， 常见的是不可压缩理想流体的平面运动。常见的是不可压缩理想流体的平面运动。 研究不可压缩理想流体的平

2、面流动，首先要建立 运动微分方程，然后结合边界条件求解。 7.17.1流体微团的运动分析流体微团的运动分析 在流体流动时，流体微团除了平动和转动之外，在流体流动时，流体微团除了平动和转动之外， 还伴有变形运动。还伴有变形运动。 在对流体微团进行变形运动分析时，不是看其变 形量的大小，而是看其变形速度的大小。 分析流体微团运动的基本量：分析流体微团运动的基本量： l线变形速度线变形速度 l剪变形速度剪变形速度 l平均旋转角速度平均旋转角速度 一、线变形速度一、线变形速度 首先看一维情首先看一维情 况。况。t时刻，在时刻，在x 轴上取一微小流轴上取一微小流 体线段体线段AB=x， A点的速度为点的

3、速度为vx，按泰勒级数展开，按泰勒级数展开，B点的速点的速 度可表示为度可表示为 x dx dv v x x ABA?B? x x vxt (vx+(dvx/dx)x)t tt+t 经过经过t时间后，时间后，AB运动到运动到A?B?，其长度的改变量为，其长度的改变量为： tx dx dv tvtx dx dv vABBA x x x x )( ABA?B? x x vxt (vx+(dvx/dx)x)t tt+t 则单位长度在单位时间内长度的改变量为：则单位长度在单位时间内长度的改变量为： dx dv tx ABBA x t x 0 lim 把把x叫做线段叫做线段AB在在x轴轴的线变形速度的线

4、变形速度。 x 正值正值 负值负值 拉伸拉伸 压缩压缩 对于三维空间，流体微团的速度是空间坐标对于三维空间，流体微团的速度是空间坐标 的函数，即的函数，即 ),( ),( ),( tzyxvv tzyxvv tzyxvv zz yy xx z v y v x v z z y y x x , 则有则有 下标下标x,y,z表示变形发生的方向。表示变形发生的方向。 00 z v y v x v z y x zyx 这就是不可压缩流体的连续方程这就是不可压缩流体的连续方程。 对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不 发生改变发生改变，则有，则有 二、剪变形角速度二、

5、剪变形角速度 A BC D vx vy vxt y y v v x x x x v v y y ty y v v x x )( x y 经经t时间后，流体微团发生变形，时间后，流体微团发生变形，AB边转过边转过 的角度为的角度为，BC边转过的角度为边转过的角度为。则。则 t x v t y v y tvy y v v y x x x x )( tan 则定义剪变形角速度为则定义剪变形角速度为 )( 2 1 2 1 lim 0 y v x v t x y t z 即单位时间内直角改变量的一半。即单位时间内直角改变量的一半。 同理对三维空间可写出同理对三维空间可写出 )( 2 1 x v z v

6、zx y )( 2 1 z v y v y z x 剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。 三、平均旋转角速度三、平均旋转角速度 y x I ( (+ +)/2)/2 D? C? B? DC BA I? 虚线是初始位置，经过虚线是初始位置，经过 t时间后，流体微团运动到时间后，流体微团运动到 AB?C?D?。由几何关系。由几何关系 t y v x v IIA x y )( 2 1 )( 2 1 则单位时间内角平分线转过的角度为则单位时间内角平分线转过的角度为 )( 2 1 lim 0 y v x v t IIA x y t z 对于三维问题同理可得出对于三维问题同理可得出 )(

7、2 1 )( 2 1 x v z v z v y v zx y y z x y x I ( (+ +)/2)/2 D? C? B? DC BA I? 矢量式为矢量式为 zyx vvv zyx kji v 2 1 2 1 7.27.2有旋运动和无旋运动有旋运动和无旋运动 一般来说，粘性流体的流动是有旋的，而理想 流体的流动可能是无旋的，也可能是有旋的。流动 究竟是有旋还是无旋，是根据流体微团本身是否旋 转来确定的，而不是根据流体质点的运动轨迹是否 弯曲来判定。 zyx vvv zyx kji vrot 根据旋度的概念根据旋度的概念： 速度场的旋度与平均旋转角速度相比较速度场的旋度与平均旋转角速度

8、相比较: : vrot 2 1 所以所以平均旋转角速度平均旋转角速度不仅是分析流体微团在 运动过程中旋转运动的特征量，同时也是判断流体是判断流体 的运动是有旋运动还是无旋运动的标准的运动是有旋运动还是无旋运动的标准。 运动是有旋的 运动是无旋的 00 00 vrot vrot 流体运动中的有旋运动与刚体的旋转运动是 两个完全不同的概念。流体的有旋与无旋不是通 过宏观上流体运动的特征来判断。也就是说，宏 观上作圆周运动的流场可能是无旋运动，而宏观 作直线运动的流场也可能是有旋的。 例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为 0, yx vcyv 其中其中c为常数

9、。判断流动是否无旋？为常数。判断流动是否无旋？ v0 vx y x 由判断条件由判断条件 0 2 1 )( 2 1 c y v x v x y z 故运动是有旋的。故运动是有旋的。 例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知 流体速度分布为流体速度分布为 0, r v r c v 其中其中c为常数，试判断为常数，试判断 流动有旋还是无旋？流动有旋还是无旋？ r 在极坐标系下的判断条件为在极坐标系下的判断条件为 ) v r 1 )rv( rr 1 ( 2 1 r z 代入速度分布可得代入速度分布可得 0 z 故该流动是无旋的。故该流动是无旋的。 7.

10、37.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程不可压缩理想流体平面势流的基本方程 工程上有许多问题可简化为理想流体的 无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。 7.3.17.3.1速度势函数速度势函数 对于无旋流动，速度的旋度为零，即对于无旋流动，速度的旋度为零，即 02 v 此时流体质点都要满足以下条件此时流体质点都要满足以下条件 y v z v z v x v x v y v z y xz y x , 由数学分析，上面的三个方程是由数学分析，上面的三个方程是 dzvdyvdxv zyx 成为某一函数的全微分

11、的充分必要条件，该函数记成为某一函数的全微分的充分必要条件，该函数记 为为(x,y,z,t)。 当以当以t为参数时，该函数的全微分是为参数时，该函数的全微分是 dz z dy y dx x d 所以有所以有 zyx v z v y v x , 按矢量分析有按矢量分析有 k z j y i x v 函数函数称为速度势函数，简称速度势。速度势的称为速度势函数，简称速度势。速度势的 梯度就是流场中的速度。梯度就是流场中的速度。 当流体作当流体作无旋流动无旋流动时，不论其是否可压缩，总时，不论其是否可压缩，总 有速度势存在，所以无旋流动又称为有势流动。有速度势存在，所以无旋流动又称为有势流动。 对于不

12、可压缩流体，有下式存在对于不可压缩流体，有下式存在 0 2 2 2 2 2 2 zyx 称为拉普拉斯方程。称为拉普拉斯方程。称为拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子。 在平面极坐标中，速度和速度势之间的关系是在平面极坐标中，速度和速度势之间的关系是 r v r v r , 拉普拉斯方程为拉普拉斯方程为 0 1 22 2 2 rrrr 速度势函数的意义：速度势函数的意义： 在势流中，如果已知速度势函数，则 可根据速度与速度势之间的关系很容易地计 算出速度矢量分量，从而将求解速度场的问 题转化为求解速度势函数的问题。 例题：已知一个平面不可压缩定常有势流动的速度例题：已知一个平面不可压缩定常有势流动的速度

13、 势函数为势函数为 22 yx 求在点求在点(2.0 , 1.5)处速度的大小。处速度的大小。 smvvV smy y v smx x v yx y x /5 /0 . 32 /42 22 解： ：不可压缩流体平面流动的势函数不可压缩流体平面流动的势函数 xyx 22 试确定：试确定： 1.1.该平面流动的速度场。该平面流动的速度场。 2.2.该流动有旋还是无旋该流动有旋还是无旋？ 3.3.该流动是否满足连续性方程该流动是否满足连续性方程? ? vx=2x+1,vy=-2y 无旋 满足 关于速度势关于速度势的重要性质的重要性质： 1 1）等势面与流线垂直）等势面与流线垂直 将流场中速度势相等的

14、点连接起来，形成一个空将流场中速度势相等的点连接起来，形成一个空 间曲面，称为等势面。在平面流中，称为等势线。间曲面，称为等势面。在平面流中，称为等势线。 0 ),( dz z dy y dx x d zyx 或 常数 即即 0 0 l dv dzvdyvdxv zyx 因为因为dl是等势面上的有向线段，所以等势面与流线垂是等势面上的有向线段，所以等势面与流线垂 直。直。 2)2)速度势在任何方向上的偏导数，等于速度在速度势在任何方向上的偏导数，等于速度在 该方向上的投影该方向上的投影 根据数学上方向导数的概念，根据数学上方向导数的概念，在任意方向在任意方向l上上 的方向导数为的方向导数为 l

15、 zyx v zlvylvxlv zl z yl y xl xl ),cos(),cos(),cos( ),cos(),cos(),cos( 3)3)速度势与积分速度势与积分 的关系的关系 在势流场中，沿任意曲线的速度的线积分等于在势流场中，沿任意曲线的速度的线积分等于 终点和起点的速度势之差。终点和起点的速度势之差。 l dv A B B A AB B A B A zyx B A d dz z dy y dx x dzvdyvdxv l dv )( )( 在平面流动中，对不可压缩流体，由微分形式在平面流动中，对不可压缩流体，由微分形式 的连续性方程的连续性方程 0 y v x v y x 得

16、得 y v x v y x 该式是该式是 dxvdyv yx 成为某一函数成为某一函数(x,y)全微分的充要条件，即全微分的充要条件，即 dxvdyvdy y dx x d yx 因此有因此有 x v y v yx , 平面流动的流线方程为平面流动的流线方程为 0dxvdyv yx 所以在流线上有所以在流线上有 constd或0 在每条流线上函数在每条流线上函数 都有不同的值，故都有不同的值，故 被称为被称为流流 函数函数。在引出流函数时，并未涉及到流体的粘性和。在引出流函数时，并未涉及到流体的粘性和 是否为有势流动，是否为有势流动，只要是不可压缩流体的平面流动，只要是不可压缩流体的平面流动，

17、 就必然存在流函数就必然存在流函数。在三维流动中一般不存在流函。在三维流动中一般不存在流函 数，轴对称流动除外。数，轴对称流动除外。 关于流函数的物理意义关于流函数的物理意义 经经A、B两点的实线为两点的实线为 流场中的两条流线，虚线流场中的两条流线，虚线 AB与流场中的所有的流线与流场中的所有的流线 正交，现求通过虚线正交，现求通过虚线AB的的 流量。流量。 o II I vy vx dy dx B A y x 流线流线 dl 在虚线在虚线AB上取一微元弧段上取一微元弧段dl，显然，显然，vxdy是经是经 dl从区从区I进入区进入区II的流量，的流量， vydx是经是经dl从从II区区 进入

18、进入I 区区的流量，那么经的流量，那么经dl从从I区进入区进入II区的净流量为区的净流量为 dxvdyvdq yx 对虚线积分可得到两条流线之间的总流量对虚线积分可得到两条流线之间的总流量 AB B A B A yx B A ddxvdyvdqq 流函数的物理意义是：平面流动中 两条流线之间通过的流体流量，等于两 条流线上流函数的差。而且，沿流线全 长两流线之间的流量保持不变。 在不可压缩流体的平面有势流动中，必然同时在不可压缩流体的平面有势流动中，必然同时 存在速度势和流函数。由无旋流动的条件存在速度势和流函数。由无旋流动的条件 0 y v x v x y 将速度与流函数的关系式代入上式有将

19、速度与流函数的关系式代入上式有 0 2 2 2 2 2 yx 因此，流函数也满足拉普拉斯方程。因此，流函数也满足拉普拉斯方程。 0 , yyxx xyyx 与与 的关系的关系： 由速度与速度势及流函数的关系可得由速度与速度势及流函数的关系可得 上式表明，等势线与流线相互正交。上式表明，等势线与流线相互正交。 7.3.37.3.3流函数和势函数的求解方法流函数和势函数的求解方法 例：设平面流动的速度分布为例：设平面流动的速度分布为 yxyxyv xxyyxv y x 32 32 22 22 求求: (1)是否满足连续性方程是否满足连续性方程 (2)势函数势函数 (3)流函数流函数 解：解： (1

20、) 0 322322 xyyx y v x v y x 所以满足连续性方程。所以满足连续性方程。 （2） 0)2222( 2 1 )( 2 1 xyyx y v x v x y z 是无旋流是无旋流 动，存在动，存在 势函数势函数 dyyxvdxxvdyvdxv y y B A x xyx 00 ),()0 ,( 积分路径如图。所以积分路径如图。所以 o (x,y) (x,0) y x )()( 2 3 )( 3 1 )32( )3( 2233 0 22 0 2 yxxyyxyx dyyxyxy dxxx y x (3)因为满足连续方程，所以存在流函数因为满足连续方程，所以存在流函数 dyvd

21、xv xy 积分路径同上，则积分路径同上，则 )3()( 3 1 )32( ),()0 ,( 33 0 22 0 2 00 yxxyyx dyxxyyxdxx dyyxvdxxv yx y x x y 练练 习习 试求下面不可压缩流场的流函数及速度势：试求下面不可压缩流场的流函数及速度势： 其中其中k为常数。为常数。 Ckxy Cyxk += +)( 2 1 = 22 0=,=,=wkyvkxu 7.4 7.4 简单的平面势流及其叠加简单的平面势流及其叠加 一、直均流一、直均流 所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平所谓直均流，就是流体质点以相同的速度相互平 行地作等速直线运动。如图，流动

22、方向为行地作等速直线运动。如图，流动方向为x轴。其速轴。其速 度分布为度分布为 x y v0 0 0 y x v vv 因为因为 0)( 2 1 y v x v x y z 所以是无旋运动，存在速度势所以是无旋运动，存在速度势 xv dyvdxv yx 0 在极坐标系中在极坐标系中 cos 0r v 将速度分布函数带入连续性方程，因为满足将速度分布函数带入连续性方程，因为满足 0 y v x v y x 所以存在流函数所以存在流函数 yv dyvdxv xy 0 在极坐标系中在极坐标系中 sin 0r v 因直均流因直均流(平行流平行流)中各点的速度相同，由伯努利中各点的速度相同，由伯努利 方

23、程得方程得 Cpgz 如果忽略重力的影响，则有如果忽略重力的影响，则有 Cp 即在流场中各处的压强都相等。即在流场中各处的压强都相等。 二、源或汇二、源或汇 流体从平面一点均匀地向四周流出，一直流向无流体从平面一点均匀地向四周流出，一直流向无 穷远处，这样的流动称为平面点源。流体流出的点称穷远处，这样的流动称为平面点源。流体流出的点称 为源点，单位时间流出的体积流量称为源强，用为源点，单位时间流出的体积流量称为源强，用qv表表 示。将坐标原点取在源点处，得极坐标系中速度分布示。将坐标原点取在源点处，得极坐标系中速度分布 y x 0 2 v r q v v r 满足势函数和流函数的存在条件的证明

24、：满足势函数和流函数的存在条件的证明： 势函数存在的条件为无旋流动，在该平面流场中势函数存在的条件为无旋流动，在该平面流场中 0) 1 )( 1 ( 2 1 r z v r rv rr 所以存在势函数。所以存在势函数。 而流函数存在的条件为连续性方程只有两项的平而流函数存在的条件为连续性方程只有两项的平 面流。面流。 0 1)(1 v rr rv r r 极坐标系下连续性方程为极坐标系下连续性方程为 该流场显然满足要求，因此存在流函数。该流场显然满足要求，因此存在流函数。 势函数为势函数为 22 ln 2 ln 2 2 yx q r q r drq rdvdrv vv v r 流函数为流函数为

25、 )arctan( 22 2 x yqq d q rdvdrv vv v r 流函数的等值线是流函数的等值线是为常数的射线族。为常数的射线族。 汇是流体从无穷远处均匀地流向一点。汇是流体从无穷远处均匀地流向一点。 0 0 v q ，是源，是源 ，是汇，是汇 y x 如果如果xoy面是无限大的水平面，由伯努利方程有面是无限大的水平面，由伯努利方程有 pvp r 2 2 1 式中，式中，p是在是在r时的压强，时的压强， 该处速度为零。将速度表达式该处速度为零。将速度表达式 带入上式带入上式 22 2 1 8r q pp v y x 可见，压强随着半径的减小而降低，可见，压强随着半径的减小而降低， 设设r=r0时，时，p=0，则，则 p q r v 2 2 0 8 三、简单平面势流的叠加三、简单平面势流的叠加 在势流理论中，经常通过解拉普拉斯方程或利用在势流理论中，经常通过解拉