高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教案人教A版选修2-3

1、人教版高二数学选修2-3 第二章随机变量及其分布青屏高中何银刚232 离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法：学习方差公式“D( aX +b)= a 2D(X) ”，以及“若 X ( n，p) ，则 D(X) =np (1 p) ”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美, 体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.教具准备：多媒体、电子白板教学设想：学

2、习方差公式“D( aX +b)= a2 D （ X ） ”，以及“若X ( n，p) ，则 D （ X） =np (1 p ) ”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。授课类型：新授课.课时安排：1课时 .内容分析：对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究, 即随机变量的方差.回顾样本方差的概念：设在一组数据x1 ， x，, ，x n 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是( x 1x ) 2 ， ( x 2 x ) 2， , ，( x nx ) 2 ，那么S 21 ( x1x ) 2 ( x 2 x ) 2 , ( xnx ) 2 n叫做这组数据的方差.教学过程：一、复习

3、引入：1数学期望 :一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为新密青屏高中高二数学1人教版高二数学选修2-3 第二章随机变量及其分布青屏高中何银刚Xx1x2,xn,12,n,Pppp则称xE（x） =1 p1 x 2 p 2 ,x n p n ,为 X 的数学期望，简称期望2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .3、两种特殊分布的数学期望（ 1）若随机变量X 服从两点分布，则 E(X)=p（ 2）若 X B(n,p)则 E(X)=np3.期望的一个性质: E(aX+b)=aE(X)+b二、讲解新课：1.方差 : 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取

4、的值是x1 ，x， , ， x n ， ,，且取 这些值的概率分别是p 1 ， p 2 ， , ，p n ，,，那么 ,n（）（） 2D X( x i EX ) p ii 1称为随机变量X 的均方差，简称为方差，式中的E(X) 是随机变量X 的期望2. 标准差 : D(X)的算术平方根D（X）叫做随机变量X 的标准差，记作 ( X)3. 方差的性质：2D ( aXb )a D （ X ）4. 其它：随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位

5、，所以在实际问题中应用更广泛.三、讲解范例：例 1随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 求向上一面的点数的均值、方差和标准差 .解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为X123456P111111666666从而E（X） 1111111234563.5.666666新密青屏高中高二数学2人教版高二数学选修2-3 第二章随机变量及其分布青屏高中何银刚（）212 (2 3.5)121213.5)(33.5)(4 3.5)D X(16666212 (6 3.5)1(53.5)62.926（ X） D（ X ） 1.71由本题可总结出求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤：理解 X 的 意义， 写出 X 可能取

6、的全部 值；求 X 取 各个值 的概率 ，写出 分布列 ；根据分布列，由期望的定义求出E(X) ；、 (X) . 根据方 差、标 准差的 定义求 出D(X例 2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/ 元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X / 元10001400180020002获得相应职位的概率P0.40.30.20.12根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X 1)= 1200 0.4+1400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0

7、.1= 1400 ,D(X 1)= (1200-1400)2 0. 4 + (1400-1400 )2 0.3+ (1600 -1400 )2 0.2+(1800-1400)20. 1=40000;E(X 2)=1 000 0.4 +1 4000.3 + 1 800 0.2 + 2200 0.1 = 1400 ,D(X 2)= (1000-1400)20. 4+(1400-1400) 0.3+ (1800-1400)2 0.2 + (2200-1400 )20.l= 160000 .因为 E(X )=E(X), D(X) D(X), 所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位1212的工资相

8、对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样， 如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位四、课堂练习：1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1 分，不中得0 分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7 ，那么他罚球一次得分的方差是多少新密青屏高中高二数学3人教版高二数学选修2-3 第二章随机变量及其分布青屏高中何银刚解; 设一次罚球得分为X,X 服从两点分布即：010.30.7D(X) （）2、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200 件商品，设其中次品数为X ，求 E(X) ， D(X).分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相

9、对较少的产品抽查问题由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽 200 件商品可以看作200 次独立重复试验，即 X B（ 200 ， 1% ），从而可用公式：E(X)=np ， D(X)=np(1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽 200 件商品可以看作200 次独立重复试验，所以 X B（ 200 ，1% ） 因 为E(X)=npD(X)=np(1-p)， 这 里n=200 ， p=1% ， 1-p=99% ， 所 以 ，E(X) =200 1%=2,D(X) =200 1% 99%=

10、1.983 、甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X、 Y， X 和 Y 的分布列如下表。试对这两名工人的技术水平进行比较。X012Y012613532PP1 0101 01 01 010分析：解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件相等的条件下出次品的平均值，即期望，二是要看出次品的波动性情况，即方差值大小，根据期望与方差值判断两名工人技术水平情况。解：工人甲生产出次品数的期望和方差分别为：613E(X) .1 01 01 0D(X) （. ）26（.）21（）23.1 01 01 0 .工人乙生产出次品的期望和方差分别为：E( ) 53 2 .1 01

11、 01 0.）253.）22D( ) （.）2（1 01 01 0 .由 E(X) E( ) 知，两人出次品的平均水平相同，技术水平相当，但D(X) D() ，可新密青屏高中高二数学4人教版高二数学选修2-3 第二章随机变量及其分布青屏高中何银刚见乙的水平比较稳定。五、课堂小结：1、方差计算公式n（）（）2DX( x iEX ) p ii 12 、 求 离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤：理解 X 的 意义， 写出 X 可能取 的全部 值；求 X 取 各个值 的概率 ，写出 分布列 ；根据分布列，由期望的定义求出E(X) ； 根据方 差、标准差的定义 求出、. 若 ( ， ) ，则不必写出分布列，D(X (X)XB n p直接用公式计算即可3、两个特殊分布的方差公式（ 1）若随机变量X 服从两点分布，则 D(X)=p(1-p)（ 2）若 X B(n,p)则 D(X)=np(1-p