高等教育：刚体19952

1、第四章:刚体的转动本章要点 1刚体模型 2刚体运动的描述 3刚体动力学 4角动量守恒 5刚体的动能 4.1刚体的运动学一刚体(rigid body)的概念由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间:ABCt+M才 感受到力固体中弹性波的速度voc(劲度)若DT8,则k t g ,此时物体有无限的刚性, 它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为刚体。说明：1刚体是个理想化的模型，形状和大小变 化极其微小实际意义.通常固体103m/s,所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。2刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。质点系的规律都可用于刚

2、体,而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。7二刚体的运动形式1 平动(translation):连接刚体内任意两点 的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。 刚体做平动时，可用质心或其上任何一 点的运动来代表整体的运动O平动是刚体的基本运动形式之一 O2转动（rotation）:转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为定轴转动和定点转动。定轴转动:运动中各质元均做II周运动,且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。3平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一固定平面的运动。4一般运动：刚体不受任何限

3、制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动:随基点O （可任选）的平动绕通过基点0的瞬时轴的定点转动例如： -.(Jg疫学两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同，J转动与基点的选取无关。 动力学中，常选质心为基点。三刚体转动的描述(运动学问题) 定轴转动(rotation about a fixed axis)(1)角坐标&的描述当沿逆时针方向转动时，角坐标为正;沿顺时针方向转动时，角坐标 为负.引艦瞬动的快慢和转向,CDo5卩0=(0 =定轴;Vd0CD转向参考方向与转向成右螺旋关系。厉的方向沿瞬时轴,为反映历的变化情况，引入角加速度矢量0 O=1（不一定沿着瞬时轴）9定轴

4、；卩V(2)线量和角量的关系 z9v =r1a)dv do) at =rL z dr 丄 df% =加co 二 co。+ )311若0 = const. (& 00)= /f +20)1 - col 20(0 _ 00)转轴固定，方和0退化为代数量d?和0。42力矩转动定律转动惯量一、力矩1）对参考点的力矩定义：M = rxF大小：Fd - Frsmd方向：垂直于产和戶组成的平面 服从右手螺旋法则M = rxF注意:洽外力力矩等于各力的力矩的矢量和;z 一 tM(2):质点系内力的力矩和为零;:M0,和力矩的方向沿OZ轴 正向;反之沿OZ轴负方向；大小：M = rF sm 3 = Fr M二

5、方向：垂直于和F组成的平面, 服从右手螺旋法则。例质量为加，长为乙的细杆在水平粗糙桌面 上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系 数为“，求摩擦力矩。1）杆的质量均匀分布2）杆的密度与离轴距离成正比rri解1)dm = 一 drLLM = J dM = _ J %0df = /LiAmg2umg df = jLidmg =2 r(rJjdM = rdfM =dM = - Jr2dr = -1/imgL刚体定轴转动定律转动定律:刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩 成正比，与刚体的转动惯量成反比.m 是物体平动惯性的量度。F = ma胚=邛是物体转动惯性的量度。p 改变物体平动

6、状态的原因Mz改变物体绕轴转动状态的原因例：一定滑轮的质量为加，半径为r , 一轻绳 两边分别系 加1和m2两物体挂于滑轮上，绳不伸 长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：m,m2, r, 690 = 0求：69（7）=?思路：先求角加速度0解：在地面参考系中，分别以 ，叫,m为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程O以向下为正方向mx: mxg-Tx - mxax(1)f一2匚=i叫g以向上为正方向m2: -m2g + 笃=m2a2(2)15思考:以顺时针方向为正方向，滑轮加四个未知数：ax-a2- a,

7、7, T2, 0三个方程？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系:解得：卩a = r/3伽1 -加2 )g1 1Wj + m2 + - m r2丿(4)CD = 0)曲卩 t =-叫加1 、m, +m2 + mk2 18 丿练习如图示，两物体质量分别为和加2，滑轮质量 为m ,半径为厂o已知加2与桌面间的滑动摩擦系 数为“,求加1下落的加速度和两段绳中的张力。解：在地面参考系中，选取、加2和滑轮为研究对 彖 分别运用车顿定律和刚体定轴转动定律得：T11mxm2g向里+2列方程如下:可求解mxg Tx = mxaT2 - kimg = m2a- m 一定，J t11 ,合理；若/ = 0,得

8、h = gt2y 正确。2代入数据：2丿=(-1)x1 x0.222x1.5=1.14kg-m224此为一种用实验测转动惯量的方法O三、刚体对轴的转动惯量1 定义 J =工ri2mi刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该 质点到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布，则J r2dm-AiZ线密度：2,线元：dZodS面密度：b,面元:dS体密度：p,体元：dV25积分元选取:dm =2刚体对轴的转动惯量 J的因素例题与刚体总质量有关与刚体质量分布有关I与转轴的位置有关1-由长/的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量4m2m3mJ = 2m/2 +3m(2/)2+

9、(4m + 5m)(V2/)2=32ml22. 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解：（1）轴过中点-% -X-%m 1 f Z? Z? L327(2)轴过一端端点xm 1 3xL3=r2dm = j x2dm = L 1 了2=-mL033求质量m，半径R的球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元ds = Ijrrdl = 2 加?sin& Rd0mb =4兀Wdm = ods = msinM02如mmdJ = r2dm = (?sin)2dm =71= Jd7=l0”5294.求质量m，半径R的球体对直径的转动惯量解

10、：以距中心厂，厚d厂的球壳 为积分元dV = 47rr2drdm = p d V22dJ = dm -2mr4drR3注意:对同轴的转动惯量才具有可加减性。空虬2R3 5一些均匀刚体的转动惯量表MOMENTS OF INERTIA OF VARIOUS BODIES28/= 仇2/=吉 MS? + b2)(a) Slender rod. axis through center(b) Slender rod, axis through one end(c) Rectangular plate, axis through center(d) Thin rectangular plate, axis

11、 along edge(e) Hollow cylinder/= MR2R1 = MR2R/ =mr2(h) Solid sphere/= I MR2J(f) Solid cylinder(g) Thin-walled hollow cylinder(i) Thin-walled hollow sphere四:平行轴定理Jd = Jc + 加11 1mrrz1 141练习 求长I、质量加的均匀杆对Z轴的转动惯量5140角动量 角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一 个质点系，则由于该系统质心速度为零，所以，系 统总动量为零，系统有机械运动

12、，总动量却为零？ 说明不宜用动量来量应菸动物体的机械运动量。*引人与动量0对应的角量L 角动量（动量矩）L = 2 _ L一 7 一 -M = Mdt = dL =dt质点的角动量定理:对同一参考点O,质点所受的冲量矩等于质点动量的增量当 m=o 时， M = = 0L =恒矢量分量式:dr时 时 时厶=恒量 Ly =恒量 L =恒量3角动量守恒定律一、角动量守恒定律研究对象：质点由质点角动量定理：陆=0My=0角动量守恒定律：当质点所受外力对某参考点的力矩的矢量和为零时, 质魚对丧参看皆画务动量寺植。38注意1 守恒条件：M=02.与动量守恒定律对比:当4=时,当叼外=0时,0金矢量T彼此独

13、立L =恒矢量大至天体，小至粒子.角动量守恒现象举例 适用于一切转动问题，为什么猫从高处落下时总能四脚着地？请看:猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天， 脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地 甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四 脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得 四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。猫的下落（A）猫的下落(B)解：卫星质点m地球均匀球体vi = 8.1 km-s1已知：地球R = 6378 km 卫星 近地：h- 439 km 远地：/i2= 2384 km求:v2对称性:引力矢量和过地心对地心力矩为零卫星m对地心o角动量守恒转轴Z

14、角速度（d刚体上任一质点mz.转轴与其转动平面交点0绕运动半径为厂对0的角动量：二和皿斗刚体对z轴的总角动量为:S Liz 二工 = Jco式中 J =工彳叫57co匕o叫转动 平面dtdt刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率1:刚体定轴转动的角动量定理对于质点必由质点的角动量定理的微分形式有将上式应用于刚体内所有的质点并求和考 虑到在质点系中内力的力矩矢量和为零，可 得到绕定轴转动的刚体的和外力力矩为：dL d*M 外z = (/69)=J：M外z At =Jza)2 Jzi刚体定轴转动的角动量定理59刚体定轴转动的角动量守恒定律:M 外z = 0，

15、贝 U J 2 - const.如果物体所受的合外力矩等于零咸者不受处力M的作用，物体的角动 量保持不变.克服直升飞机机身反转的措广装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消例如图示，已知：h9 R，M=2m9 a）=60碰撞后的瞬刻盘4） = ?加下落：mgh =v = 2gh (1)Vy m （黏土块）求: 丿 OTFT B：对（加+盘），碰撞中重力对0轴力矩可忽略,系统角动量守恒：mvR cosO = Jo）q （引（加 +盘）角动量 J = 1MR2+mR2 =2mR22由得： =(3)(4)例已知：轻杆，加1二加，加2= 4加，油灰球加，m以速度/ o撞击m 2 , 求：撞后加

16、2的速率？发生完全非弹性碰撞73因为相撞时轴A作用力不能忽略不计，故系统动量不守恒。因为重力、轴作用力过轴，对轴 力矩为零，故系统角动量守恒。由此列出以下方程：mv0 y = (m + m2 )v. y + mj 2v L或：m(号$ 5 = (m + m2Xf)2 + “ 4-4:力矩作功刚体绕定轴转动的动能定理一.力矩的功力矩的功:力矩的空间积累效应：dW = F cos a(r d 0)=(F cos a )d0= Md0M dO二.定轴转动动能定理= Jd = |dr 1令转动动能:“2川刚体定轴转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量刚体绕定轴转动动能等

17、于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的 一半1（可证*/。2=艺扌血才）W=Ek2-Ekl三.刚体的重力势能四应用举例Ep=2briighi=mgV0对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。例已知：如图示，均匀直杆质量为加，长为I, 初始水平静止。轴光滑，AO=l/4o杆下摆到& =90度角时, 角速度e = ?轴对杆作用力N=?解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。(1)(2)Joco2 -mgsm0 = 0Jo = -ml2+m(-)2 = ml212448、解得：3 = 2严;：n?(3)(4)应用质心运动 定理求轴力： N + mg = macZ： -mgsinff + Nt =macl t: mg cos 0 + Nt = ma gI 26.aci = jQ =-gsinII jmgcos3gcos0act =-a = -*-=G 44 Jo7N，A由解得:M I m N理 Ni = mgsm04Nt = 一肌 gcosO713.4_ YmgOel -mgcos0 et0 + 164N = 7153811?练习5：一.3如图所示，已知:M,厶加儿；击中才乙处求:击中时69 ；二？（只列方程）分两个阶段求解，各遵循什么规律?相撞:质点定轴刚体对0轴角动量守恒摆动:M + m +地球系统E守恒77o相撞:质点定轴刚体对0轴角动量守恒撞前-_(7T