行测数量关系的常用公式讲解

1、行测常用数学公式一、工程问题工作量工作效率工作时间；工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率；总工作量各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为1 或最小公倍数二、几何边端问题（ 1）方阵问题：1. 实心方阵 ：方阵总人数（最外层每边人数）2 =（外圈人数 4+1） 2=N2最外层人数（最外层每边人数1） 42. 空心方阵： 方阵总人数（最外层每边人数）2 - （最外层每边人数- 2层数） 2（最外层每边人数- 层数）层数 4=中空方阵的人数。无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8 人。3. N 边行每边有 a 人，则一共有 N(a-1) 人。4. 实心长方

2、阵：总人数 =M N 外圈人数 =2M+2N-45. 方阵：总人数 =N2N 排 N 列外圈人数 =4N-4例：有一个3 层的中空方阵，最外层有10 人，问全阵有多少人？解：（10 3 ）3 4 84 （人）(2) 排队型： 假设队伍有 N 人， A 排在第 M位；则其前面有（ M-1）人，后面有（ N-M）人(3) 爬楼型： 从地面爬到第 N层楼要爬（ N-1 ）楼，从第 N层爬到第 M层要爬 M N 层。三、植树问题线型棵数 =总长 / 间隔 +1环型棵数 =总长 / 间隔楼间棵数 =总长 / 间隔 -1（ 1）单边 线形植树 ：棵数总长间隔 1；总长 =（棵数 -1 ） 间隔（ 2）单边

3、 环形植树 ：棵数总长间隔；总长 =棵数 间隔（ 3）单边 楼间植树 ：棵数总长间隔 1；总长 =（棵数 +1） 间隔（ 4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2 倍。N（ 5）剪绳问题 ：对折 N 次，从中剪M刀，则被剪成了（ 2 M 1）段四、行程问题 路程速度时间；平均速度型 ：平均速度平均速度总路程总时间2v1v2v1v2（ 2）相遇追及型 ：相遇问题：相遇距离 =（大速度 +小速度） 相遇时间追及问题：追击距离 =（大速度小速度） 追及时间背离问题：背离距离 =（大速度 +小速度） 背离时间（ 3）流水行船型 ：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速。顺流行程 =顺流速度 顺流时间 =

4、（船速 +水速） 顺流时间逆流行程 =逆流速度 逆流时间 =（船速水速） 逆流时间（ 4）火车过桥型 ：列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度 =（桥长 +车长）过桥时间（ 5）环形运动型 ：反向运动：环形周长=（大速度 +小速度） 相遇时间同向运动：环形周长=（大速度小速度）相遇时间第1页共13页（ 6）扶梯上下型： 扶梯总长 =人走的阶数 （ 1u梯），（顺行用加、逆行用减）u人顺行：速度之和时间=扶梯总长逆行：速度之差时间=扶梯总长（ 7）队伍行进型 ：对头队尾：队伍长度 =（ u 人+u 队 ） 时间队尾对头：队伍长度 =（

5、u 人 u 队） 时间（ 8）典型行程模型 ：等距离平均速度 ：u2u1u2（ U 1、 U 2 分别代表往、返速度）u1u2等发车前后过车 ：核心公式： T2t1t2u车t2t1，t1t2u人t2t1等间距同向反向 ：t同u1u2t反u1u2不间歇多次相遇 ：单岸型 ： s3s1s2两岸型 ： s 3s1s2（ s 表示两岸距离）22t逆 t顺（其中 t 顺和 t 逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）无动力顺水漂流 ：漂流所需时间 = t逆t顺五、溶液问题 溶液 =溶质+溶剂浓度 =溶质溶液溶质 =溶液浓度溶液 =溶质浓度 浓度分别为 a% 、b% 的溶液，质量分别为M、N，交换质量L

6、后浓度都变成 c%，则 混合稀释型2r1r3（其中 r1、 r2、 r3 分别代表连续变化的浓度）等溶质增减溶质 核心公式： r2r3r1六、利润问题（ 1）利润销售价（卖出价）成本；利润销售价成本销售价 1；利润率成本成本成本销售价（ 2）销售价成本（1利润率）；成本。1利润率第2页共13页（ 3）利息本金利率时期；本金本利和（1+利率时期） 。本利和本金利息本金（1+利率时期） = 本金 （1期限；利率）月利率 =年利率 12；月利率 12=年利率。例：某人存款 2400 元，存期3 年，月利率为 10 2 （即月利1分零 2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”2400 （1+10 2

7、36 ） =2400 1 3672 =3281 28 （元）七、年龄问题关键 是年龄差不变 ；几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差八、容斥原理两集合标准型： 满足条件 I 的个数 +满足条件 II 的个数两者都满足的个数= 总个数两者都不满足的个数三集合标准型： AB C= ABCA BB CACABC三集和图标标数型：三集和整体重复型： 假设满足三个条件的元素分别为ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得以下等式： W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z九、

8、牛吃草问题核心公式： y=(N x)T原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为X注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃 W亩草时”， N用 M 代入，此时 N 代表单位面积上的牛数。W十、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么 N 个周期后就是最开始的A N 倍，一个周期前应该是当时的 1。A十一、调和平均数调和平均数公式：2a1a2aa2a1等价钱平均价格核心公式：p2 p1 p 2（ P1、 P 2 分别代表之前两种东西的价格）p1p2等溶质增减溶质核心公式：r22r1r3（其中 r1、 r2、 r3 分别代表连续变化的浓度）r1r3十二、减半调和平均数核心

9、公式：aa1 a2a1a2第3页共13页十三、余数同余问题核心口诀： “余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意： n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。十四、星期日期问题闰年（被 4 整除）的 2 月有 29 日，平年（不能被 4 整除）的 2 月有 28 日，记口诀：一年就是 1，润日再加 1；一月就是 2 ，多少再补算。平 年闰 年平年与闰年判断方法年共有天数2 月天数不能被 4 整除365天28 天可以被 4 整除366天29 天星期推断： 一年加 1 天；闰年再加 1 天。大月与小月包括月份月共有天数大月 1、 3、 5、 7、 8、 10、 1231 天小月 2

10、、 4、 6、 9、 1130 天注意： 星期每 7 天一循环；“隔 N 天”指的是“每（ N+1)天”。十五、不等式（ 1）一元二次方程求根公式 ： ax2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)其中： x1=bb 24acbb 24ac20）2a； x2=2a（b -4ac根与系数的关系：x1+x2=- b ，x1 x2= caa（ 2） ab 2ab(ab) 2aba 2b22ab( abc )3abc23（ 3） a2b2c23abcab c33abc推广： x1x2x3.xnnnx1 x2 .xn（ 4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。（ 5）

11、两项分母列项公式：b=(1 1) bm(ma)mmaa（ 6）三项分母裂项公式：m(mb=1a)12a) ba)(m2a)m(m( m a)(m2a十六、排列组合（ 1）排列公式 ： P nm n（ n1）（ n 2） （ nm 1），（mn）。A7376 5（ 2）组合公式： Cnm Pnm Pmm （规定 Cn0 1）。 c53543321（ 3）错位排列（装错信封）问题：D1 0， D21， D3 2，D4 9， D5 44， D6 265，第4页共13页（ 4） N 人排成一圈有ANN /N 种；N 枚珍珠串成一串有ANN /2 种。十七、等差数列n (a1an )1aana1（ 1）

12、sn na1+n(n-1)d ；（ 2）（3）项数n 1；n a1（ n 1） d；d22（ 4）若 a,A,b 成等差数列，则：2A a+b；（5）若 m+n=k+i，则：a +a =a +a ；mnki（ 6）前 n 个奇数：1，3，5， 7，9， （ 2n 1）之和为 n2（其中： n为项数， a 为首项， a 为末项， d 为公1n差， sn 为等差数列前n 项的和）十八、等比数列（ 1） ana1qn 1；（ 4）若 m+n=k+i，则：（qn）1）（3）若 a,G,b 成等比数列，则：2（ 2） sn a11（qG ab；1qa a =a a（5）a -a=(m-n)dmnki ；

13、mnam(m-n)（其中： n 为项数， a为首项， a为末项， q 为公比， s为等比数列前n 项的和）（ 6） qan1nn十九、典型数列前N 项和第5页共13页4.2第6页共13页4.3第7页共13页4.7底数1234567891011平方平方149162536496481100121底数1213141516171819202122数平方144169196225256289324361400441484底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096110241089立方底数1234567891011数立方1827641252163

14、4351272910001331次方1234567891011多次2248163264128256512102420483392781243729方数4416642561024第8页共13页55251256253125663621612967776次方123456789底数111111111122486248623397139713446464646455555555556666666666779317931788426842689919191919 1 既不是质数也不是合数1.200 以内质数2357101103 109111317192329113127131137313741434753

15、5913914915115716316761 67 71 73 79 83 89 97173179 181 191 193 197 1992. 典型形似 质数分解91=7 13111=3 37119=717133=7 19117=9 13143=11 33147=7 21153=713161=7 23171=919187=1117209=19 111001=7 11 133. 常用“非唯一”变换数字 0的变换:00N (N0)数字 1的变换： 1a01N( 1) 2 N (a0)特殊数字变换：1624426426438281349225628416 2512298372993272361024

16、21045322个位幂次数字：422418238193291二十、基础几何公式1. 勾股定理： a2+b2=c2( 其中： a、 b 为直角边， c 为斜边 )直角边369121551078常用勾直角边4812162012242415股数斜边510152025132625172. 面积公式：正方形 a 2长方形 a b三角形1 ah1 ab sin c梯形1 (a b)h222圆形2平行四边形 ah扇形n2R3600R3. 表面积：第9页共13页正方体 6a2长方体 2 (abbc ac)22rh圆柱体 2r4.体积公式正方体 a3长方体 abc2圆锥12圆柱体 Shrh3rhS 侧 rl ；

17、5.若圆锥的底面半径为r ，母线长为 l ，则它的侧面积：6. 图形等比缩放型：球的表面积4R2球4R33一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：1.所有对应角度不发生变化；2.所有对应 长度变为 原来的3.所有对应 面积 变为 原来的 m2 倍；4.所有对应 体积 变为 原来的7. 几何最值型：1. 平面图形中，若 周长一定 ，越接近与圆 ，面积越大 。2. 平面图形中，若 面积一定 ，越接近于圆 ，周长越小 。3. 立体图形中，若 表面积一定 ，越接近于球 ，体积越大 。4. 立体图形中，若 体积一定 ，越接近于球 ，表面积越大 。m倍；3m 倍。数量关系归纳分析一、等差数列：两项之差、

18、商成等差数列1.60， 30， 20，15， 12，（）2. 23， 423， 823 ，（）3.1， 10 ， 31，70，123（）二、“两项之和（差） 、积（商）等于第三项”型基本类型： 两项之和（差） 、积（商）第3项； 两项之和（差） 、积（商）某数第3 项。4.-1 ， 1，（ ）， 1， 1，25.， ，（ ）， ，0，6.1944 ，108， 18，6，（）7. 2，4， 2，（）， ，三、平方数、立方数1) 平方数列 。 1， 4，9， 16， 25， 36， 49， 64， 81， 100， 121。2) 立方数列 。 1 ， 8，27， 64，125， 216， 343。

19、8.1 ，2，3，7，46，（ ）9. -1，0，-1 ，（ ），-2 ，-5 ，-33四、升、降幂型10.24， 72，216 ， 648，（）A. 1296B.1944 C. 2552D. 324011.，1，2，（ ），24A. 3B.5C. 7D. 10八、跳跃变化数列及其变式13.9， 15， 22， 28， 33， 39，55，（） A.60B.61 C. 66D. 58九、分数数列（分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看）16.，（ ）A.B.C. 1D.17.， ，（），A.B.C.D.十、阶乘数列18.1，2，6，24，（）， 720A. 109B. 120C. 125

20、D. 169十一、余数数列19.15， 18，54，（）， 210A. 106B. 107C. 123D. 112技巧方法：第10页共13页( 一 ) 观察数列的变化趋势。1、单调上升或下降的数列 。 “先减加，再除乘，平方立方增减项”2、波动性的数列。“ 隔项相关 ”3、先升后降的数列。 “ 底数上升，指数下降的幂数列 ”“最后一项为分子为1的分数，倒数第二项为 1”1、 16,25,34,43,52,61,70,8-1,即 1 ， 32，81， 64，25， 6， 1，1/8 ；整除判定基本法则1. 能被 2、 4、 8、 5、 25、 125 整除的数的数字特性能被25( 或) 整除的数

21、（余数） ，末一位 数字能被 2( 或 5、 0) 整除（余数） ;能被425整除的数（余数） ，末两位数字能被 4( 或 25) 整除（余数） ;( 或)能被8125末三位数字能被 8( 或 125) 整除（余数） ;( 或) 整除的数（余数） ，2. 能被 3、 9 整除的数的数字特性能被 3( 或 9) 整除的数（余数） ，各位 数字和 能被 3( 或 9) 整除（余数） 。3. 能被 11 整除的数的数字特性能被 11 整除的数， 奇数位的和 与 偶数位的和 之 差，能被 11 整除。4. 能被 6：能被 2 和 3 整除； 能被 10：末位是 0；能被 12：能被 3 和 4 整除数

22、量关系公式1. 两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2两岸型S=3S1-S2例题： 两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？A. 1120米B. 1280米C. 1520米D. 1760米典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720米处相遇、距离乙岸400米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760 选 D如果第一次相遇距离甲岸 X 米，第二次相遇距

23、离甲岸 Y 米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2. 漂流瓶公式：T= （ 2t 逆 *t 顺） /（ t 逆 -t顺）例题 ：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A B，从A城到 B 城需行 3 天时间，而从B 城到 A 城需行4 天，从 A 城放一个无动力的木筏，它漂到B 城需多少天？A、 3 天 B、 21 天 C 、24 天 D、木筏无法自己漂到B 城解：公式代入直接求得243. 沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/（ t1+t2）车速 / 人速 =(t1+t2)/ (t2-t1)例题： 小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该

24、路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6 分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？A. 3B.4C.5D.6解：车速 / 人速 =（10+6）/ （ 10-6）=4 选 B4. 往返运动问题公式：V 均 =(2v1*v2)/(v1+v2)例题： 一辆汽车从A 地到 B 地的速度为每小时30 千米，返回时速度为每小时20 千米，则它的平均速度为多少千米 / 小时？（）A.24B.24.5C.25D.25.5解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选 A5. 电梯问题：能看到级数=（人速 +电梯速度） * 顺行运动

25、所需时间（顺）能看到级数 =（人速 - 电梯速度） * 逆行运动所需时间（逆）6. 什锦糖问题公式：均价A=n / （ 1/a1 ） +(1/a2)+(1/a3)+(1/an)例题： 商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4元， 6 元， 6.6元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A4.8元 B 5 元 C5.3元 D5.5元第11页共13页7. 十字交叉法： A/B=(r-b)/(a-r)例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后， 全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平

26、均分是：析：男生平均分X，女生 1.2X1.2X75-X175=X1.2X-751.8得 X=70 女生为 849. 一根绳连续对折 N 次，从中剪 M刀，则被剪成（ 2 的 N 次方 *M+1）段10.方阵问题：方阵人数 =（最外层人数 /4+1 ）的 2 次方N 排 N 列最外层有 4N-4 人例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96 人，问这个学校共有学生？析：最外层每边的人数是 96/4+1 25，则共有学生 25*25=62511.过河问题： M个人过河，船能载N 个人。需要 A 个人划船，共需过河（ M-A） / (N-A) 次例题 ( 广东 05) 有 37 名红军战士

27、渡河，现在只有一条小船，每次只能载5 人，需要几次才能渡完？（ ）A.7B. 8C.9D.10解：（ 37-1 ）/ （5-1 ）=915.植树问题：线型棵数 =总长 / 间隔 +1环型棵数 =总长 / 间隔楼间棵数 =总长 / 间隔 -1例题： 一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M，树与树之间距离为6M，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？A 93B 95C 96D 9912.星期日期问题：闰年（被4 整除）的2 月有 29 日，平年（不能被4 整除）的2月有 28日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算例： 2002 年 9 月 1 号是星期日2008 年 9 月 1 号是星期几？因为从 2002 到 2008 一共有 6 年，其中有 4 个平年， 2 个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即