定积分应用及广义积分

1、第三章一元积分学第四节定积分的应用及广义积分.定积分的应用积分有着广泛的应用。在这里我们要掌握（1 ）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没 有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解。元素法同样适用于重积分的应用问题,还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。例1. （1）曲线y=2esin x（x启0）与x轴所围成的图形的面积为 .（2）曲线y = （ jSK?dt（0兰x兰兀）的弧长为 -be垃(Hi)n解：（1）所求的面积为A|2esin x | dx2e |sin x |

2、 dx(k1)二丄2ekz0 “| sin x | dx = 2ein tdt = e;r(Vr)A =(1心1e：1e 二-1(2)弧长为丨=o . 1 f (x)2dx 二 4例2 过点（4,0）作曲线y二.（x=1）（3=x）的切线，（1）求切线方程；（2）求由这切线与该曲线及 x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.解：（1）设切点为（Xo, y），则有2 -Xo_ y - o _、 (xo -1)(3 - xo)Xo =5，那么切线的斜率为2.(Xo -1)(3-Xo)Xo -4Xo-4解得切线方程为y - - 1（X -4），即 X、3y - 4 = oJ3（3）旋转体的体积

3、为4 -12.32(x - 4) dx -(x -1)(3 -x)dx 6下面介绍一下元素法我们先看一个例子2例3 求曲线y =2x -X与直线y = 0围成的图形绕直线 x = 3旋转一周的旋转体的体积.分析：求旋转体的体积是我们熟悉的问题.但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果.在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的 面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限用元素法将所求的量化为一 个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得元素、积分(以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分)得结果先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选x也可选

4、y 若选y为积分变量，则积分区间为0,1，分割：在0,1上任取一个小区间y, y dy，近似：该小区间对应的一小片绕直线x = 3旋转一周的旋转体的体积 V近似为V ：二(2 .1 二y)2 -(2-、1二y)2dy =8二1ydy , 从 而得体 积元素ii 16dV =8二、.1 - ydy ,积分得结果：V = j dV二J 8- . 1 - ydy若选x为积分变量，3则积分区间为0,2，分割：在0,2上任取一个小区间x,x dx，近似：该小区间对应的小曲边梯形绕直线x = 3旋转一周的旋转体的体积 V近似为二V、二 y(3 -X)2 -(3 - x - dx)2 = 2二(x3 -5x

5、2 6x)dx -二 y(dx)22二(x3 -5x2 6x)dx，从而得体积元素dV =2二(x3 - 5x2 6x)dx，积分得结果：2 1 3 2 16V dV2二(x - 5x 6x)dx.解答过程自己完成.3总结：用元素法求某个量U的一般步骤：(1) 建立坐标系，选取积分变量，比如x 确定该变量的变化区间即为积分区间，比如a,b (2) 在区间a,b上任取一个小区间x, x dx，对应该小区间的部分量记为U，找出该部分量的近似值U f (x)dx，那么得到量U的元素 dU二f(x)dx (3) 以元素dU二f(x)dx为积分表达式在区间a,b上积分便得欲求的量 UbbU dU f (

6、x)dxaa这里关键是找出元素 dU二f (x)dx，找元素的思想是：以直代曲，以常代变.例3 .设有半径为 R的密度不均匀的圆盘.已知其面密度为二ar b，其中为所考虑的点到圆盘中心的距离，a,b为正常数，求圆盘的质量.解：以圆盘上的点到圆心的距离r为积分工变量，则 r 0,R，任取0, R上的一个小区间r,r dr，该小区间对应的小圆环的质量近似为2 2M :二(r dr) - : r (ar b) ： 2二 r(ar b)dr于是质量元素为dM =2二r(ar b)dr，所以圆盘质量为R 2 2M = 2二 r(ar b)dr -二 R ( aR b)注：本题可用二重积分计算。二广义积分

7、本节主要介绍广义积分的计算及敛散性判定。广义积分的计算也有基本方法和特殊方法，基本方法与定积分差不多但要分清瑕点。广义积分的敛散性判定主要是两个方法(1)用定义，(2)比较法，这一方法适用于被积函数在瑕点附近或无穷远点附近非负(若非正，则加一负号可变为非负)，并且与正项级数的比较审敛法相似若被积函数在瑕点附近或无穷远点附近变号，可考虑是否绝对收敛这里先要 熟悉几个简单广义积分的收敛性：a 1对于占dx , ( a0), pci时收敛，p王1时发散.X-be 1对于 dx, ( 0), pn1时收敛，p兰1时发散. a xp1对于 dx , ( a1), p1时收敛，p1时发散.a x(ln x

8、)p-hex1-a|2b(x - a)2 b2dx(b 0),乂dxx(1 x) _ (n x)(n-1)例4.求卜列积分(1)3 f (x)(x 1)2(x -1): xln x亠 f2( )dx,其中 f(x)3(2)，0 (12、2dX1 f (x)x (x 2)0 (1 x )解:(1)(分析:注意这里有两个瑕点：0, 2 )dxf (x)1 f2(x)dxf (X)1 f2(x)dx3 f (x)-1 f2(x)dx=arctan f (x) |04 arctan f (x)疳 arctan f (x)32 二32=(0) () (arctan ) = arcta n2_222272

9、27注:本题的计算很容易出错：一口2dx = arctanf (x)|!4=arctan32 - 0 = arctan32 ,错1+f2(x)2727误的根源在于没注意到积分区间内有两个瑕点，由此可看出计算这类积分时一定要把瑕点找出来然后按本题的做法那样去处理，还要注意极限的单侧性.二 x I n x- 1 二1(2)(分析：首先容易想到用分部法去求：xlnx2dx - lnxd 直(1 + x2 )22 01 + x2一3寻二0乙不対至此问题出来了，由于圾考，这就没法做 下去了，但我们不能由此说该积分发散，也不能说分部法不能用事实上很容易判断该积分是 收敛的（实际上 x=0不能算是假点），用

10、分部法计算广义积分时要求分部积分公式右边两项均 收敛（上述做法中右边两项均发散）本题用分部法可以这样做：:xln x , dx (1 x2)21 xln x ,: xln x ,0厂手dx 1厂手dx1仏二2 11 x21 1 1 In xd（1 -01 x往下计算请同学完成，下面有一种更简便方法（称之为分段相消法）:xlnx , dx(1 x )1 xln x ,0Fnvdx:xln x , dx(1 x )对后一积分作换元:xlnx 2、2(1 x )110 -ln-1 1 2(1討1(-严=-01冉dt(1 t )所以0 (1(3)（分析:-fee1x-a|2再利用奇偶性有二 xln x

11、22x )dx = 0初一看此题比较复杂，我们试着先换元简化问题，令12ydt(xM b2dx斜)卅2b、t 亠 dt 1 t b再换元ub，则二:t2 b: b . t二 2 dt t2 b2但积分u 4du仍不好算，我们可用配对法计算此积分:1 u设Idu ,:11 u4dut = x - a，则积分变为2u4du1 u41令 u ，则Iv11v2dv 二 J又.1丄u du = 1 arctan 1 (u-) |0：2 (u)222 uuJIJI-： u21 u4du 、.2所以|x-a|222dx = 4. bl = 2b二，这是分析，解答请同学们完成）（x_a）2+b2（4）（分析：

12、被积函数是有理函数，我们总可以将它分拆成最简分式的和x(x 1) (X n) x上 A .亠,而且可以求出(-1)k()kc：(-k)(-k 1)(-1)1 (n-k)k!(n -k)!n!，Ak =0。k =0从而I ndxb Akx(1 x) (n x)lim bT- k=0 1 x kdxbf/k(ln(b+ki(1+k)k而 lim Ak ln(b k) lim A, ln(1 )- b八2b：k出blim Ak In b =0 0=0 ,故b ：k dxx(1 x) (n x)1 n=-Z（-1）k41c：l n+（k）这是分析，解答请同学们完成） n!k=0例5.求下列积分已知二（

13、-1）n，212，十xdx求01 - ex(2)已知0dx(3)计算l(m, n)(4):arctanax -n *2x2 n解：（1）0兀-(x2求 o e x dx1xn(ln x)mdxarctanbxdx(a 0,b0)二 xdx1 - ex：xe-1 :1 -xn nxxe(T) e dxQO八(-1)-He .wf(n+)x 亍xe dx =0(T)nn=e(n 1)12(2)令 I- :-(x2ex2)dx, J 二dx =-x7_21-:丄x2)1e x dx7-2 1-J Rdt 二 I心 4x22)e x1(1 p)dxx丄)2工xd(xx1 2 仝 J2，1x d(x-

14、),x1x，则o兀曲丄)2 2e x1d(x )x亠 t2e dt亠t2e dt =- :(x2edx 22e(4) 对m建立递推式I(m，叭代 0(lnt)mdtn11 n A。严(1 nt)= 4|(0,n)(5)(n 1)m-(n 1)m 1(利用二重积分)arcta n ax - arcta n bxa 1b 1 x2y2dy:arctan ax - arctan bx ,dx 二1厂狞dx)dy兀 aIn2 b例6.广义积分o arctan_ dx收敛的充要条件是x分析：首先可以看出本题答案与:大于零还是小于零无关，考虑这个积分有瑕点 x = 0和无穷点x =,这两点都要考虑：1 a

15、rctan： x ,0 x 1对于:arctan： x , dx 二xp arcta j dx，由于arcta n xx(x 0)，因此该积分与。一匕dx具有相同的敛散性,故该积分收敛的充要条件是:2 。对于二竺切Jdx，由于arctan：1 x的敛散性，故该积分收敛的充要条件是综上分析知要填的答案是 1 ： 1 : 2:arctan： x , dxx二 二 1x、?(x):)，因此该积分与dx具有相冋例7. _ 1讨论(ln(1-)解:/(l n(1 丄)1)dX的收敛性X 1 X10（牛一 1作换元 t ，则X对于1 1 1 1 .)dx=L(ln(1+)- )dx + (ln( 1+)X 1 X0X 1 X1X1 1)dx，由于dx是正常积分，故只需讨论七1 +x对于11(ln (1 -)1x由于x 1|n (1 l)dx0X)dx,1 Xln(1丄)X X：l n(1 t)2 dt收敛。t12x210(-2),X1ln(1 )X-be1 X- 1 故,(ln(1 )12 0(2)X2x-丄）dx收敛。综上知原积分收敛。练习题40dX收敛的充要条件是：满足1 .(1) 广义积分 cd1 X（用洛比达法则，答案2 .求下列广义积分rlu(1)0,X 1 X1 1Oln( 1 )dx ,X(111-0()XX:. (