最全的高中数学数列练习题_附答案与解析

1、数列1 an 是首项 a1 1，公差为 d 3 的等差数列，如果an 2 005，则序号 n 等于 () A 667B 668C 669D 6702在各项都为正数的等比数列 a 中，首项a 3，前三项和为21，则 a a a () n1345A 33B 72C 84D 1893如果 a ， a ， ， a为各项都大于零的等差数列，公差d 0，则 () 128A a1a8 a4a5B a1a8 a4a5C a1 a8 a4 a5D a1a8 a4a54已知方程 ( x2 2xm)( x2 2x n) 0 的四个根组成一个首项为1 的等差数列，则4m n等于 () A 1B 3C 1D34285等

2、比数列 an 中， a2 9， a5 243，则 an 的前 4项和为 ().A 81B120C 168D1926若数列 an 是等差数列，首项a1 0，a2 003 a2 004 0， a2 003a2 004 0，则使前 n 项和 Sn 0 成立的最大自然数 n 是 () A 4 005B 4 006C 4 007D 4 0087已知等差数列 a 的公差为2，若 a1，a ， a 成等比数列 , 则 a () n342A4B 6C 8D 108设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a55，则 S9() a39S5A 1B 1C 2D 129已知数列 1，a1，a2， 4 成等差数

3、列， 1，b1，b2，b3， 4 成等比数列， 则 a2a1的值是 () b2A 1B 1C 1或1D 12222410在等差数列nnn 1a n2n12n 1 38，则 n() a 中， a 0，a a 0( n 2) ，若 SA 38B 20C 10D 9二、填空题11设 f( x) x1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得 f( 5) f( 4) 22f(0) f( 5) f( 6) 的值为.12已知等比数列 an 中，第1页共8页( 1) 若 a3 a4 a5 8，则 a2 a3 a4 a5 a6( 2) 若 a123456a324， a a36，则 a a ( 3)

4、若 S4 2， S8 6，则 a17 a18a19 a20.13在 8和 27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为3214在等差数列 an 中， 3( a3 a5) 2( a7 a10 a13) 24，则此数列前13 项之和为.15在等差数列 a 中， a 3，a 2，则 a a a .n56451016设平面内有n 条直线 ( n3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f( n) 表示这 n 条直线交点的个数，则f( 4) ；当 n 4 时， f( n) 三、解答题nn2 2n，求证数列 an 成等差数列 .17 ( 1) 已知数列 a 的前

5、 n 项和 S 3n(2) 已知 1， 1， 1 成等差数列，求证bc ， ca ， ab 也成等差数列 .abcabc18设 a 是公比为q 的等比数列，且a ， a ， a 成等差数列n132( 1) 求 q 的值；( 2) 设 bn 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为n时，比较nn的大小，S ，当 n 2S与 b并说明理由19数列 an 的前 n 项和记为 Sn，已知 a11， an 1 n2 Sn( n 1， 2， 3 ) n求证：数列 Sn 是等比数列n20已知数列 an 是首项为 a 且公比不等于1 的等比数列， Sn 为其前 n 项和， a1，2a7，3a4

6、 成等差数列，求证： 12S3， S6，S12 S6 成等比数列 .第2页共8页数列参考答案一、选择题1 C解析：由题设，代入通项公式an a1 ( n 1) d，即 2 005 1 3( n 1) ， n6992 C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列 an 的公比为 q( q 0) ，由题意得a1 a2 a3 21，即 a1( 1q q2) 21，又 a1 3， 1 q q27解得 q 2 或 q 3( 不合题意，舍去 ) ， a3 a4 a5 a1q2( 1q q2) 3 22 7 843 B解析：由a1 a8 a4 a5，排除C又 a1 a8 a1( a17d)

7、 a12 7a1d， a4 a5 ( a1 3d)( a1 4d) a127a1d 12d2 a1 a8 4 C解析：解法 1：设 a1 1， a2 1 d， a3 1 2d， a4 1 3d，而方程 x2 2x m 0 中两根之和为2， x24444 2x n 0 中两根之和也为 2， a1 a2 a3 a41 6d 4， d1 ， a11 ， a47 是一个方程的两个根，a13 ， a35是另一个方程的两个根24444 7 ， 15 分别为 m 或 n，16 16 m n 1，故选 C2解法 2：设方程的四个根为x1， x2， x3， x4，且 x1 x2 x3 x4 2， x1x2m，

8、x3 x4 n由等差数列的性质：若 s p q，则 aspq12必为第四项，则27 ， a aa ，若设 x为第一项， xx 4于是可得等差数列为1 ， 3， 5， 7 ，4444第3页共8页 m 7 ， n 15 ，1616 m n 1 25 B解析： a2 9， a5 243， a 5 q3 243 27，a 2911 q 3，a q 9， a 3，4335 240 120 S 1326 B解析：解法 1：由 a2 0032 0040， a2 0032 0040，知 a2 003和 a2 004两项中有一正数一负数，又1 a aa 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003 a2

9、004，即 a2 003 0， a2 004 0. S4 006 4 006( a1 a4 006 ) 4 006( a 2 003 a2 004 ) 0，22 S4 007 4 007 ( a1 a4 007) 4 007 2a2 004 0，22故 4 006 为 Sn 0 的最大自然数 .选 B解法 2：由 a12 0032 0042 0032 004 0，同解法 1 的分析 0，aa 0，aa得 a2 0030， a2 0040， S2 003 为 Sn 中的最大值 Sn 是关于 n 的二次函数，如草图所示， 2 003 到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， 4 007 在对称

10、轴的右侧( 第 6题)2根据已知条件及图象的对称性可得4 006 在图象中右侧零点B的左侧， 4 007， 4 008都在其右侧， Sn 0 的最大自然数是4 0067 B解析： an 是等差数列，a3 a1 4， a4 a1 6，又由 a1，a3，a4 成等比数列， ( a1 4) 2a1( a1 6) ，解得 a1 8， a2 8 2 68 A第4页共8页解析： S99(a1a9 ) 9 a5951，选 A5(a12S5a5 )5 a35929 A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则4 1 3d 且 4 ( 1) q4， d 1， q2 2， a2 a1 d 1 b2q2210 C解

11、析： an 为等差数列， an2an 1 an 1， an2 2an，又 an 0， an 2， an 为常数数列，而 an S2 n 1 ，即2n 1 n 10二、填空题1132解析： f( x) 2x1 f( 1 x) 1 x 2 f( x) f( 1 x) 2n 1 38 19，21，22x12xx2，222222 x112 x112x1( 2 2x )22222 2x2 2 x2 2x2 2 x2设 S f( 5) f( 4) f(0) f( 5) f( 6) ，则 S f( 6) f( 5) f(0) f( 4) f( 5) ， 2S f( 6) f( 5) f( 5) f( 4)

12、f( 5)f( 6) 62 ， S f( 5) f( 4) f(0) f( 5) f( 6) 32 12（ 1） 32；（ 2） 4；（ 3） 32解析：（ 1）由 a3a5 a42 ，得 a4 2， a2 a3 a4 a5a6 a45 32第5页共8页a1a2 324q21，（ 2）a2 )q2369( a1 a5 a6 ( a1 a2 ) q44S4 a1 a2 a3 a42q42 ，（ 3）S8 a1 a2 a8 S4 S4q 4 a171819204 16 32 a a aS q13 216解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与8， 27同号，32

13、由等比中项的中间数为827插入的三个数之积为8 27 621636，23214 26解析： a3 a5 2a4， a7 a13 2a10， 6( a4 a10) 24， a4 a10 4， S1313( a1 a13 ) 13( a4 a10 ) 134 2622215 49解析： d a6 a5 5， a4 a5 a10 7( a4a10 )2 7( a5d a55d )2 7( a5 2d) 49116 5，( n1)( n 2) 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交， f( k) f( k 1) ( k 1) 由 f( 3) 2，f(

14、 4) f( 3) 3 2 3 5，f( 5) f( 4) 4 2 3 4 9，第6页共8页f( n) f( n 1) ( n 1) ，相加得 f( n) 2 34 ( n 1) 1 ( n 1)( n 2) 2三、解答题17分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2 项开始每项与其前一项差为常数证明：（ 1） n1 时， a1 S1 32 1，当 n2 时， an Sn Sn 1 3n2 2n 3( n1) 2 2( n 1) 6n 5，n 1 时，亦满足，an 6n5( n N* ) 首项 a11， an an 1 6n 5 6( n 1) 5 6( 常数 )( n N* ) ，

15、数列 an 成等差数列且a1 1，公差为6（2） 1 ， 1 ， 1 成等差数列，abc 2 1 1 化简得 2ac b( a c) b a cbc ab bcc2 a 2ab b( a c) a2 c2 ( a c) 2 ( ac)2 2 ac ，acacacacb( ac)b2 b c ， c a ， ab 也成等差数列abc18解：（ 1）由题设2a3 a1 a2，即 2a1q2 a1 a1q， a1 0， 2q2 q 1 0， q1 或 1 22（ 2）若 q 1，则 Sn 2n n( n1) n 3n 22当 n2 时， Snbn Sn 1 ( n1)( n2) 0，故 Snbn 22若 q 1 ，则 Sn 2n n( n1) ( 1 ) n 9n 2224当 n2 时， Snbn Sn 1 ( n1)( 10n) ， 4故对于 n N+，当 2n 9 时， Sn bn；当 n10 时， Sn bn；当 n 11 时， Sn bn19证明： an1 Sn1 Sn，an 1 n2 Sn，n ( n2) Sn n( Sn 1 Sn) ，整理得nSn1 2( n 1) Sn，所以Sn1 2Sn n1n第7页共8页