数列求和及综合应用

1、数列求和及综合应用解答题1. (2014 湖北高考文科 T19)已知等差数列 an满足 :a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列 .(1)求数列 an的通项公式 .(2)记 Sn为数列 an的前 n 项和 ,是否存在正整数 n,使得 Sn60n+800?若存在 ,求 n 的最小值 ;若不存在 ,说明理由 .【解题指南】 (1) 由 2,2+d,2+4d 成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项 .(2)根据 a 的通项公式表示出a 的前 n 项和公式 S ,令 S 60n+800,解此不等式 .nnnn【解析】n2=2(2+4d),(1)设数列 a 的公差为 d,依题意

2、 ,2,2+d,2+4d成等比数列 ,故有 (2+d)化简得 d2-4d=0 ,解得 d=0 或 d=4.当 d=0 时 ,an=2;当 d=4 时 ,an=2+(n-1 ) 4=4n-2 ,从而得数列 an 的通项公式为an=2 或 an=4n-2.(2)当 an=2 时 ,Sn=2n.显然 2n60n+800 成立 .nnn2 (4n 2) =2n2.当 a =4n-2时,S =2令 2n260n+800,即 n2-30n-4000 ,解得 n40 或 n60n+800 成立 ,n 的最小值为41.综上 ,当 an =2 时 ,不存在满足题意的n.当 an=4n-2 时,存在满足题意的n,

3、其最小值为41.2. （ 2014湖北高考理科18）已知等差数列a n 满足：a1 2，且 a1 , a2 , a3 成等比数列 .第1页共15页（ 1）求数列 a n 的通项公式 .（ 2）记 Sn为数列 a n 的前 n项和，是否存在正整数n ，使得 Sn 60n 800? 若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由 .【解题指南】（）由 2 ， 2 d ，24d 成等比数列可求得公差d, 从而根据通项公式表示出数列 an 的通项；（）根据 an 的通项公式表示出 an 的前 n 项和公式 Sn , 令 Sn60n 800 ，解此不等式。【解析】（ 1）设数列 a n 的公差为 d ，依

4、题意， d,2d,24d 成等比数列，故有 (2d) 22(2 4d)化简得 d24d0 ，解得 d 0 或 d4当 d0 时， an2当 d4 时， an2 (n 1) 4 4n2从而得数列 a n 的通项公式为 an2 或 an4n 2。（ 2）当 an2 时， Sn 2n 。显然2n60n800此时不存在正整数n ，使得 Sn60n800 成立。当 an4n2 时， Snn2(4n2)2n22令 2n260n800 ，即 n230n400 0，解得 n40或n10 （舍去），此时存在正整数n ，使得 Sn60n800 成立， n 的最小值为 41。综上，当 an2 时，不存在满足题意的n

5、 ；当 an4n2时，存在满足题意的n ，其最小值为41。3. （ 2014 湖南高考理科 20）（本小题满分 13 分）已知数列 an 满足 a11,| an 1 an | pn ,n N * .（ 1）若 an 是递增数列，且 a1 , 2a2, 3a3 成等差数列，求 p 的值；（ 2）若 p11 是递增数列， a2n 是递减数列，求数列 an 的通项公式，且 a2n2【解题提示】（1）由 an 是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用a1 ,2a2, 3a3 成等差数列，得到关于 p 的方程即可；第2页共15页（ 2） a2 n 1 是递增数列， a2 n 是递减数列，可以去掉绝对值

6、，再利用叠加法求通项公式。【解析】（ 1）因为 an 是递增数列，所以an 1anpn ，又 a11， a2p 1, a3p2p1，因为 a1, 2a2, 3a3成等差数列，所以4a2a13a3,4 p413 p23 p 3,3 p2p ，解得p1 ,p0 ，当p 0，n 1an0，与 an是递增数列矛盾，所以p1。a33（ 2）因为 a2 n 1 是递增数列，所以a2n 1a2 n 10，于是 a2 n 1a2na2na2n 10 由于 11，所以a2n1a2 na2na2 n 1 22n22 n 112n11 2 n由得a2na2 n 10 ，所以 a2n a2n1222 n 12 n1

7、2n1因为 a2n 是递减数列，所以同理可得a2 n 1a2 n0， a2 n 1a2n1222n由得an 1an1 n12n，所以 an a1a2a1a3a2anan 1n123n11n111124111，21222n 1113 3 2n 1212所以数列 an 的通项公式为 an411 n332n 14. （ 2014 湖南高考文科17）（本小题满分12 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2n ， nN .2（ 1）求数列an 的通项公式；（ 2）设 bn 2annbn 的前 2n 项和 .1 an ，求数列【解题提示】（ 1）利用 an , Sn 的关系求解，（ 2）分组求和。第3页

8、共15页【解析】（ 1）当 n1时， a1S11；当 n2时， anSnSn 1n2n(n 1) 2(n 1)n ，22故数列an的通项公式为 ann2nn（ 2）由（ 1）知， bn1n ，记数列bn 的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(212222 n ) ( 1 2 3 42n)记A 212222n , B 12 3 42n ，则 A2(122n )22 n 12 ，12B (12)(34)(2n1) 2nn故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22 n 1n25. (2014广东高考文科 T19)(14 分 )设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn满足 Sn

9、2 - (n2 +n-3 )Sn-3 (n2+n)=0,n N* .(1)求 a1 的值 .(2)求数列 an 的通项公式 .(3)证明 :对一切正整数n,有1+1+ +10,所以 Sn -3 ,只有 Sn =n2 +n.当 n2 时 ,an=Sn -S n-1 =n2+n- (n-1 )2 - (n-1 )=2n,而 a1=2,所以数列 an 的通项公式为 an =2n(n N* ).(3)因为1=1= 1 11 ) 1 11) ，an (an1)2n(2 n1)4n( n4(n1 )(n 1111244=-1 ,(n 1 )(n 11) n 1n 14444所以1+1+ +1an (an

10、1)a1 (a1 1) a2 (a2 1) 111+111+114111211n1423n144444= 1111141n144= 1 -1 1 .34n33故对一切正整数n,有1+1+ +1 1 .a1 (a1 1) a2 (a2 1)an ( an1) 36. （ 2014浙江高考理科19）（本题满分14 分）anbna1a2anbnan已知数列和满足2 n N. 若为等比数列，且a12, b36b2.（ 1）求an 与 bn ；cn11 nNcn 的前 n 项和为 Sn .（ 2）设anbn，记数列求Sn ；求正整数k ，使得对任意nN ，均有 SkSn .第5页共15页a1a 2 a

11、3an( 2) bn， b3b26 知 a3(2)b3 b2(2) 68【解析】（ 1）由题意又由 a1 2 ，得公比 q2 （ q2 舍去），所以数列an 的通项 an2n ( nN * )n (n1)( 2) n( n 1)n( n 1)(n N * )所以a1a2a3an 2 2bn的通项bn，所以数列cn11111*)112n()(nNSn2nN * )（ 2）由（ 1）知anbnnn 1所以n 1(n因为 c1cn1n(n 1)10 ， c2 0, c3 0, c40 ； 当 n5 时，n( n 1)2nn(n 1)( n 1)(n2)( n1)(n2) 0n(n1) 5(51)1而

12、 2n2n 12n 1得2n25所以，当 n5 时， cn0综上，对任意nN *恒有 S4 Sn ，故 k4 .7.（ 2014 上海高考理科 23）已知数列 an 满足 1 anan 1 3an ,n N *, a1 1.3（ 1）若 a2 2, a3x, a49 ，求 x的取值范围；（ 2）若 an 是公比为 q 等比数列， Sna1a2Lan ， 1 SnSn 13Sn , n N*, 求 q 的3取值范围；（ 3）若 a1 ,a2 ,L , ak 成等差数列，且 a1a2Lak1000 ，求正整数 k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列a1,a2 ,L , ak 的公差 .【解题指南

13、】根据 11a3a4 3a4可求得 的范围.(2)需对 分类讨论，若q，(1)3 a2a3 3a2, 3xq1易得符合题意，若 q1时，再通过放缩法解不等式组即得结论.(3).当 k=1000,d=0是一组解，故 kmax1000,根据 1 an an 1 3an , 可得 d2, 然后根据 a132k1a2L ak 1000,得到关于 的关系式，而d2得到关于 的不等式，d2k1k解此不等式即得 .【解析】第6页共15页1a2a33a2,2x6;依题意，3(1)3又 1a3a43a4 ,3x综上可得；x6;327;3(2)由已知得， anqn1,又 1 a1a23a1， 1q 313即 n3

14、当q时，sn,snsnn1成立1n31 3sn ,33n,.当12q201,2=q对于不等式qn 13qn，令n得q23q20,解得q2+2 01,1又当q时，q3012qn 1nn3)2（3)2(q1)(q2)成立3q +2q (qq q01q2当1时，sn1qn1sn 1 3sn ,即1 1 qn1qn+131 qn3q 11 q ,3 sn3 1 q1 q1 q此不等式即3qn 1qn20qn 13qn203q10,q30n 1nnn3qq（3q-1)-21,都有 m N* ,使得 a1 ,an,am成等比数列 .【解题指南】(1) 利用 an=Sn -S n-1 (n2) 解决 .(2

15、)a1,an ,am成等比数列 ,转化为 =a1 am.【解析】 (1) 当 n=1 时 a1=S1 =1;当 n2 时 an =Sn -S n-1 =-=3n-2 ,对 n=1 也满足 ,所以的通项公式为an=3n-2 ;(2)证明 :由 (1)得 a1=1,an=3n-2 ,am=3m-2,要使 a1 ,an ,am成等比数列 ,需要 =a1 am,所以(3n-2 )2 =3m-2,整理得 m=3n2-4n+2 N*,所以对任意n1,都有 *使得=a1 am 成立 ,mN即 a1,an,am 成等比数列 .9 （ 2014 上海高考文科23）已知数列 an 满足 1 aa3a, nN*,

16、a 1 .3nn 1n1（ 2）若 a22, a3 x, a4 9 ，求 x的取值范围；（ 3）若 an 是等比数列，且am1m的最小值，以及m取最小值时相应，求正整数1000 an 的公比；（ 3）若 a1,a2 ,L , a100 成等差数列，求数列a1,a2 ,L , a100 的公差的取值范围.【解题指南】第8页共15页根据1a33a2,1a3a4可求得的范围.(2)根据 1a1a23a1可把 q的范围求出，(1)a233a4x33再根据通项将 m用 q表示出来，用放缩法求解.(3). 根据1an13an ,可得公差的关系式，and3对 n分类讨论可得 .【解析】1a2 a33a2,2

17、x6;依题意，3(1)3又 1a3a43a4 ,3x综上可得；x6;327;3n 111(2)设公比为 q,由已知得，anq,又 3a1a23a1，3q3故am =qm 1= 1 ,1 q 1100031333m 1logq 10001117.28log1000 q11lg qlg3lg371113的最小值为 ，故,q)7107m8q(10001000（n2)d（ ）设公差为 由已知可得 1+(n1)d3(1 (n 2)d),3d,31其中即 (2n1)d22n 100,(2n5)d2令n得，222 -d3当n时，不等式即d2231002n,d2n51d222001199综上，公差d的取值范围

18、为2 ，2 .19910. （ 2014 山东高考理科 19）已知等差数列 an 的公差为2，前 n 项和为 Sn ，且 S1 , S2 , S4 成等比数列 .（）求数列 an 的通项公式；（）令 bn( 1)n 1 4n ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .an an 1【解题指南】(1)先设出等差数列的首项. 然后根据已知条件可列方程组求得数列an 的第9页共15页通项公式 . (2)利用裂项求和法求解，注意本题是将数列bn 裂成两项之和，然后再分奇数和偶数来求数列bn 的前 n 项和 .【解析】 （ I ） d2, S1a1 , S22a1d, S44a16d ,S1 , S2 ,

19、 S4成等比S22S1S4解得 a11,an2n1（ II ） bn( 1) n 14n( 1)n 1(111)an an 12n2n1当n为偶数时， Tn(1111(11(11)(11)()5)2n32n2n12n335711所以 Tn112n2n12n1当n为奇数时， Tn(11)( 11)( 11 )(131)(111)335572n2n12n2n1所以 Tn112n22n12n12n, n为偶数所以 Tn2n12n2 ,n为奇数2n111. （ 2014 山东高考文科 19）在等差数列an 中，已知d2 ， a2 是 a1 与 a4 等比中项 .（）求数列an 的通项公式；（）设 bn

20、an n 1 , 记 Tnb1 b2 b3nL1 bn ，求 Tn .2【解题指南】(1)先设出等差数列的首项. 然后根据已知条件可列方程组求得数列an 的通项公式 . (2) 分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.【解析】：（）由题意知：an为等差数列，设an a1n1 d ，a2 为 a1 与 a4 的等比中项a22a1a4 且 a10 ，即 a1d 2a1 a13d ， d 2 解得： a1 2an2( n 1) 22n第10 页共15 页（）由 （）知： an2n ， bnan( n1) n(n 1)2当 n 为偶数时：Tn12 23 34n n 1213435n n 1 n 12 242

21、62n22246n2n nn22n2222当 n 为奇数时：Tn12 23 34n n 1213435n 1n 2 n n n 1224262n 1 2 n n 12246n1n n 122n1 n21n n1n22n 122n22n1， 为奇数2n综上： Tnn22n为偶数2, n12. (2014 江西高考理科T17)已知首项都是1 的两个数列 an bn (bn 0,n N* ),满足an bn+1 -a n+1bn+2bn+1bn=0.(1)令 c n=,求数列 cn的通项公式 .(2)若 b=3n+1的前 n 项和 S .,求数列 annn【解题指南】 (1)将等式两端同时除以n b

22、n+1 即可求解 .b(2)由 (1)及 bn=3n+1可得数列 an 的通项公式 ,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn .【解析】 (1) 因为 bn0,所以由 an bn+1-a n+1 bn +2bn+1 bn=0,得 -+2=0 ,即 -=2 ,所以 cn+1 -c n=2,所以 cn 是以 c 1=1 为首项 ,2 为公差的等差数列,第11 页共15 页所以 cn =1+(n-1 )2=2n-1.(2)因为 bn =3n+1 ,cn=2n-1.所以 an =cn bn =(2n-1 )3n+1 .所以 Sn =132+333 +534+(2n-1 )3n+1,3Sn=133+334+(2n-