2020版新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4.1 均值不等式课件 新人教B版必修1

1、2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 1.1.均值不等式均值不等式( (基本不等式基本不等式) ) (1)(1)算术平均值与几何平均值算术平均值与几何平均值 前提前提给定两个正数给定两个正数a a，b b 结论结论 数数 称为称为a a，b b的的算术平均值算术平均值 数数 称为称为a a，b b的几何平均值的几何平均值 ab 2 ab (2)(2)均值不等式均值不等式 前提前提a a，b b都是正数，都是正数， 结论结论 ， 等号成立等号成立 的条件的条件 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立 几何意义几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面所有周长一定的矩形中

2、，正方形的面 积最大积最大. . ab ab 2 【思考思考】 (1)(1)算术平均值的实质是什么？算术平均值的实质是什么？ 提示：提示：数数a a，b b在数轴上对应的点的中点坐标在数轴上对应的点的中点坐标. . (2)(2)均值不等式中的均值不等式中的a a，b b只能是具体的某个数吗？只能是具体的某个数吗？ 提示：提示：a a，b b既可以是具体的某个数，也可以是代数式既可以是具体的某个数，也可以是代数式. . (3)(3)均值不等式的叙述中，均值不等式的叙述中，“正数正数”两个字能省略吗？两个字能省略吗？ 请举例说明请举例说明. . 提示：提示：不能，如不能，如 是不成立的是不成立的.

3、 . ( 3)( 4) ( 3) ( 4) 2 2.2.均值不等式与最值均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. . 【思考思考】 通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注 意哪几方面？意哪几方面？ 提示：提示：求最值时，要注意三个条件，即求最值时，要注意三个条件，即“一正一正”， “二定二定”，“三相等三相等”. . 【素养小测素养小测】 1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打

4、“”)”) (1)(1)两个不等式两个不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab与与 成立的条件是相成立的条件是相 同的同的. .( () ) (2)(2)当当a0a0，b0b0时时a+b2 .a+b2 .( () ) (3)(3)当当a0a0，b0b0时时ab .ab .( () ) ab ab 2 2 ab () 2 ab (4)(4)函数函数y=x+ y=x+ 的最小值是的最小值是2.2. ( () ) 1 x 提示：提示：(1)(1). .不等式不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab成立的条件是成立的条件是a a，bRbR； 不等式不等式 成立的条件是成立的条件是a0a0，b0

5、.b0. (2).(2).均值不等式的变形公式均值不等式的变形公式. . (3).(3).均值不等式的变形公式均值不等式的变形公式. . (4)(4). .当当x0 x00，所以，所以 成立成立. . 2 2 22 1 A.a2 a 1 B.( a) ()2 a 1 C.a2 a 1 D.( a)()2 a 2 2 1 a2 a 3.3.不等式不等式a a2 2+12a+12a中等号成立的条件是中等号成立的条件是_._. 【解析解析】当当a a2 2+1=2a+1=2a，即，即(a-1)(a-1)2 2=0=0时时“=”=”成立，此时成立，此时 a=1.a=1. 答案：答案：a=1a=1 类型

6、一对均值不等式的理解类型一对均值不等式的理解 【典例典例】1.1.若若a a，bRbR，且，且ab0ab0，则下列不等式中，恒，则下列不等式中，恒 成立的是成立的是( () ) A.aA.a2 2+b+b2 22ab2abB.a+b2B.a+b2 C.C. D. D. ab 112 abab ba 2 ab 2.2.不等式不等式a+12 (a0)a+12 (a0)中等号成立的条件是中等号成立的条件是( () ) 世纪金榜导学号世纪金榜导学号 A.a=0A.a=0B.a= B.a= C.a=1C.a=1D.a=2D.a=2 1 2 a 【思维思维引引】利用均值不等式时需注意使用条件利用均值不等式

7、时需注意使用条件. . 【解析解析】1.1.选选D.D.对于对于A A项，当项，当a=ba=b时，应有时，应有a a2 2+b+b2 2=2ab=2ab， 所以所以A A项错；对于项错；对于B B，C C，条件，条件ab0ab0，只能说明，只能说明a a，b b同同 号，当号，当a a，b b都小于都小于0 0时，时，B B，C C错误；对于错误；对于D D项，因为项，因为 ab0ab0，所以，所以 ，所以，所以 . . b a 0 a b ， bab a 22 aba b 2.2.选选C.C.因为因为a0a0，根据均值不等式，根据均值不等式 ，当且仅，当且仅 当当a=ba=b时等号成立，故时

8、等号成立，故a+12 a+12 中等号成立当且仅当中等号成立当且仅当 a=1.a=1. ab ab 2 a 【内化内化悟悟】 1.1.使用均值不等式的前提条件是什么？使用均值不等式的前提条件是什么？ 提示：提示：a0a0，b0.b0. 2.2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？均值不等式中，等号成立的条件是什么？ 提示：提示：a=ba=b 【类题类题通通】 在均值不等式应用过程中要注意在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相一正、二定、三相 等等”. . 一正，一正，a a，b b均为正数；均为正数； 二定，不等式一边为定值；二定，不等式一边为定值； 三相等，不等式中的等号能取到，即三

9、相等，不等式中的等号能取到，即a=ba=b有解有解. . 【习练习练破破】 设设0ab0ab，则下列不等式中正确的是，则下列不等式中正确的是( () ) abab A.abab B.aabb 22 abab C.aabb D. abab 22 【解析解析】选选B.B.因为因为0ab0ab，所以，所以 ，所以，所以aa ，同样由，同样由0ab0ab得得 ，所以，所以 b0 x0，y0y0，且，且x+y=18x+y=18，则，则xyxy的最大值为的最大值为 ( () ) A.80A.80B.77B.77C.81C.81D.82D.82 2.2.当当x1x1时，时， 的最小值为的最小值为_._.世纪

10、金榜导世纪金榜导 学号学号 2 x8 x1 【思维思维引引】根据已知条件，直接利用均值不等式求根据已知条件，直接利用均值不等式求 最值最值. . 【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为x0 x0，y0y0，所以，所以 ，即，即xyxy =81 =81，当且仅当，当且仅当x=y=9x=y=9时，时，(xy)(xy)max max=81. =81. xy xy 2 2 xy () 2 2.2.令令t= t= ， 因为因为x-10 x-10，所以，所以t +2=8t +2=8，当且仅当，当且仅当x-1x-1 = = ，即，即x=4x=4时，时，t t的最小值为的最小值为8.8. 答案：答案：8 8

11、 22 x8(x1)2(x1)99 (x1)2 x1x1x1 9 2 (x1) x1 9 x1 【内化内化悟悟】 能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？ 提示：提示：一般条件中有一般条件中有“和为定值和为定值”或或“积为定值积为定值”， 要求的结论是要求的结论是“积的最大值积的最大值”或或“和的最小值和的最小值”. . 【类题类题通通】 利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点 1.1.两种类型两种类型 (1)(1)若若a+b=p(a+b=p(两个正数两个正数a a，b b的和为定值的和为定值)

12、)，则当，则当a=ba=b时，时， 积积abab有最大值有最大值 ，可以用均值不等式，可以用均值不等式 求得求得. . 2 p 4 ab ab 2 (2)(2)若若ab=S(ab=S(两个正数的积为定值两个正数的积为定值) )，则当，则当a=ba=b时，和时，和a+ba+b 有最小值有最小值2 2 ，可以用均值不等式，可以用均值不等式a+b a+b 求得求得. .S 2 ab 2.2.一个关注点一个关注点 不论哪种情况都要注意等号取得的条件不论哪种情况都要注意等号取得的条件. . 【习练习练破破】 已知已知a0a0，b0b0，ab=4ab=4，m=b+ m=b+ ，n=a+ n=a+ ，求，求

13、m+nm+n的最小的最小 值值. . 1 b 1 a 【解析解析】因为因为m=b+ m=b+ ，n=a+ n=a+ ， 所以所以m+n=b+ +a+ .m+n=b+ +a+ . 由由ab=4ab=4，那么，那么b= b= ，所以，所以b+ +a+ b+ +a+ = =5= =5，当且仅当，当且仅当 即即a=2a=2 时取等号时取等号. .所以所以m+nm+n的最小值是的最小值是5.5. 11 ab 11 ab 11 ab 4 a 41a5a55a 5 a2 aa44a4 a 5a5 4a 【加练加练固固】 已知已知a0a0，b0b0，则，则 的最小值是的最小值是( () ) A.2A.2B.2

14、 B.2 C.4C.4D.5D.5 2 11 2 ab ab 【解析解析】选选C.C.因为因为a0a0，b0b0， 所以所以 4 =44 =4，当且仅当，当且仅当 即即a=b=1a=b=1时，等号成立时，等号成立. . 111 2 ab22 ab abab 1 ab ab 11 ab 1 ab ab ， 类型三间接利用均值不等式求最值类型三间接利用均值不等式求最值 角度角度1 1“不正不正”问题问题 【典例典例】已知已知x0 x0，则，则3x+ 3x+ 的最大值为的最大值为_._. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号 12 x 【思维思维引引】变形为各项均大于变形为各项均大于0 0后利用均值不等式求

15、后利用均值不等式求 最值最值. . 【解析解析】因为因为x0 x0.-x0. 则则 =-12=-12，当且仅当，当且仅当 =-3x=-3x，即，即x=-2x=-2时，时， 3x+ 3x+ 取得最大值为取得最大值为-12.-12. 答案：答案：-12-12 1212 3x( 3x) xx 12 2( 3x) ( x) 12 x 12 x 【内化内化悟悟】 使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0 0 吗？吗？ 提示：提示：当所给式子均小于当所给式子均小于0 0，也可以利用均值不等式求，也可以利用均值不等式求 最值，但是要注意不等号方向的变化最

16、值，但是要注意不等号方向的变化. . 角度角度2 2“不定不定”问题问题 【典例典例】(1)(1)已知已知x2x2，求，求x+ x+ 的最小值的最小值. . (2)(2)已知已知0 x 0 x2x2，所以，所以x-20 x-20，所以，所以x+ =x-2+x+ =x-2+ +2 +2=4 +2 +2=4， 所以当且仅当所以当且仅当x-2= (x2)x-2= (x2)， 即即x=3x=3时，时，x+ x+ 的最小值为的最小值为4.4. 1 x2 1 x2 1 2 (x2)() x2 1 x2 1 x2 (2)(2)因为因为0 x 0 x01-2x0，所以，所以 x(1-2x)= x(1-2x)=

17、 2x(1-2x) 2x(1-2x) ， 所以当且仅当所以当且仅当2x=1-2x 2x=1-2x ， 即即x= x= 时，时， x(1-2x)x(1-2x)的最大值为的最大值为 . . 1 2 1 2 1 4 2 1 2x1 2x1 () 4216 1 (0 x) 2 1 2 1 4 1 16 【素养素养探探】 本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推 理与数学运算的核心素养理与数学运算的核心素养. . 若把本例若把本例(1)(1)改为：已知改为：已知x x ， 试求试求4x-2+ 4x-2+ 的最大值的最大值. . 5 4 1 4x5 【解

18、析解析】因为因为x x ，所以，所以4x-504x-50.5-4x0. 所以所以4x-5+3+ 4x-5+3+ =1.=1. 当且仅当当且仅当5-4x= 5-4x= 时等号成立，又时等号成立，又5-4x05-4x0， 所以所以5-4x=15-4x=1，x=1x=1时，时，4x-2+ 4x-2+ 的最大值是的最大值是1.1. 5 4 111 (54x)32 (54x)3 4x554x54x 1 54x 1 4x5 【类题类题通通】 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常 数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面 的问题：的问题： (1)(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化 以及等式中常数的调整，做到等价变形以及等式中常数的调整，做到等价变形. . (2