夏之舟致数学分析高等代数解析几何的新人们(数学分析篇)

1、作者:数学贝壳致数学分析、高等代数、解析几何的新人们各位2012级的新同学们：从9月10号起你们就正式进入大学数学的学习了。一开始你们就遇到了数学专业的三座大山：数学分析、高等代数、解析几何。数学分析不仅是分析学的基础，也是后续许多课程包括常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数等等的基石。而高等代数，则是代数学的引路，之后的抽象代数，矩阵论，群论，数值代数都是它的衍生品，你看似简单的解析几何，高等几何是之后微分几何，微分流形，代数几何的先修课，著名的华裔数学家丘成桐先生也因为在微分流形的杰出贡献被授予数学界的诺贝尔奖沃尔夫数学终身成就奖。不知道大家在上了各门课的第一堂课后有什么样的感受？是

2、一下子懵了，还是兴致勃勃？作为一个过来人，希望给大家一些经验，如何学好这些课，选择一些什么样的素材来补充自己。文章写的比较长，希望大家有耐心看完。我想会对你非常有帮助。数学分析篇一、一些还不错的教材 直接进入主题好的教材是相当重要的。所以让我们从教材开始。 先说说国内。应当来说国内公认的比较好的数学分析教材一共有三套，这里只介绍两套。1.数学分析，华东师范大学数学系，高等教育出版社 这套教材也是北科大数学系一直使用的课本（不过听说自2011级开始理科实验班换成了数学分析，李忠，高等教育出版社，个人对这套教材保留意见）。这本教材堪称数学分析的经典，如果我没有记错第一版发行于1978年，已经有四十

3、多年的历史，现在最新的是第四版。这么长时间，经久不衰是其品质最好的检验。就难度而言，这本教材应该算中上。第三版第四版就知识结构来说没有什么大的变动，小的变动可以看书的第四版的前言。但是，在课后题，例题上有了较大的更新，丰富了题目的数量与质量（一些题都是吉米多维奇数学分析习题集里的题目，另一些题是一些高校的考研试题）。所以要学好数学分析，先必须搞懂课本知识，把每个题目做会了，做出感觉来，这样算进入成功入门的第一步了。2.数学分析，复旦大学 陈纪修，高等教育出版社 这本教材被总体上与华师大介绍的内容一样，但是在顺序上有所不同。除此之外比较明显的一点，加强了向量函数的概念，介绍了梯度散度这些在华师大

4、的书里选学的内容。难度上来说两本书差不多。据说复旦大学数学系的同学就是用的这本书。这里值得一提的是，这两本书都以苏联数学教育家菲赫金哥尔茨的微积分学教程为蓝本编写，很多地方都能看是援引那里的许多材料。（这里插一句废话，由于国情原因，应当说中国高等数学的教材（2000年以前的）基本上参考了苏联的数学知识体系，所以，在学习国内一些教材的时候，想挖掘的深入一些，可以看看一些选译的俄罗斯教材。因为俄罗斯的数学，特别是基础数学真的很强。）对于这部微积分学教程，我要念叨几句。第一，我们的老师，我们老师的老师，我们的老师的老师的老师，很多以前都读过这本书或者翻译过这本书，如果没有读过起码也是听过或者参考过部

5、分章节。如果说华师大的数学分析是经典之作。那么这本微积分教程堪称划时代的巨著，数学的名著里面例题材料之丰富，知识体系的构架的完整，我想迄今为止没有一部其他的分析书可以超越。尽管这本书写于上个世纪40时年代，站在现代数学分析的角度上，有很多理论已经是较为落后的，但是这本书仍然不失为一本名著。第二，这本书一共三卷，1700多页，高等教育出版社出版了中文版，目前更新到第八版，图书馆可以借阅。北京大学数学系的指定教材。所以如果各位学霸，以及真正想学好数学分析这门课的同学，如果你学有余力，可以阅读一下。我不建议所有人都看，因为这实在是一个巨大的工程，不少地方写的有点深，大家根据自己的兴趣来抉择。第三，正

6、如刚刚所说，这本书的例子特别丰富，所以大家在第一节课上听到老师推荐的吉米多维奇数学分析习题集有近30%的题目取材于这本书。 既然说到了俄罗斯。那就来说说国外的数学分析教材吧。 首先，我要说不太赞成新人看国外的数学分析教材，即便是中译本。可能你会打听一些你高中时候比较牛的，考到比较牛的大学里的同学数学分析用什么教材。不否认有部分学校诸如浙江大学丘成桐班，北京大学元培实验班，清华大学基地班等等直接上国外的教材。但是那些同学是什么水平，你应该比我清楚。所以，我建议我们自己还是按部就班的来，其实我们的教材未必比那些学校的教材差。基础扎实了，后面学起来就轻松了。 又扯远了。回到正题。为什么不推荐。理由有

7、以下几个： 第一，我刚刚提到过，我们的数学教材，不管是数分高代还是其他学科，基本上照搬了苏联那一套。但是现代数学分析（你应该知道现在的数学中心是美国吧），一些主流的欧美教材都是不太注重公理化体系的。他们一般都是站在现代分析的观念上去研究数学，他们的数分一开始讲的是拓扑，什么集合的性质，连通性，反正这些东西基本一看就晕了。就像Harvard University著名数学家Rudin写过一本数学分析原理，真的很不错，但是可惜的是它除了讲了一些数分，还讲了一些实分析泛函的东西，如果大家一开始看这些，那就真的成天书了。国外教材中心专家推荐，这本书应该是高年级数学系学生看，比如你学完数学分析、实变函数去

8、看这本书就为了求一些经典教材，追逐一流高校的教材，反而学不好，丧失了信心与兴趣。 第二，我的一位导师跟我说，他认为数学课程的学习，有一本主要的教材，其他教材当作补充材料，课外阅读素材，先扎实基础，再拓宽知识面，才能学的好。但是怎么选择一本好的教材，我想我们用的数学分析教材绝对算的上是上乘的，所以建议大部分同学以这本书为中心，把课本每个知识点，定理，推论搞明白了，再把后面题目做会了，做出感觉了，你又何愁数分学不好呢？一开始定位的太高，只会摔得粉身碎骨。二、习题集1.吉米多维奇数学分析习题集 我想几乎所有大学第一节数学分析课，老师都会给大家推荐这本盛行了几十年的吉米多维奇数学分析习题集，据说花了1

9、5年才写成了这本习题集。这本书目前官方授权高等教育出版社发行，似乎出到了2010年版，大题据说有4000多个，小题合计在一起大概在5500个。我听闻基本上是北大数学的学生都会做完这本书，这本书的重要性不言而喻。 不过这里，笔者和曾经讲授数学分析的牛敏老师保持一致观点，这本习题集题目多，但是同一类型的题目也多，偏题怪题也多，个人并不是很推荐。市面上有很多吉米多维奇习题集的解答，以南京大学和山东大学的解答为主。2010年高等教育出版社出版了苏州大学谢惠民老师编写的吉米多维奇数学分析习题集学习指引一共三本，个人觉得比市面上那些吉米多维奇习题集的解答好的多，一方面，它遴选了具有典型意义典型方法的题目讲

10、解，在解答的时候经常一题多解；另一方面，它的着眼点不是告诉你不知是答案是什么，而力求告诉你怎么得到这个答案。编者是怎么分析这些题目，怎么思考的。正如我们所知道，在一开始，这些模仿很重要！等你累积了足够的经验，自己就能完整地挑战难题了。2.数学分析习题课讲义，谢惠民，高等教育出版社 这本数学分析习题课讲义一共2本。是国家级数学分析精品教学团队苏州大学的习题课的讲义，这本书，除了印刷上的一些错误，个人认为可以称为国内目前数学分析最好的习题书。一方面，它有知识的归纳整理，以及一些定理的拓展和发散，加深了对知识的应用和理解；另一方面，它附有丰富的习题，一些来自于吉米多维奇习题集，一些来自于常规数学分析

11、课后习题，一些来自考研题，一些来自数学竞赛题，一些来自数学分析一些理论的论文，理论与应用相得益彰。每节设有思考题和练习题，思考题多是对一些容易混淆的概念的辨别，数学分析中的一些反例。练习题由基础题和中等题组成（比我们的课后题难）。每章最后附有参考题，都是一些很难的竞赛题和考研题。那些对数分感兴趣的同学可以好好研究一下。 当然最值得一提的是，这本书是没有答案的。所以可以彻底断了你看答案的念头。当然同时造成了不知道自己做的是错的还是对的问题，笔者一直在做这本书，有共同意向的同学可以联系我，我们可以交流。 如果能把上面的题目做会了，理解了，吸收了，我想数学竞赛就算在清北北师大高手如云的北京赛区，拿一

12、等奖也是可能的！北京大学等一线高校都选用这本书做习题课的指定用书。3.数学分析解题指南，林源渠，北京大学 在北京大学的习题课里也会使用这本书。这本书是在北大前几年和周民强老师的数学分析习题演练吉米多维奇习题集都是北大数学分析习题课的用书。 我不知道大家学了数分之后是不是觉得，数学的证明变得太机械化，不够富有技术含量。那么不得不说，这本数学分析习题指南里面的习题解答都有很强的技巧性，如果对解题技巧感兴趣的同学，相信会很喜欢这本书。这本书很多题都用巧妙的方法解答出来，短短几行完成了他人一页多的答案，颇为精彩。 提一句，校内数学竞赛很多题目都出自这本书。4.数学分析中的典型问题与方法，裴礼文，高等教

13、育出版社 这本书俗称砖头书，跟一块砖头那么大。 这本书按课本章节编写，对每一类问题比如求数列极限，大概归纳了十几种方法然后每种方法对应例题。但是比较遗憾的是，这本书主要是写给考研或者数学竞赛的人看的，所以当初学者看的时候，很多提到的方法都要用到还没学到的知识，比较尴尬。但是这本书相当好，题目丰富且典型。关于习题集暂且就推荐这四本吧。三、关于怎么学习数学分析 数学分析对大多数同学来说都是一种折磨，特别是到了第二、第三学期，后来就基本听不懂老师在讲什么东西了。原因很简单，因为前面没学好。你会发现数分和高代有那么点不同。数分是一环扣着一环的（高代比如线性变换和行列式，多项式还可以分割开来，当然在一些

14、深入一些的高等代数书里，这些知识点之间都因为秩，多项式紧密相连）学完数列极限就是函数极限，极限完了是连续，连续完了就是导数，导数完了就是微分定理，然后微分完了就是积分了，先不定积分后定积分，最后反常积分。然后是级数，级数完了就跳到多元函数了，再讨论一遍极限，连续，导数，积分所以数学分析只要一环出了错，你后面学起来就会很累。 其实一开始所有人都是站在同一条起跑线上的。但是为什么后来出现了差异，那就是你后天努力的原因了。所以才有良好的开始，成功的一半。大一第一年基本奠定了你大学四年的风向标吧。 好吧。扯远了。回到怎么学数分上来。首先，是说得人神共愤N+1次的预习，一定要预习。因为老师上课讲的比较快

15、（记得最快时候会将20页）或者比较发散，你要是没有预习过，很多情况下就是听天书。大学和高中不一样，很多东西老师不讲，或者老师认为你自己应该学会，所以更多靠你自己学的。可能有人会问，我自己预习了都看懂了，还要听老师讲做什么。那些喜欢劝我们放下屠刀的禅师总会说“一千个读者心中有一千个哈姆雷特”。所以对知识的理解也一样。我们的很多老师都是很厉害的，你去听他的课不是去听你会的那80%，而是去听你不懂的20%，这样你才算没浪费时间，没浪费粮食，没浪费父母辛辛苦苦挣的血汗钱。正如你现在正在看我扯淡，但是我有扯，也有很多实质性的内容和信息，如果不是全文读完，不是认真看一遍，你怎么知道我哪里说的是废话，哪些是

16、对你有用的？很多知识点站在另一个角度理解起来就不一样了。我曾经问过几个学弟学妹，比如我给你一道你认为极其简单的题目，比如求极限，你能不能一秒钟看出来？不能的话，说明你水平不够。再看书再做题。预习时候可以把不会的标注出来，上课时候要格外认真听，会的就当取检验老师有没有讲错，看看他的理解和你的理解有什么不同。接着说听课。听课这件事。就我个人而言，深有体会。在第一排听和在最后一排听基本是两个效果。各位看过最近人人网上传的那张教室QQ表情吗。其实坐在哪排一开始就决定了你学习的倾向，唯心主义的理论意识决定物质：你有很强的学习欲望，强烈的上进心基本上不会坐在三排以后（新生刚来抢座位不算的话），反之吊儿郎当

17、，对数学没兴趣，不想听课基本上也会有意识往后坐，然后就是补觉党，爪机党，好吧我无力吐槽了，不然我又要扯到哲学问题上去了。上课时候认真听讲是必要的，但是不是充分的。做笔记。这是男生的软肋。一般来说女生都会认真做听课笔记，男生觉得有时候老师PPT或者黑板上写的就是书上的内容，或者出的题目太简单了，不会不想不愿意做笔记。而事实是，期末考的很多题目都来自于作业，课堂例题，极少部分是全新的。不要简单就不写一遍，不要觉得书上有就不抄，你也知道是书上的，那是书的，不是你的。禅师还说过“绝知此事要躬行”，从心理学和生理学的角度来说，看着老师推导和自己推导，那是两种不一样的感受。不要觉得很简单，往往是很简单的你

18、还写不清楚，你还敢说简单？亲，视觉记忆生存期很短，转化为自己的实体记忆才能长久记忆，如果下一次见到的时候你会有一种似曾相识的赶脚，那就对了，因为你的海马体记得你做过这个题目！ 经常有一些数学天赋很高，但是没有良好学习习惯，自我管理意识的同学，很聪明，考试考的不高。这里允许我势利一下。考分说出来很庸俗，但是俗到底，说明了你的考试能力，知识水平。你每天夸夸其谈自己数学思维多么棒，有一毛钱用吗？谁会相信。进一步，注意你的考试成绩几乎决定了你大学的命运奖学金，保研，出国，荣誉称号等等。所以你懂的。我不再说了，不然会被认为政治立场有问题。就此打住。 我期望各位男生们，记住禅师喜欢说的话“好记性不如烂笔头

19、”。有了笔记，以后复习起来也会很方便。 最后说做题。 基本上老师会留一些题目作为作业，是老师认为比较典型的题目。记住，这一部分该证明的就证明，该计算的就计算。基本上第一学期大家都是好孩子，第二学期，有了笔记本，有了互联网，我只想用六个字来形容这是要逆天啊！作业是抄的，甚至代写的。作业完成由当天，变成了周末，再成了周末熄灯以后，再成了周一早上，最后成了课堂上我还要继续说下去吗？ 好吧。再次回来。 建议大家作为数分初学者，一开始的题目，自己独立做。自己先做。早上做不出，再回去看书，下午做不出，再看书，晚上还是做不出，好了，下了晚自习回去和同学讨论吧。这里提个建议，如果问别人怎么做，希望你问清楚的不

20、知是怎么做，还有为什么这么做？别人是怎么想到？这点很重要。授人以鱼，不如授人以渔。另外一种方法，真的做不出的情况下，去看答案，把答案理解了，然后合上答案，自己写一遍，如果写到一半卡住了，说明你没看懂（其实在这个过程里你会发现，看别人写，听别人说，和自己亲自动手做是两回事），再从头看答案。当然对应的，合上答案书，你要重新推导，直到你能独立地写出来。然后完事了吗？没有。第二天晚上再把这个题目拿出来做一遍，看会不会。不会再看书复习，看答案。说明你没理解透！过一个星期到了周末，再把这个题目找出来，再独立做。做不出来，再重复，直到时隔很久别人问你这种类型的题目，你能不假思索地凭着直觉说出基本思路。方丈很

21、早就说过“山不在高，有仙则灵，水不在深，有鱼则灵”，所以做的很多，没理解，不如做一个自己真正理解的。当然上面这个过程不只是重复，其实是一种模仿。一开始模仿解题者的思路，其实你多写几遍就能意外地发现其实是在理清楚解题者的思路，这对培养数学思维是很有好处的。这样做多了，你自己也会有意识地去形成一些证明思路。到了后期你就不仅养成了一种独立思考的习惯，而且有一定的水平！ 既然说到解题，我有一点想说的。大家要尽量力求一题多解。为什么要一题多解，一方面是你数学思维和数学水平的体现，另一方面是数学技巧的积累。比如我们说数列极限，我可以按定义求，按迫敛性求，按单调有解定理求，按Stolz公式求，一道题目你能找

22、出好多种做法来，你获得的不仅是成就感，而是对知识的融会贯通。 接着说。要学好数学分析，有一点也很重要。就是学反例。我记得有一本叫做数学分析中的反例，比较早了，在图书馆的一楼夹层有。比如我们讲导数的时候会知道可导的函数一定是连续的，那连续的函数可导吗？不一定。这时候就需要举出来一个反例（我们能构造一个处处连续但处处不可导的函数，就是魏尔斯特拉斯构造的那个级数函数）。数学分析很多定理逆定理都不成立，或者修改一下条件就不能成立了，掌握一些反例能让你更清楚的理清楚定理的本质，和为什么有这些条件。 最后我想分别对数学基础较好和数学基础不太好的同学说一下我认为的看法。对那些数学基础好的同学，在确保学会了我

23、们课本上的知识，我建议你可以看难一点的书，一方面对你参加竞赛有好处，因为竞赛题不可能很简单。另一方面，以后你要参加别人学校的夏令营，保研考试，考研都要用别人指定的书，特别像北大清华浙大复旦一些好的学校都有自己的教材，一般考试也考这些，这些书比我们的书要来的难，看一看有好处的。对那些数学基础不太好的同学，我建议你们买一本或者借一本我们课本的配套参考书，我指的配套参考书，不是那个什么印着配套答案的答案册，叫做数学分析学习指导书（第四版），和我们课本的封面一样，是高等教育出版社出版的，由上册由毛羽辉、吴畏、 韩士安编写。这些人不是别人，正是写教材的人，他们对自己写的教材的理解程度超过任何人。你会发现这个学习指导书不仅列出了知识清单，同时也给出了解疑释惑，很多你混淆不清的东西都有清晰的解释，以及丰富的例题，从简单到难排列。课后题里部分它认为有难度或者需要说明