初中数学专题训练——二次函数综合

1、题型一：例1：如图在等腰梯形中，CBOA，COA=60BC=2，OA=4，且与x轴重合(1)直接写出点A、B、C的坐标(2)求经过点O、A、B的抛物线解析式，并判断点C是否在抛物线上yxOABC(3)在抛物线的OCB段，是否存有一点P(不与O、B重合)，使得四边形OABP的面积最大，若存有，求出此时P点的坐标，若不存有，请说明理由解：(1)，2分(2)依题意设，又在该函数图象上，3分解得：DyxOABCP4分当x=1时，故点在该函数图象上。5分(3)如图，连接OB，在抛物线上取点P，过P作PDOB于D，连接OP、BP。则过OB的直线的解析式为。6分为定值，使最大，则四边形OPBA的面积最大。7

2、分8分当时，PD最大，将代入中，得此时P点的坐标为。9分练习：阅读材料： 如图12-1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；图12-2xCOyA

3、BD11(3)是否存有一点P，使SPAB=SCAB，若存有,求出P点的坐标；若不存有，请说明理由.25如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB的面积例：.如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存有点Q，使得QAC的周长最小？若存有，求出Q点的坐标；若不存有，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存有一点P，使PBC的面积最

4、大？，若存有，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.26解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存有, 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 直线BC与的交点即为Q点， 此时AQC周长最小 C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 Q(1，2)（3）答：存有。理由如下：设P点若有最大值，则就最大，当时，最大值最大 当时，点P坐标为已知抛物线的对称轴为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），C（0，2）ACxyBO（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存有一点P，使得PBC的周长最小，

5、请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE/PC交x轴于点E，连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式试说明S是否存有最大值，若存有，请求出最大值；若不存有，请说明理由，OACxyBEPD24题图24（宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物

6、线上是否存有点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?若存有，请求出点G的坐标；若不存有，请说明理由24解：(1)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点A(0，6)，c=61分抛物线的图象又经过点(3，0)和(6，0)， 2分 解之，得 3分 故此抛物线的解析式为：y= x2+x+64分(2)设点P的坐标为(m，0)，则PC=6m，SABC = BCAO = 96=275分PEAB，CEPCAB6分 = ()2,即 = ( ) 2 SCEP = (6m)2.7分 SAPC = PCAO = (6m)6=3 (6m)SAPE = SAPCSCEP =3 (6m) (6m

7、)2 = (m )2+.当m = 时，SAPE有最大面积为；此时，点P的坐标为(,0)8分(3)如图，过G作GHBC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，9分连接AG、GC， S梯形AOHG = a (b+6), SCHG = (6 a)b S四边形AOCG = a (b+6) + (6 a)b=3(a+b)10分 SAGC = S四边形AOCG SAOC =3(a+b)1811分点G(a，b)在抛物线y= x2+x+6的图象上， b= a2+a+6. = 3(a a2+a+6)18 化简，得4a224a+27=0 解之，得a1= ，a2= 故点G的坐标为(,)或(，) 12分 已知：抛物线与x

8、轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；yxBDOAEC（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存有最大值？若存有，求出最大值并求此时D点坐标；若不存有，请说明理由25解：（1）OA、OC的长是x25x+4=0的根，OAOCOA=1，OC=4点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A（1，0）

9、 C（0，4）抛物线的对称轴为由对称性可得B点坐标为（3，0）A、B、C三点坐标分别是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）（2）点C（0，4）在抛物线图象上将A（1，0），B（3，0）代入得解之得 所求抛物线解析式为：（3）根据题意，则在RtOBC中，BC=5，ADEABC过点E作EFAB于点F，则sinEDF=sinCBA=yxAFODBECEF=DE=4m SCDE=SADCSADE=（4m）4（4m）（ 4m）=m2+2m（0m4）S=（m2）2+2， a=0当m=2时，S有最大值2.点D的坐标为（1，0）. 25（12分）如图， 已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (

10、3，0)，与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存有点P，使CMP为等腰三角形？若存有，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存有，请说明理由(3) 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标25解： (1)由题知： 解得： 所求抛物线解析式为： (2) 存有符合条件的点P, 其坐标为P (1, )或P(1, )或P (1, 6) 或P (1, )(3)解法：过点E 作EFx 轴于点F , 设E ( a ,-2a3 )( 3 a 0 ) EF=-2a3，BF=a3，OF=a

11、S四边形BOCE = BFEF + (OC +EF)OF =( a3 )(2a3) + (2a6)（a）= =+ 当a =时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 此时，点E 坐标为 (，)解法：过点E 作EFx 轴于点F， 设E ( x , y ) ( 3 x 0 )则S四边形BOCE = (3 + y )(x) + ( 3 + x )y = ( yx)= ( ) = + 当x =时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 此时，点E 坐标为 (，) 题型二例2、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C。（1）求A、B、C三点的坐标； （2）求直线BC的函数解析式；（

12、3）点P是直线BC上的动点，若POB为等腰三角形，请写出此时点P的坐标。（可直接写出结果）ABOCxy21、解：（1）当y=0时，得方程，解得x= -1或x = 4,所以点A、B的坐标分别为( -1 ,0 )，( 4, 0)当x =0时，y=3，所以点C的坐标为 (0, 3)（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b 由（1）可得，解得 所以直线BC的函数解析式为y=x + 3-10分（3）P1（2，），P2（，），P3（，），P4（，）12.（西宁）如图12，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tanOCB=.（1） 求B点的坐标和k的值；（2） 若点A（x，y）是第一象限内的直

13、线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；（3） 探索： 当点A运动到什么位置时，AOB的面积是； 在成立的情况下，x轴上是否存有一点P，使POA是等腰三角形.若存有，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存有，请说明理由.19. （毕节）如图在平面平面直角系中，抛物线的图象与轴交于点A（2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与轴交于点D，点P是直线l上一动点。（1）求此抛物线的表达式（2）当AC + CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作A。求证：BP与A相切（3）点P在直线l上运动时，是否存有

14、等腰ACP？若存有，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存有，请说明理由ACByx0113、如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存有是等腰三角形若存有，求出所有符合条件的点坐标；不存有，请说明理由解：（1）抛物线的对称轴2分 （2） 5分Ax011y把点坐标代入中，解得6分7分（3）存有符合条件的点共有3个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与轴交于，与交于过点作轴于，易得，以为腰且顶角为角的有1个：8分在中，9分以为腰且顶角为角的有1个：在中，10分11分以为

15、底，顶角为角的有1个，即画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点过点作垂直轴，垂足为，显然 于是13分14分注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分1、已知抛物线与轴的两个交点为A，B，与y轴相交于点C求A、B、C三点的坐标；求证：ABC是直角三形；坐标平面内是否存有点，使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存有，请求出点的坐标；若不存有，请说明理由 yxBOAC如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存有另外一个点，使是直角三角形，若存有，请求出点的坐标，若不存有

16、，请说明理由如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）（1） ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存有一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存有，请求出点D的坐标；若不存有，请说明理由；解：（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM则 AOC的面积=，MOC的面积=，MOB的面积=6， 四边形 ABMC的面积 图14（2）=AOC的面积+MOC的面积+MOB的面积=9说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和（3）如图14

17、（2），设D（m，），连结OD则 0m3， 0 且 AOC的面积=，DOC的面积=， DOB的面积=-（）， 四边形 ABDC的面积=AOC的面积+DOC的面积+DOB的面积=例1. 已知与是反比例函数图象上的两个点（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图象上是否存有点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存有，求出点的坐标；若不存有，请说明理由解：（1）由，得，所以（2）如图1，作轴，为垂足，则，所以因为点与点的横坐标相同，所以轴，从而当为底时，因为过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，故不符题意图1当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，过点分别作轴，轴的平行线，交于点因为，设，则，由

18、点，得点所以，图2解之得（舍去），所以点此时，与的长度不等，故四边形是梯形如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为因为，所以，从而作轴，为垂足，则，设，则，由点，得点，所以解之得（舍去），所以点此时，与的长度不相等，故四边形是梯形图3如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，同理可得，点，四边形是梯形综上所述，函数图象上存有点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或图135已知：如图1所示,反比例函数y=与直线y=-x+2只有一个公共点P,则称P为切点.(1)若反比例函数y=与直线y=kx+6只有一个公共点M,求：当k0时两个函数的解析式和切点M的坐标;(2)设(1)问结论中的直线与x轴、y轴分别交于A、B两点. 将ABO沿折痕AB翻折,设翻折后的OB边与x轴交于点C.直接写出点C的坐标;在经过A、B、C三点的抛物线的对称轴上是否存有一点P,使以P、O、M、C为顶点的四边形为梯形,若存有,求出点P的坐标;若不存有,请说明理由.35 解：(1)依题意,得 由=得k=3. 又k0,k=-3. 两个函数的解析式分别为,和 点M的坐标为(1,3) (2)如图2,依题意,可求得点C的坐标为(,0) 存有点P满足四边形POMC为梯形 又经过点A、B、C为顶点的抛物线的对称轴为 当MPOC时,则P1点的坐标为(,3),而此时OM与CP不