AAA一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案

1、MeiWei_81 重点借鉴文档】 一元二次不等式及其解法 1. 一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为aR b（a0）的形式 . 当 a0 时，解集为；当 a0 0 0）的图象 一元二次方程 aR2 bR c 0 （a0）的根 有两相异实根 R1，R2（R1 0 （a 0）的解集 R 2 aR2 bR c 0）的解集 R|R1 R0? f（R）g（R） 0；gf（xx）0? f（R）g（R）0； f（x）0? f（x）g（x） 0，f（x） 0? f（ x） g（x） 0， g（x） g（x） 0； g（x） g（x）0. （2014课标 ）已知集合 A

2、R|R22R30 ，BR|2R2，则 AB（） A. 2， 1B.1，2） C.1，1D.1 ，2） 解：AR|R3或 R1，BR|2R0的解集为 （） MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei_81 重点借鉴文档】 A. R|RRB.R|R1，RR C. R|R 1D. R|R1 解： f（1）1b1 2b，f（3）93b110 3b， 由 f（ 1）f（3），得 2 b103b， 解出 b 2，代入原函数， f（R）0即R22R10，R的取值范围是 R1.故选 B. 11 已知 121x2，则 R 的取值范围是 （ ） 2x 11 A.2R0或 0R2 B.2R2 11 C.R2

3、D.R2 1 解：当 R0 时，R2；当 R0 时，R2. 所以 R的取值范围是 R21，故选 D. 1 2x 不等式 12x0 的解集是. x1 12x 解：不等式 x10 等价于（12R）（R1）0， 也就是 x12 （R1） 0，所以 1 R21. 1 故填 x|1 x2，xR . （2014 武汉调研 ）若一元二次不等式 2kR2kR30，则只须 （2R2R）maR83k，解得 k?；若 k0，则只须 83k （2R2 R）min，解得 k（3，0）.故 k的取值范围是 （3，0）.故填 （3，0）. 类型一 一元一次不等式的解法 已知关于 R的不等式 （ab）R2a3b0的解集 .

4、得 ab0，且 3b2a a b 1 3， 解： 由 （ab）R0，即 b0， 将 a2b 代入 （a 3b）Rb2a0， 得bR3b0，R b（a0）的形式 .挖掘隐含条件 ab0 且 3b 2a a b 13是解本题的关键 . MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei_81 重点借鉴文档】 解关于 R 的不等式： (m24)R0 即 m2 时，R. m2 1 (3)当 m240 即 2m. m2 类型 元二次不等式的解法 解下列不等式： (1) R27R120;(2)R22R3 0； (3) R22R10. 解： (1) R|R4. (2) R|3R1. (3) ?. (4) 因为

5、 0，可得原不等式的解集为 R. (2013金华十校联考 )已知函数 f(R) x1，x0， x1， x0， 则不等式 R (R1)f(R 1）1 的解集是 （ ） A. R| 1 R 2 1B. R|R 1 C. R|R 2 1D. R| 21R 21 解：由题意得不等式 R（R1）f（R1）1 等价于 x 1 0，或 x(x1)(x1) 11 x1 0， x(x1)(x1) 11， 解不等式组 得 R 0的解集为 R|2R0的解集. 解： 不等式 aR2 bRc 0的解集为 R|2R3， a0，且 2 和 3 是方程 aR2bRc0 的两根，由根与系数的关系得 MeiWei_81 重点借鉴

6、文档】 MeiWei_81 重点借鉴文档】 ba23， c23， a b 5a ， 即 c 6a ， a 0. 11 x|2x 3 . 类型四 含有参数的一元二次不等式 mR2（m 1）R10. 所求不等式的解集为 （2）当 m 0 时，不等式为 m x 1 ()若m11即 1 （）若m11即 点拨： 当 R2 的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论， 等式，即对 m0 与 m0 进行讨论， 这是第一层次； 0m1 时，不等式的解集为 x|1x ； m1 时，不等式的解集为 ?. 的不确定性，对 m0进行讨论；第三层次： 确定其是一次不等式还是二次不 第二层次： R2 的系数正负 （不等号方

7、向 ） 1 1与 1 大小的不确定性，对 m m1、m a0，得 6aR25aR a0（a0）. 即 6R25R 1 0， 解关于 R 的不等式： 解： （1）m0 时，不等式为 （R1）0，不等式的解集为 R|R 1 ； xm1 （R1）0. 当 m0， m11，不等式的解集为 x|x1 . 当 m0，不等式为 x m1 （R1）1时，不等式的解集为 x|m1x0 时， ，1 a2， ； 2a， 1 ； 当 a2 时，解集为 R|R 1 ； 1， 2a . a 解集为 （ 当 2 a 0 时，解集为 当 a1 与 m 1 进行讨论 . 解关于 R 的不等式 aR2 2 2R aR（aR）.

8、解： 不等式整理为 aR2（a2）R2 0， 当 a0 时，解集为 （， 1. 当 a0 时，aR2（a2）R20 的两根为 1， MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei_81 重点借鉴文档】 类型五 分式不等式的解法 x 1 （1）解不等式 2xx11 1. 解： x1 1? x1 10? x20? x20. 2x 1 2x 1 2x 1 2x1 x2（x2）（ 2x1）0， 0? 2x12x 1 0. 1 得RR 2或 R2. x 2 （2）不等式 2 x2 0 的解集是. x 3x 2 解： x 2 x23x20? x2 x2）（ x1） 0? （R2）（R2）（R1）0， 数

9、轴标根得 R| 2 R2， 故填 R| 2R2 . 点拨： 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式， 再利用数轴标根法写出不等式的解集， 如 果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤： （1） 移项：使得右端为 0（注意：一定要保证 R 的最高次幂的项的系数为正数 ）.（2）求根：就是 求出不等式所对应的方程的所有根.（3）标根：在数轴上按从左到右 （由小到大 ） 依次标出各根 （不需标出准确位置，只需标出相对位置即可）.（4） 画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向 左下方 画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不 穿”来记

10、忆 .（5） 写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围； 若不等号为“” ，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时 要考虑分母不能为零 x2 (1)若集合 AR|12R13 ，B x| x 0 ，则 AB( A. R|1R0 B. R|0 R1 C. R|0 R 2D. R|0R1 x（ x2）0， 解：易知 AR|1R1，B 集合就是不等式组的解集，求出 B x0 x|0 x2，所以 ABR|0R1.故选 B. x1 （2）不等式 2x 1 0 的解集为 （） C. )D. 12 1， ) 解： 2xx110? （x1）（ 2x1）0， 2x 12

11、x10 1 得 2R 1.故选 A. MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei_81 重点借鉴文档】 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 （1）若不等式 R2aR10 对于一切 R 0，21 成立，则 a的最小值为 （ 5 A.0B. 2C.2D.3 aR R2 1，由于 R a xx1 .f(R) x x1在 0，12 上是减函数， 解： 不等式可化为 （2）已知对于任意的 55 2. a2. a1，1，函数 f（R）R2（a4）R42a 的值总大于 0，则 R 的取值范围是 （ ） A.1 R3B.R 3 C.1R2D.R 2 解： 记 g（a）（R 2）aR24R4，a1，

12、1， g（1） 0， x23x20， 依题意，只须 ? 2? R3，故选 B. g（ 1） 0 x25x 60 点拨： 对于参数变化的情形，大多利用 参变量转换法 ，即参数转换为变量；变量转换为参数， 把关于 R 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单 调性，求出 R 的取值范围 . 对于满足 |a| 2的所有实数 a，求使不等式 R2aR12Ra 成立的 R的取值范围 解：原不等式转化为 2， 2上恒大于 0，故有： （R1）aR2 2R10，设 f（a）（R1）aR22R1，则 f（a）在 f（ 2）0， f（2）0 2 x24x30， 2 x210 x

13、3或x1或x 1. R3. 类型七 a 的取值范围是 （ ） 次方程根的讨论 若方程 2aR2R10 在（0， 1）内有且仅有一解，则 B.a1 A.a1 C.1a1D.0 a1 解法一： 令 f（R） 2aR2R1，则 f（0） f（1） 0，即 1 （2a 2）1. 解法二：当 a0时，R1，不合题意， 故排除 C，D；当 a 2时，方程可化为 4R2 R10，而 1160，若此不等式的解集为 x|m x 0B.0 m 2D.m0 解： 由不等式的解集形式知 m0.故选 D. 1 3. （2013安徽 ）已知一元二次不等式 f（R）0 的解集为 x|x2 ，则 f（10R）0 的解集 为（

14、） A. R|Rlg2 B. R| 1R lg2D. R|Rlg2 解：可设 f（R） a（R 1） x 21 （a0 可得 （10R 1） 10 x 21 0，从而 10R21， 解得 R0 在（1，4）内有解，则实数 a的取值范围是 （ ） A. a 12 B. a4 C. a 12D.a0 在（1，4）内有解，即 a2R28R4在（1，4） 内有解，令 f（R）2R28R42（R2）212，当 R2 时， f（R）取最小值 f（2） 12；当 R 4时，f（4）2（42）2124，所以在 （1，4）上， 12f（R） 4.要使 af（R）有解，则 a0对 R（1，2）恒成立，则实数 k的

15、取值范围是 解：R （1，2），R10.则 R2kRk1（R1）（R1k）0，等价于 R1k0， 即 kR1恒成立，由于 2R13，所以只要 k2 即可 .故填（，2. 7. （2014江苏 ）已知函数 f（R）R2mR1，若对于任意 Rm，m1，都有 f（R）0 f（m）2m21230m，0，解得 f（m1） 2m23m0， 成立，则实数 m 的取值范围是 m 1恒成立，即 解：由题可得 f（R）0 对于 Rm， 22m 2R 的解集为 （1， 3）. MeiWei_81 重点借鉴文档】 MeiWei_81 重点借鉴文档】 (1)若方程 f(R) 6a 0 有两个相等的实根，求 f(R)的解析式； (2)若 f(R)的最大值为正数，求 a 的取值范围 . 解： (1)f(R)2R0 的解集为 (1，3)， f(R) 2Ra(R1)(R3)，且 a0. 因而 f(R) a(R 1)(R 3) 2R aR2(24a)R3a. 由方程 f(R)6a0 得 aR2(24a)R9a0. 因为方程 有两个相等的实根，所以 2 (24a)2 4a9a0， 1 即 5a24a1 0，解得 a1 或 a . 5 1 由于 a0，舍去 a1，将 a 1代入 得 f(R)的解析式 5