高中数学新题型选编

1、高中数学新题型选编（共70 个题）（一）1、（） 已知函数： f ( x)2n1 ( x na )( xa) n ,( x 0,), nN ) 求函数 f ( x) 的最小值 ;（）证明 : anbn( ab) n (a0 , b0 , nN) ；22（）定理 :若 a1 ,a2 ,a3 Lak均为正数 ,则有 a1na2na3nLakn( a1a2a3Lak )n 成立kk(其中 k2, kN , k为常数 ) 请你构造一个函数g( x ) ，证明：当 a1 ,a2 , a3 ,L, ak ,ak 1 均为正数时， a1na2na3nLakn1( a1a2a3Lak 1 ) n k1k1解：

2、（）令 f (x)2n 1nxn 1n(ax)n 10得(2x) n 1(ax) n 12xaxxa 2 分当 0xa 时，2xxaf ( x)0故 f ( x) 在 0, a 上递减当xa, f (x)0故f ( x)在(a,上递增所以，当x a时，f ( x)的最小值为f(a) 0.4 分)（）由 b0 ，有f (b)f ( a)0即 f (b)2n1 (a nbn )(ab)n0故anbn( ab )n (a0 , b0 , nN) 5 分22（）证明 :要证：a1na2na3nLakn1( a1a2a3Lak 1 )nk 1k1只要证： (k1)n1 ( a1na2na3nLakn1

3、)(a1a2a3Lak1 ) n设 g( x)(k1)n 1 (a1na2na3nLx n )(a1a2a3Lx)n 7 分则 g ( x) ( k 1)n 1 nxn 1n( a1a2Lak x) n 1令 g (x)0 得 xa1a2Lak.8 分k当 0xa1a2kLak 时， g ( x)n( kx xn1n( a1a2Lakx )n1n( a1 a2L akx )n 1n( a1a2Lakx)n 10故 g( x) 在0, a1a2kLak 上递减，类似地可证g( x)在( a1a2Lak ,) 递增k所以 当 xa1a2Lak 时， g( x) 的最小值为 g( a1 a2Lak

4、) 10 分kk而 g(a1 a2 L ak ) (k 1)n 1a1n a2n L akn ( a1 a2 L ak )n (a1 a2 L aka1 a2 Lak )nkkk= ( k 1)n 1 k n ( a1na2nLakn ) (a1 a2K ak )n(k 1)(a1a2 Lak )n kn(k 1)n 1kn nnLnk(a1a2 Lak )n(k 1)n 1n 1 nnLn(a1a2Ln=n(a1a2ak )=n 1 k(a1a2ak )ak) kk由定理知 : k n1 (a1na2nLakn )(a1a2Lak )n0故 g ( a1a2Lak )0kQ ak1 0,)g

5、 (ak 1 )g( a1a2 Lak )0k故 (k 1)n 1 (a1na2na3nLakn1 ) (a1a2a3L ak 1 ) n即:a1na2na3n1Lakn1( a1a2a3Lak 1 ) n . .14 分kk12、用类比推理的方法填表等差数列an中等比数列bn中a3 a2db3b2 ? qa3a4a2a5b3 ? b4b2 ? b5a1a2a3a4a55a3答案： b ? b ? b ?b ? b5b1234533、 10定义一种运算“x”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ i） 1x1=1 ，（ ii ）（ n+1） x1= nx1+1 ，则 nx1 等于A nB n+1

6、C n - 1D n2答案： D4、若f (n) 为 n21(nN *)的各位数字之和，如：1421 197 ， 1 9 7 17，则f (14)17 ;记 f1(n)f (n), f2(n) f ( f1 (n), fk 1 (n)f ( f k (n), k N*,则f2008 (8)_答案： 55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。aaaaa2a2aaaaaa（ 1）请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若 SA面 ABCD ， E 为 AB 中点，求二面角E-SC-D 的大小；（3）求点

7、 D 到面 SEC 的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）3分证 明 ：SA AB, SA AD , 且 AB 、 AD是 面ABCD 内 的 交 线SA底 面ABCD 5 分S（2）分别取 SC、SD 的中点 G、 F，连 GE、GF、 FA ，则 GF/EA,GF=EA,AF/EG而由 SA面 ABCD得 SA CD，又 ADCD， CD面 SAD ， CD AFF又 SA=AD,F 是中点，AF SDAF面 SCD,EG面 SCD,面 SEC 面 SCDG所以二面角 E-SC-D 的大小为 90 10 分(3) 作 DHSC 于 H ，AD面 SEC面 SCD,DH面 SEC,EH

8、DH 之长即为点D 到面 SEC 的距离， 12 分BCSD DC2a a6在 RtSCD 中， DHaSC3a3答：点 D 到面 SEC 的距离为6 a 14 分36、一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B，将自然数列 n (n1) 中的各数依次输入 A 口，从 B 口得到输出的数列an ，结果表明：从 A 口输入 n1 时，从 B1；当 n2 时，从 A 口输入 n ，从 B 口得到的结果 an 是将前一结果an 1 先乘口得 a13以自然数列n中的第n 1个奇数，再除以自然数列an中的第 n 1个奇数。试问：（ 1） 从 A 口输入 2 和 3 时，从 B 口分别得到什么数？

9、（ 2） 从 A 口输入 100 时，从 B 口得到什么数？并说明理由。解（ 1） a2 a1 1 51a3a21153 735（ 2）先用累乖法得 an1(n N * )(2 n 1)(2n1)得 a100111001)(21001)39999(27、在 ABC 中， B(2, 0), C (2 , 0), A( x, y) ，给出 ABC 满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程 ABC 周长为 10C1 ： y225 ABC 面积为 10C 2 ： x2y 24 ( y0) ABC 中， A=90 x2y21 ( y0)C 3 ：59则满足条件、的轨迹方程

10、分别为（用代号 C1 、 C 2 、 C3 填入）答案： C 3C1 C28、已知两个函数f (x) 和 g (x) 的定义域和值域都是集合1,2,3, 其定义如下表 .x123x123f（ x）231g（ x）132填写下列 g f ( x) 的表格 ,其三个数依次为x123g (f（ x）)A.3,1,2B . 2,1,3C.1,2,3D. 3,2,1答案： D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当 ab 时， aba ；当 ab 时， abb 2 。则函数 f ( x)(1x)x( 2x)x2， 2的最大值等于（C）（“”和“”仍为通常的乘法和减法）A.1B. 1C.

11、 6D. 1210x表示不大于x的最大整数，如 3，1， 0，则、已知 x R ，1122 3_；使 x13成立的 x 的取值范围是 _答案： 211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线yx 上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（ I）首先选取如下函数：y 2 x 1， y2x ， yx 1x 1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：y2 x1与其反函数 yx 1 的交点坐标为（1， 1）2y2x与其反函数 y2x的交点坐标为（0，0），（ 1，1）x 1xyx1 与其反函数 yx21， ( x 0) 的交点坐标为 （15 ， 15 ），（221， 0），（ 0， 1）（

12、II ）观察分析上述结果得到研究结论；（ III ）对得到的结论进行证明。现在，请你完成（II ）和（ III ）。解：（ II ）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y x 上2 分（ III ）证明：设点（a， b）是 f ( x) 的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y x 对称，则点（ b， a）也是 f ( x) 的图象与其反函数图象的交点，且有bf (a)， af (b)若 a b 时，交点显然在直线yx 上若 ab 且 f ( x) 是增函数时，有f (b)f (a) ，从而有 ba，矛盾；若ba 且 f ( x) 是增函数时，有f (a)f (b

13、) ，从而有 ab，矛盾若 ab 且 f ( x) 是减函数，有f (b)f (a) ，从而 ab 成立，此时交点不在直线y x上；同理， b22 时， W1W2，此时，把 a 单位量的水平均分成 2 份后，清洗两次，残留的农药量较少； 当 a=22时，W1=W2 ，此时，两种清洗方式效果相同；当 a22 时，W1W2，此时，把 a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少1216、直角坐标系中横坐标、 纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x) 的图象恰好通过 k(kNx) 个格点，则称函数f(x) 为 k 阶格点函数。下列函数： f(x)=sinx ； f(x)= (x 1)2+3； f

14、( x) (1) x ; f (x)log 0 .6x ，3其中是一阶格点函数的有.答案：17、一水池有 2 个进水口 ,1个出水口 , 一个口进出水速度如图甲、 乙所示 . 某天 0 点到 6 点 ,该水池的蓄水量如图丙所示( 至少打开一个水口), 给出以下 3 个论断：进水量出水量蓄水量612501时间01时间03 4 6 时间甲乙丙（1） 0 点到 3 点只进水不出水； （ 2） 3 点到 4 点不进水只出水； （ 3） 4 点到 6 点不进水不出水。则一定不确定的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上) 。答案：（ 2）（ 3）18、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn.( )若

15、 Sm， Sm2， Sm 1 成等差数列，证明am， am 2， am 1 成等差数列；( )写出 ( )的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证 ( ) Sm 1 Sm am1， Sm 2 Sm am 1 am 2由已知 2Sm 2 Sm Sm 1，2(Sm am 1 am2 )Sm ( Sm am 1)， am 21am 1，即数列 an的公比 q1.22 am 11am， am 21am， 2am 2 am am 1， am， am 2， am 1 成等差数列 .24( ) ( )的逆命题是：若am，am 2， am 1 成等差数列，则Sm ，Sm2， Sm 1 成等差数列 .设数列 an

16、 的公比为q， am 1 amq， am 2 amq2由题设， 2am 2 am am 1，即 2amq2 am amq，即 2q2q 1 0， q 1 或 q 1. 2当 q 1 时， A 0， Sm， Sm 2， Sm1 不成等差数列.逆命题为假 .19、 xx 年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取本地区确定的标准，情况如右表：高收入中等收入低收入本地区在“十一五”规划中明确400 户475 户125 户提出要缩小贫富差距，到xx 年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在 原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基1000 户，按高收

17、入低收入15%20%中等收入础要降低 的百分比分别为( B65%)A 25% , 27.5%B 62.5% , 57.9%C 25% , 57.9%D 62.5%,42.1%20、一个三位数 abc 称为“凹数” ，如果该三位数同时满足a b 且 b c，那么所有不同的三位“凹数”的个数是 _ 答案： 三位“凹数”可分两类：一类是aba，共有 C102 45，另一类是 abc， a c，共有2 C103 240，故共有 45+240 285 个abx2i ，4i3xi ，则y。 答案： -421ad bc，若复数y、定义运算d3i1i xic22n1个球（其中 n 个白球，1个黑球）的口袋中取

18、出m 个球0 m n,m, n N ,、从装有共有 C nm1 种取法。在这 Cnm1 种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有 C10CnmC11 Cnm 1C10 Cnm1 ，即有等式： CnmCnm 1Cnm1 成立。 试根据上述思想化简 下 列 式 子 ： CnmCk1 Cnm 1Ck2 Cnm 2L C kk Cnm k。(1 kmn,k ,m, nN ) 。答案： Cnm k根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k 个球（ n 个白球， k 个黑球）中取出 m 个球， 可分为： 没有黑球， 一个黑球， ， k 个黑球等k 1 类，故有 Cnm k种取法。x

19、( xy)123、定义运算 x y=，若 |m 1| m=|m 1|，则 m 的取值范围是my(xy)224 、 在 公 差 为 d (d0) 的 等 差 数 列 an 中 ， 若 Sn 是 an 的 前 n 项 和 ， 则 数 列S20S10 , S30S20 , S40 S30 也成等差数列，且公差为 100d ，类比上述结论，相应地在公比 为 q(q 1)的 等 比 数 列 bn 中 ， 若 Tn 是 数 列 bn 的 前 n 项 积 ， 则 有 T20, T30, T40 也成等比数列 , 且公比为 q100 。T10T20T3023532252 5225、考察下列一组不等式：2454

20、2352 53将上述不等式在左右两端仍为两55112 25 222522 252项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为a m nb m na mb na nb m a,b0, ab, m, n026、对任意实数 x, y ，定义运算 x * yaxby cxy ，其中 a,b,c 为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知1* 24,2* 3 6 ，且有一个非零实数 m ，使得对任意实数 x ，都有 x* m x ，则 m5。27、对于任意实数x ，符号 x 表示 x 的整数部分，即 x 是不超过 x 的最大整数” 。在实数轴 R（箭头向右）上 x

21、 是在点 x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时 x 就是 x 。这个函 数 x 叫 做 “ 取 整 函 数 ”， 它在 数 学 本 身 和 生产 实 践中 有 广 泛 的 应 用 。 那 么log 2 1 log 2 2 log 2 3 log 2 4log 2 1024 =_820428、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。xx 年 8 月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：媒体 A ：“ , 凯尔特人俱乐部出价已从80 万英镑提高到了120 万欧元。”媒体 B ：“ , 凯尔特人俱乐

22、部出价从120 万欧元提高到了100 万美元，同时增加了不少附加条件。 ”媒体 C：“ , 凯尔特人俱乐部出价从130 万美元提高到了120 万欧元。”请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体C （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。29、已知二次函数 f xx2axa xR 同时满足：不等式fx0 的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2 ，使得不等式 f x1fx2成立。设数列 an 的前 n 项和 Snfn ，（ 1）求数列an 的通项公式；（ 2）试构造一个数列bn ，（写出bn 的一个通项公式）满足：对任意的

23、正整数n 都有bnan ，且 liman2，并说明理由；bnn（ 3）设各项均不为零的数列cn 中，所有满足 cici10 的正整数 i的个数称为这个数列 cn的变号数。令 cnacn的变号数。1（ n 为正整数），求数列an解：（ 1） fx 0 的解集有且只有一个元素，a 24a0a 0或 a4 ，当 a0 时，函数 fxx2 在 0,上递增，故不存在0x1x2 ，使得不等式f x1fx2成立。当 a4 时，函数 fxx 24x4 在 0,2上递减，故存在0x1 x2 ，使得不等式 fx1f x2成立。综上，得 a4， fxx24 x4 ， Snn24n4，（ 2）要使 lim an2 ，可构造数列 bnnk ，对任意的正整数n 都有 bnan ，nbn当 n2时， nk2n5 恒成立，即 n5k 恒成立，即 5k 2k 3 ，又 bn0 ， kN * ， bnn3 ，等等。23, n1（ 3）解法一：由题设cn4, n，1522n n3时， cn1cn4480， n3时，数2n52n32n52n3列 cn 递增， a410 ，由 140n5 ，可知 a4a50 ，即 n3 时，有且32n51只有 个变号数；又 c13, c25, c33 ，即 c1c20, c2c30 ，此处变号数有2个。综上得 数列 cn共有 3 个变号数，即变号数为3 。3,n